Quote:
aspesi
Trovare il minimo valore di n>1 intero per cui
(1^2 + 2^2 + · · · + n^2)/n
è un quadrato perfetto.
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Modifico questo penultimo quiz di
aspesi ... così:
Quote:
#893 (aspesi) modificato
Trovare i valori di n intero positivo per cui
(1^2 + 2^2 + · · · + n^2)/n
è un quadrato perfetto
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perché mi chiedo quanti sono i numeri
n con questa proprietà.
Ne avevamo trovati 3:
1, 337, 65521.
Ne ho trovato un altro.
E allora sono almeno 4:
1, 337, 65521, 12710881.
Ma può darsi che siano in numero infinito e costituiscano una successione crescente con una precisa legge ...
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Siamo tutti d'accordo che la somma dei quadrati degli interi da 1 a
n vale
n·(
n+1)·(2
n + 1)/6
e quindi che il quiz (modficato) equivale a determinare
n per cui
(
n+1)·(2
n + 1)/6 =k^2
dove k è un intero positivo.
Abbiamo anche concluso che le eventuali soluzioni del quiz sono del tipo
n = 1 + 24·p + 72·p^2
(*)
dove p è un intero naturale condizionato dal fatto che
q = √[16p·(3p+1) + 1]
(**)
deve essere pure intero.
Supposto che gli
n siano in numero infinito, alla successione crescente dei loro valori corrisponderebbe biunivocamente la susuccessione crescente degli interi p.
Allora il quiz equivale a
determinare i numeri p tali che 16p·(3p + 1) +1 sia il quadrato di un intero;
e quindi stabilire se questi sono o no in un umero finito e, se sono una infinità, stabilire una legge che li generi.
Poi, basta ricordare la
(*) per trovare gli
n.
Per ora sappiamo che i primi 4 valori di p sono
0, 2, 30, 420
Il che non è poco rispetto al partrire da zero col solo testo del quiz!
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