Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 29-11-12 18:19

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 635895)

b) Scrivere numeri interi (non tutti nulli) su N dadi (es. N=10), in modo che la somma sia uniformemente distribuita.

Il punto b) è simile al punto a)
La variabile casuale somma (degli N dadi) è distribuita uniformemente su {1,2,3,...,6N}
I numeri sulle facce dei singoli dadi si possono ripetere

Soluzione (in pratica è la prosecuzione della soluzione del quiz a)
a) Scrivere sulle facce di due dadi cubici (ben bilanciati) numeri interi in {0,1,2,3,4,5,6} (uno per faccia), in modo che, lanciando i due dadi, la somma degli esiti dia la distribuzione uniforme su {1,2,...,12}.

1° dado : 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6
2° dado : 0 - 0 - 0 - 6 - 6 - 6
3° dado : 0 - 0 - 0 - 12 - 12 - 12
4° dado : 0 - 0 - 0 - 24 - 24 - 24
ecc.. .............................. ecc...

Quote:

Poi c'è un caso 2) in cui i numeri sulle facce di ogni dado sono diversi, ma dadi diversi possono avere numeri in comune e la distribuzione uniforme della somma va da 1 a 6^N.
§Lascio in sospeso quest'ultimo

:hello:

Erasmus 29-11-12 20:45

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 636450)
Quote:

Poi c'è un caso 2) in cui i numeri sulle facce di ogni dado sono diversi, ma dadi diversi possono avere numeri in comune e la distribuzione uniforme della somma va da 1 a 6^N.
§Lascio in sospeso quest'ultimo

:hello:

Occorre che una qualsiasi somma dei numeri di N facce una per dado possa uscire una sola volta. E allora non ci possono essere ripetizioni su uno stesso dado.
In particolare, per N = 2, è facilissimno avere le somme [di due facce una per dado] da 1 a 36.
Codice:

Dado 1:  ––>    1,  2,  3,  4,  5,  6
Dado 2: ––>    0    6,  12, 18, 24, 30

Oppure:
Dado 1:  ––>    0,  1,  2,  3,  4,  5
Dado 2: ––>    1    7,  13, 19, 25, 31

Lascio in sospeso (per astromauh) ... per N > 2 :D
————
:hello:

Erasmus 29-11-12 21:49

Re: Estrazioni casuali
 
E' più meglio andare sempre da 0 in su! :D
Le 6 facce siano numerate con h da 0 a 5 inclusi.
Gli N dadi dadi siano numerati con k da 0 a N–1 inclusi
Le 6^N somme (che per essere numerose esattamente così devono uscire in un solo modo) vadano da 0 a 6^N –1 inclusi
[con N intero positivo ... grande a piacere :)].

Allora occorre e basta che la faccia Nr h del dado Nr k sia targata col numero
F(h, k) = h·6^k
.

In altre parole, visto un dado come un vettore a 6 componenti, il dado Nr k è il vettore
[0, 1, 2, 3, 4, 5]·6^k.

Espressamente:
Codice:

Faccia Nr. ––>    0            1            2            3            4            5
———————————————————————————————––   
Dado Nr. 0:        0            1            2            3            4            5
Dado Nr. 1:        0            6          12        18          24          30
Dado Nr. 2:        0          36          72        108        144        180
. . .
In generale, per ogni k naturale:
Faccia Nr. ––>  0            1            2            3            4            5
———————————————————————————————–––   
Dado Nr. k:  0·6^k    1·6^k      2·6^k    3·6^k    4·6^k      5·6^k

Nota, Nino II, che non solo ogni dato ha le 6 componenti tutte distinte, ma che l'unico numero ripetuto è lo ZERO (componente Nr 0 di ogni dado-vettore).
–––––
:hello:

aspesi 29-11-12 22:40

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 636506)
E' più meglio andare sempre da 0 in su! :D
Le 6 facce siano numerate con h da 0 a 5 inclusi.
Gli N dadi dadi siano numerati con k da 0 a N–1 inclusi
Le 6^N somme (che per essere numerose esattamente così devono uscire in un solo modo) vadano da 0 a 6^N –1 inclusi

:ok:
Però, io avevo chiesto che le somme dovevano andare da 1 a 6^N :) (pensavo al primo dado con sulle facce da 1 a 6).
Mi pare comunque la stessa cosa.

:hello:

Erasmus 30-11-12 00:21

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 636518)
[...]Mi pare comunque la stessa cosa.

Certamente!

Basta aggiungere ad ogni faccia di un solo dado (non importa quale) una arbitraria costante intera A per avere ancora l'andamento uniforme sull'intervallo di interi consecutivi dal minimo A al massimo 6^n – 1 + A inclusi.
Tu hai chiesto il caso particolare con A = 1.

