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astromauh
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La probabilità calcolata quantizzando il problema varia se il numero dei settori è dispari, o è pari.
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Giusto.
Contiamo i casi come qua sotto con N = 7 e con N = 8
1 1 5
1 2 4
1 3 3
1 4 2
1 5 1
------
2 1 4
2 2 3
2 3 2
2 4 1
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3 1 3
3 2 2
3 3 1
------
4 2 1
4 1 2
------
5 1 1
Qui i casi in tutto sono 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 = 5·6/2
In generale sono (N–2) + (N – 1) + ... +2 + 1 = (N–2)·(N–1)/2
Se N è dispari, posto N = 2k+1, i casi sono in tutto k·(2k–1)
Qui i casi favorevoli sono 1 + 2 + 3 = 6 = 3·4/2
Con N=2k+1 (dispari), i casi favorevoli sono in generale 1 + 2 + ... + k = k·(k+1)/2
La probabilità richiesta è dunque [k·(k+1)/2]/[k·(2k–1) = (k+1)/(4k–2).
Proviamo con N = 8.
1 1 6
1 2 5
1 3 4
1 4 3
1 5 2
1 6 1
------
2 1 5
2 2 4
2 3 3
2 4 2
2 5 1
------
3 1 4
3 2 3
3 3 2
3 4 1
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4 1 3
4 2 2
4 3 1
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5 1 2
5 2 1
------
6 1 1
Qi i casi sono in tutto 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21
In generale sempre (N–2)·(N–1)/2.
Per N pari, posto N = 2k, i casi sono in tutto (k–1)·(2k–1)
I casi favorevoli qui sono 1 + 2 = 3 = 2·3/2-
In generale, con N = 2k (pari), i casi favorevoli sono 1 + 2 + ...+ (k–1) = (k–1)·k/2
La probabilità richiesta vale [(k–1·k/2]/[(k–1)·(2k–1)] = k/(4k–2).
Riassumendo:
Per N = 2k+1 viene P = (k+1)/(4k–2)
Per N = 2k viene P = k/(4k–2)
In entrambi i casi, per k tendente all'infinito viene P = 1/4 = 0,25.
