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Vecchio 08-10-12, 18:13   #923
Erasmus
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Predefinito Riprendo il penultimo quiz di aspesi ...

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aspesi Visualizza il messaggio
Trovare il minimo valore di n>1 intero per cui
(1^2 + 2^2 + · · · + n^2)/n
è un quadrato perfetto.
Modifico questo penultimo quiz di aspesi ... così:
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#893 (aspesi) modificato Visualizza il messaggio
Trovare i valori di n intero positivo per cui
(1^2 + 2^2 + · · · + n^2)/n
è un quadrato perfetto
perché mi chiedo quanti sono i numeri n con questa proprietà.

Ne avevamo trovati 3:
1, 337, 65521.
Ne ho trovato un altro.
E allora sono almeno 4:
1, 337, 65521, 12710881.

Ma può darsi che siano in numero infinito e costituiscano una successione crescente con una precisa legge ...

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Siamo tutti d'accordo che la somma dei quadrati degli interi da 1 a n vale
n·(n+1)·(2n + 1)/6
e quindi che il quiz (modficato) equivale a determinare n per cui
(n+1)·(2n + 1)/6 =k^2
dove k è un intero positivo.

Abbiamo anche concluso che le eventuali soluzioni del quiz sono del tipo
n = 1 + 24·p + 72·p^2 (*)
dove p è un intero naturale condizionato dal fatto che
q = √[16p·(3p+1) + 1] (**)
deve essere pure intero.

Supposto che gli n siano in numero infinito, alla successione crescente dei loro valori corrisponderebbe biunivocamente la susuccessione crescente degli interi p.
Allora il quiz equivale a
determinare i numeri p tali che 16p·(3p + 1) +1 sia il quadrato di un intero;
e quindi stabilire se questi sono o no in un umero finito e, se sono una infinità, stabilire una legge che li generi.
Poi, basta ricordare la (*) per trovare gli n.

Per ora sappiamo che i primi 4 valori di p sono
0, 2, 30, 420

Il che non è poco rispetto al partrire da zero col solo testo del quiz!

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Ultima modifica di Erasmus : 08-10-12 18:17.
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