Vedi che per N = 2 ho messo due soluzioni (ovviamente equivalenti): in una quell'A uguale a 1 [aggiunto] sta nel primo dado ... come hai pensato tu, [facce numerate come di consueto: 1. 2, 3, 4, 5, 6]; nell'altra quell'A uguale a 1 sta nel secondo dado.
[Primo dado: 0, 1, 2, 3, 4, 5; secondo dado 1, 7, 13, 19, 25, 31 anziché 0, 6, 12, 18, 24, 30].

Infatti ho detto che era ... PIU' MEGLIO :eek: prendere ogni numerazione da 0 in su (invece che da 1 in su) solo perché in questo modo si può scrivere la numerazione di tutte le facce (numerate con h) di tutti i dadi (numerati con k) con un'unica funzione F(h, k) semplicissima:
F(h, k) = h·6^k
senza considerare il primo dado "speciale" rispetto agli altri.
–––––––
:hello:

aspesi 01-12-12 12:12

Re: Estrazioni casuali
 
Un altro classico problema di pesate

Si devono pesare N sacchetti, rispettivamente di peso 1, 2, ... , N chilogrammi.
Si ha a disposizione una classica bilancia a due piatti e dei pesi campione (che si possono mettere, se interessa, su un piatto o sull'altro in cui è posto il sacchetto).
Sapendo che si può mettere un solo sacchetto alla volta sulla bilancia, qual è il minor numero di pesi campione (e quanto deve essere il peso di ciascuno di loro) necessari per N=40 sacchetti?
E in generale, per qualsiasi N?

:hello:

Erasmus 01-12-12 15:49

Re: Estrazioni casuali
 
h 20:51
Riedito e ... oscuro (o meglio: metto il colore "linen" ;)) per lasciare la possibilità a chi volesse) di rifare lui per vedere se arriva alle stesse conclusioni.
Provo ad andare per N da 1 in su (scrivendo e ragionando ... in «real time»!).
Per N = 2 [un sacchetto da 1 kg e un altro da 2 kg] mi servono 2 pesi campione.
Se metto i pesi sempre su un solo piatto mi servono i due campioni da 1 kg e da 2 kg, ma vanno bene anche due campioni entrambi da 1 kg (usandoli entrambi per il sacchetto da 2 kg). Se, però, posso mettere pesi campione su entrambi i piatti, mi van bene uno da 1 kg e l'altro da 3 kg (equilibrando il sacchetto da 2 kg più il peso-campione da 1 kg su un piatto della bilancia con il peso-campione di 3 kg dell'altro piatto).
Allora con i due campioni da 1 e 3 kg posso arrivare a N = 4.
Per comodità, chiamo Sh il peso del sacchetto da h kg e Ck il peso-campione di k kg.
Per h da 1 a 4 faccio cioè
S1 = C1
S2 + C1 = C3
S3 = C3
S4 = C1 + C3
Provo a pensare N da 5 a 9 inclusi disponendo di un ulteriore peso campione C5.
S5 = C5
S6 = C1 + C5
S7 + C1 = C5 + C3
S8 = C3 + C5
S9 = C1 + C3 + C5
OK.
Ma ... potrei prendere il nuovo campione ancora più grande?
[Sto pensando alla strategia «prossimo campione il più grande possibile»]
Provo con C7 al posto di C5.
S5 + C3 = C1 + C7
S6 + C1 = C7
S7 = C7
S8 = C1 + C7
S9 + C1 = C3 + C7
S10 = C3 + C7
S11 = C1 + C3 + C7
Per essere sicuro che C7 è necessario provo anche con un campioni più grandi.
Provo con C8
S5 + C3 = C8
S6 + C3 = C1 + C8
S7 + C1 = C8
S8 = C8
S9 = C1 + C8
S10 + C1 = C3 + C8
S11 = C3 + C8
S12 = C1 + C3 + C8
Va bene anche C8 [C7 non è necessario]... ma per rispettare la strategia provo ad aumentare ... fino a che sballo!
Provo dunque con C9.
S5 + C1 + C3 = C9
S6 + C3 = C9
S7 + C3 = C1 + C9
S8 + C1 = C9
S9 = C9
S10 = C1 + C9
S11 + C1 = C3 + C9
S12 = C3 + C9
S13 = C1 + C3 + C9
Va ancora bene!
E con C10?
Sballo subito perché, usando tutti i tre pesi-campione mi viene S5 + C1 + C3 < C10.

