Discussione: Qualche quiz
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Vecchio 21-09-10, 16:54   #7
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Saltando di palo in frasca...

1)Si abbia un poligono regolare di 2002 lati.
Qual è la probabilità che, tirando a sorte 3 dei suoi vertici, si ottenga:
-un triangolo rettangolo (a)
-un triangolo ottusangolo (b)
-un triangolo acutangolo (c)
NB. Ho messo io le lettere (a), (b) e (c).

In "Probabilità" sono molto meno forte che in geometria.
Per giunta, il mio computer è in riparazione [difetti dell'alimentatore: difficoltà crescenti di giorno in giorno per accenderlo] e sto usando quello di mia moglie che non dispone nemmeno una calcolatrice.
Comunque: le terne distinte di n elementi sono n(n–1)(n-2)/6. Mettici n=2002 e trovi quanti sono i triangoli possibili.

(a) Per avere un triangolo rettangolo occorre che due vertici siano diametralmente opposti – e di tali coppie ce ne sono n/2 – e il terzo vertice sia uno qualsiasi degli altri n-2. Mi pare, dunque, che i possibili triangoli rettangoli siano (n/2)*(n–2).
La probabilità di avere un triangolo rettangolo con 3 vertici a caso dovrebbe essere:
P(Tr. rettangolo) = [(n/2)*(n–2)]/(n(n-1)(n-2)/6] = 3/(n–1) = 3/2001 = 1/667.

(b) e (c). Se il triangolo non è rettangolo, allora o è acutangolo o è ottusangolo. Ho l'impressione che ciò possa accadere con uguale probabilità.
Ci penso un attimo ...
Forse ho trovato.
Prendo un vertice a caso e considero il vertice diametrale, ossia un diametro che mi divide il cerchio circoscritto in due: degli altri n-2 vertici, (n-2)/2 stanno da una parte e (n-2)/2 dall'altra.
Prendo un secondo vertice a caso purché distinto dal primo e dal suo diametrale. E' eqiprobabile che caschi in una o nell'altra semicirconferenza. Prendo un terzo vertice. Se casca dalla stessa parte del secondo ho un triangolo ottusangolo; se casca dall'altra parte ho un triangolo acutangolo. Fissato il secondo vertice, ci sono (n-2)/2 vertici di là del diametro (triangolo acutangolo) e (n-2)/2 –1 vertici di qua. Ma non mi importa che la probabilità con cui, dato il secondo vertice, il terzo casca di qua o di là del fissato diametro non sia la stessa! Non mi interessa perché è equiprobabile che il secondo punto sia di qua o di là (del fissato diametro). Concludo che è equiprobabile che il triangolo capiti ottusangolo o acutangolo.
Siccome la somma delle probabilità è 1, visto il punto (a), la probabilità di avere triangolo ottusangolo o acutangolo è (1 – 1/667)/2 . In definitiva:

P(Tr. acutangolo) = P(Tr. ottusangolo) = 333/667
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Discuterò (forse) gli altri quesiti più tardi.

Ciao, ciao.
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 23-09-10 00:04.
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