Visualizza un messaggio singolo
Vecchio 19-09-11, 13:54   #34
Erasmus
Utente Super
 
L'avatar di Erasmus
 
Data di registrazione: Feb 2008
Ubicazione: Unione Europea
Messaggi: 6,391
Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
7) Un quadrato unitario suddiviso in quattro rettangoli tramite due segmenti paralleli ai suoi lati.
Dimostrare che il prodotto delle aree di due rettangoli non adiacenti non supera 1/16

Tu, probabilmente, per "adiacenti" intendi due rettangoli che si toccano solo in un vertice.
Allora il prodotto delle loro aree compreso tra 0 (escluso) e 1/16 (compreso).
Ma "adiacente" significa "che giace accanto" (dal latino adiacens, participio pesente del verbo adiacre > ad + iacre, ad = accanto, vicino; iacre = giacre, stare in un certo posto, stare sdraiati ...).
[In geometria euclidea si dicono "adiacenti" due angoli consecutivi (= con il lato termine di uno coincidente col lato origine dell'altro) e supplementari (= la cui somma un angolo piatto)].

Se consideri "adiacenti" due rettangoli con un lato comune, il prodotto delle loro aree compreso tra 0 (escluso) ed 1/4 (escluso).
---------------------------
Tipico esercizietto sulle derivate parziali ...
Pongo x e y le distanze delle due rette da un vertice, diciamolo V.
[x ed y variano quindi da 0 escluso ad 1 escluso].
L'area del rettangolo con quel vertice V S1 = xy.
L'area del rettangolo con un vertice che, nel quadrato, opposto di V S3 = (1x)(1y).
Gli altri due rettangoli hanno area (rispettivamente) S2 = x(1y) e S4 = y(1x).

[Segue un discorso ... barboso!].
Abbiamo cos 6 prodotti di aree di 2 rettangoli:
P1(x, y) = S1*S2 = (xy)*[x(1y)] = (x^2)[y(1y)];
P2(x, y) = S1*S3 = (xy)*[(1x)(1y)] =[x(1x)][y(1y)] (che quello che hai in mente tu).
P3(x, y) = S1*S4 = (xy)*[y(1x)] = (y^2)[x(1x)];
P4(x ,y)= S2*S3 = [x(1y)]*[(1x)(1y)] = [x(1x)]*[(1y)^2]
P5(x, y) = S2*S4 = [x(1y)]*[y(1x)] = (xy)*[(1x)(1y)] = P2(x,y)
P6(x, y) = S3*S4 = [(1x)(1y)]*[y(1x)] = [y(1y)]*[(1x)^2].

Ma i tipi di prodotti sono, in sostanza, 2 soltanto: quelli delle aree di
due rettangoli con un lato comune; oppure
due rettangoli che hanno in comune solo un vertice.
(Cos si riconosce anche scambiando x con 1x, e/o y con 1y e/o x con y).
Ossia: i due tipi distinti sono:
P1(x, y) = (x^2)*(y y^2);
P2(x,y) = [x(1x)]*[y(1y)] (quello che hai in mente tu).

A parit di y, P1 massimo per x=1.
Al variare di y tra 0 e 1, P1 nullo nei limiti (y=0 oppure y = 1) e ha un massimo dove si annulla ∂P1/∂y = (x^2)*(12y), cio per y = 1/2.
Qui PI(x,1/2) = (x^2)(1/2 1/4) = (x^2)/4, che massimo in x = 1 dove vale:
P1(1,1/2) = 1/4.

P2(x, y) si annulla nei limiti di x e/o di y:
P2(x,0) = P(x, 1) = P2(0, y) = P2(1, y) = 0.
E' perci massimo assoluto in certo (x, y) non di confine dove si annulla sia ∂P2/∂x che ∂P2/∂y.
Si ha infatti:
∂P2/∂x = (12x)*[y(1y)]; ∂P2/∂x = 0 ⇒ (12x)*[y(1y)] =0 ⇒ x = 1/2.
∂P2/∂y = (12y)*[x(1x)]; ∂P2/∂y = 0 ⇒ (12y)*[x(1x)] = 0 ⇒ y = 1/2.
P2(1/2, 1/2) = [(1/2)(11/2)]*[1/2(11/2)] = 1/16 (c. d. d. )
---------------
NB
Se si dice x la posizione di una retta rispetto alla mediana ad essa parallela
e se si dice y la posizione dell'altra retta rispetto alla mediana ad essa parallela
x ed y possono variare tra 1/2 e +1/2. Allora PI e P2 risultano del tipo:
P1(x, y) = [(1/2 x)(1/2y)]*[(1/2 +x)(1/2 y)] = (1/4 x^2)*[(1/2 y)^2];
P2(x, y) = [(1/2 x)(1/2 y)]]*[(1/2 + x)(1/2 + y)] = (1/4 x^2)(1/4 y^2).
Allora ... non c' bisogno di usare le derivate parziali!
Si vede subito che:
P1, a parit di x, massimo per y = 1/2 e, a parit di y, massimo per x = 0.
E' quindi massimo assoluto in (0, 1/2) dove vale P1(0, 1/2) = (1/4)*1 = 1/4:
P2 (quello che hai in mente tu) nullo per x =1/2 o y = 1/2 ed evidentemente massimo assoluto per x = y = 0 dove vale P(0, 0) = (1/4)*(1/4) =1/16 (c. d. d. )

Ciao ciao
-------------
__________________
Erasmus
NO a nuovi trattati intergovernativi!
SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!

Ultima modifica di Erasmus : 01-07-14 19:39.
Erasmus non in linea   Rispondi citando