Vediamo se si può ... estrapolare una regola.
Il peso minimo è ovviamente C1.
Fino ad ora il peso successivo è stato un kg in più del doppio di tutti i precedenti.
[1 ––> 1 + 2·1 = 3; 1 + 3 = 4 ––> 1 + 2·4 = 9]
Il sacchetto di peso massimo pesa ovviamente la somma di tutti i pesi campione.]
Vediamo se la regola (empirica)
«prossimo peso–campione = doppio della somma dei pesi precedenti + 1 kg»
continua a funzionare.
2·(1 + 3 + 9) + 1 = 2·13 + 1 = 27.
Se va bene, siccome 1 + 3 + 9 + 27 = 40, arrivo al sacchetto S40, risolvendo la prima parte del quiz. ;)
[Mi accorgo ora che 1, 3, 9 e 27 sono tutte potenze di 3. Precisamente, fino ad ora Ck = 3^(k–1)]
S14 + C1 + C3 + C9 = C27
S15 + C3 + C9 = C27
S16 + C3 + C9 = C1 + C27
S17 + C1 + C9 = C27
S18 + C9 = C27
S19 + C9 = C1 + C27
S20 + C1 + C9 = C3 + C27
S21 + C9 = C3 + C27
S22 + C9 = C1 + C3 + C27
S23 + C1 + C3 = C27
S24 + C3 = C27
S25 + C3 = C1 + C27
S26 + C1 = C27
S27 = C27
S28 = C1 + C27
S29 + C1 = C3 + C27
S30 = C3 + C27
S31 = C1 + C3 + C27
S32 + C1 + C3 = C9 + C27
S33 + C3 = C9 + C27
S34 + C3 = C1 + C9 + C27
S35 + C1 = C9 + C27
S36 = C9 + C27
S37 = C1 + C9 + C27
S38 + C1 = C3 + C9 + C27
S39 = C3 + C9 + C27
S40 = C1 + C3 + C9 + C27
:ok:

NB: Rilevare che il nuovo peso campione figura in ogni nuova pesata!

---------
Sono soddisfatto!
Ho estrapolato "sperimentalmente" la legge:
Ck = 3^(k–1), [progressione geometrica di ragione q = 3 e termine iniziale 1].
Se è giusta, va bene fino ad N = C1 + C2 + ... + Ck = (q^k – 1)/(q – 1) = (3^k – 1)/2
[Per ora, infatti: (3^1 – 1)/2 = 1; (3^2 – 1)/2 = 4; (3^3 – 1)/2 = 13; (3^4 –1)/2 = 40.]

Per essere ... galileiani occorre però anche controllare se è logico o no che possa funzionare sempre.

(mumble ... mumble ...)
Ma sì che funziona sempre!
Basta ragionare alla Peano [per induzione completa], ossia controllare che si può dedurre che la legge funziona per indice k dal fatto che funziona per tutti gli indici precedenti da 1 a k–1 inclusi.

Beh: la cosa è facile ma non molto breve da scrivere.
[Qui non sono più andato in "real time"!]

Se vi fidate, bene: se no provateci voi!
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Morale:

N =40
4 pesi–campione (rispettivamente da 1 kg, 3 kg, 9 kg e 27 kg).

N intero [positivo] qualsiasi
k pesi-campione di pesi rispettivi 3^(h – 1) con ha intero da 1 a k inclusi
dove k è il più piccolo intero positivo tale che:
(3^k – 1)/2 ≥ N
[e si trova comodamente partendo da 1 e aumentando di una unità alla volta]

----
:hello:

aspesi 01-12-12 17:01

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 637016)
Morale:

N =40
4 pesi–campione (rispettivamente da 1 kg, 3 kg, 9 kg e 27 kg).

N intero [positivo] qualsiasi
k pesi-campione di pesi rispettivi 3^(h – 1) con ha intero da 1 a k inclusi
dove k è il più piccolo intero positivo tale che:
(3^k – 1)/2 ≥ N
[e si trova comodamente partendo da 1 e aumentando di una unità alla volta]

----
:hello:

:ok: Sei troppo forte! ;)
http://en.wikipedia.org/wiki/Balanced_ternary

:hello:

Erasmus 01-12-12 19:31

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 637040)
Sei troppo forte! ;)

Sì ... solo qualche volta e se il quiz è molto facile :o
-----
:hello:

Erasmus 02-12-12 11:52

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

nino280 (Scrivi 637163)
Dimmi che cosa è quel ha un'esclamazione!? O congiunzione. :D

Chi ti capisce è bravo!
Ma Ersamus è bravissimo!
«Ah le differenze tra la voce verbale "ha", l'esclamaziomne "ah" e la preposizione "a" [queste misconosciute]!»

La Congiunzione?
Stavo per dire "Non c'entra". Ma ci sta anch'essa nella frase in corsivo di sopra.
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:hello:


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