Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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aspesi 22-11-12 23:30

Re: Estrazioni casuali
 
Gli abitanti di un'isola dicono la verità 1 volta su 3 e mentono 2 volte su 3.

Ad una mia domanda, uno di loro fa un'affermazione e quando gli chiedo se ha detto la
verità risponde di sì.
Qual è la probabilità che l'affermazione sia effettivamente vera?

:hello:

Erasmus 23-11-12 09:23

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 635063)
Gli abitanti di un'isola dicono la verità 1 volta su 3 e mentono 2 volte su 3.
Ad una mia domanda, uno di loro fa un'affermazione e quando gli chiedo se ha detto la
verità risponde di sì.
Qual è la probabilità che l'affermazione sia effettivamente vera?

Sei diventato ... lapalissiano?
a) «e mentono 2 volte su 3». Diciamo almeno «cioè mentono 2 volte su 3», dato che la frase non aggiunge nulla alla precedente.
b) Quale che sia l'affermazione, (fosse anche: «Non lo so!»), la risposta al quiz, invece che deduciibile dall'ipotesi, è la stessa ipotesi.
Insomma: non c'è nulla da fare!
-----------
Faccio il lapalissiano anch'io! :cool:
L'isolano fa due affermazioni A e B
Abbiamo 4 possibilità con rispettive probabilità:
n. A B p(n)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––
0) F F p(0) = Prob. che siano entrambe false = (2/3)·(2/3) = 4/9
1) F V p(1) = Prob. che la 1ª sia falsa e la 2ª vera = (2/3)·(1/3) = 2/9
2) V F p(2) = Prob. che la 1ª sia vera e la 2ª falsa= (1/3)·(2/3) = 2/9
3) V V p(3) = Prob. che siano entrambe vere= (1/3)·(1/3) = 1/9
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––– [(4 + 2 + 2 + 1)/9 = 9/9 = 1] :eek:

Prob che la prima affermazione sia vera = p(2) + p(3) = (1 + 2)/9 = 3/9 = 1/3 :D
-------
:hello:

aspesi 23-11-12 09:35

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 635088)
Prob che la prima affermazione sia vera = p(2) + p(3) = (1 + 2)/9 = 3/9 = 1/3 :D
-------
:hello:

La probabilità di verità dell'affermazione ovviamente non cambia.
Però, il quiz chiede la probabilità condizionata, in pratica:
P(affermazione iniziale vera | ulteriore conferma)
ossia la fiducia riguardo il verificarsi di un dato evento rivalutata in vista del secondo dato.

E la risposta non è il lapalissiano 1/3 :D

:hello:

Mizarino 23-11-12 10:51

Re: Estrazioni casuali
 
Ho fatto un ragionamento veloce, ma non ho il tempo di rifletterci su e controllare se si tratta o no di un ragionamento del Menga ...:D
Io troverei che le probabilità che abbia detto inizialmente la verità sono 1 su 5.
Se invece avesse risposto no alla seconda domanda, la probabilità che avesse detto inizialmente la verità sarebbero state 1 su 2.
Dico bene o dico sciocco ?... ;)

Erasmus 23-11-12 11:27

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 635093)
La probabilità di verità dell'affermazione ovviamente non cambia.
Però, il quiz chiede la probabilità condizionata, ...

a) No. Chiede «La probabilità che l'affermazione sia effettivamente vera», dove "effettivamente" è pleonastico, dato che (come lapalissianamente ribadito nell'ipotesi) l'isolano o mente o dice il vero (tertium non datur!)
Quote:

aspesi (Scrivi 635093)
[...]in pratica:
P(affermazione iniziale vera | ulteriore conferma)
ossia la fiducia riguardo il verificarsi di un dato evento rivalutata in vista del secondo dato.

Ehhh NO!
Tanto per capirci ... facciamo un esempio di "condizionamento".
Un gatto, per tornare a casa, ha da attraversare due strade pericolose. La probabilità che "lo mettano sotto" è P1 = 1/10 al primo attraversamento e P2 = 1/5 al secondo attraversamento. Qual è la probabilità P che il gatto venga "messo sotto"?
P = P1 + (1 – P1)·P2 = 1/10 + (1 – 1/10)·(1/5) = 1/10 + (9/10)·(1/5) = (5 + 9)/50 = 14/50 = 0,28.

Qui ci sono 2 possibili eventi, di cui il secondo è condizionato dal primo. Se il primo ha un esito di un tipo (con probabilità P1) il secondo nemmeno avviene. Quindi ha probabilità (1 – P1) di avvenire. E se, avvenendo, ha probabilità P2 di avere lo stesso esito del primo, ... ecc.

Nel tuo quiz, invece, il secondo evento (la risposta alla richiesta di conferma), è INDIPENDENTE – non condizionato – dal primo (come lapalissianamente :D è ribadito nell'ipotesi: l'isolano mente due volte su tre).

Non mi puoi dire che, se la prima risposta è falsa, (il che ha probabilità 2/3), la prima risposta potrebbe essere vera con probabilità (2/3)·(1/3) e quindi che l'affermazione sia "effettivamente vera" ha probabilità
1/3 + (2/3)·(1/3) = 5/9
Questa è la probnabilità "a priori" che l'isolano dica la verità almeno una volta su due domande.
[Ovviamente, la probabilità che dica la verità almeno una volta su un numero enorme di domande è quasi 1].
----------
(mumble ... mumble)
Sto pensando che non sei il tipo che fa quiz tanto banali ...
Credevo d'aver risolto il busillis, ... e perciò avevo scritto derll'altro.
Ma poi mi sono ricreduto ed ho cancellato.
Continuo a non capire! :o
---------
:hello:

aspesi 23-11-12 12:06

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 635105)
Io troverei che le probabilità che abbia detto inizialmente la verità sono 1 su 5.

Dico bene o dico sciocco ?... ;)

Dici benissimo!
:hello:

aspesi 23-11-12 12:28

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 635109)
Non mi puoi dire che, se la prima risposta è falsa, (il che ha probabilità 2/3), la prima risposta potrebbe essere vera con probabilità (2/3)·(1/3) e quindi che l'affermazione sia "effettivamente vera" ha probabilità
1/3 + (2/3)·(1/3) = 5/9
Questa è la probnabilità "a priori" che l'isolano dica la verità almeno una volta su due domande.

---------
:hello:

Vero.
Però, quello che hai calcolato è anche il "campo", cioè la condizione che determina la risposta "sì" alla mia seconda domanda (cioè se ha detto la verità alla prima).
Visto che l'isolano è più propenso a dire le bugie, una sua seconda affermazione riduce la probabilità che la prima affermazione sia vera.

:hello:

Erasmus 23-11-12 13:05

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 635119)
Visto che l'isolano è più propenso a dire le bugie, una sua seconda affermazione riduce la probabilità che la prima affermazione sia vera.

:eek:
Questa non l'ho capita!
Cos'è, un nuovo "postulato" della "probabilità frequentistica"? :mmh:
[Non offenderti: ma mi viene in mente la "teoria del numero ritardatario" (al lotto). (Sempre in ambito di "probabilità frequentistica").
«Visto che a lungo andare il numero di volte che esce un certo numero è 5/90 = 1/18 del numero di estrazioni, se fino ad ora è uscito meno di una volta su 18 vuol dire che a partire da adesso dovrà uscire più spesso di una volta su 18, ossia è più probabile che esca un "ritardatario" che un numero già uscito molte volte»].
:lipssealed:
---------
:hello:

Mizarino 23-11-12 13:27

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 635117)
Dici benissimo!

Allora il mio ragionamento era giusto. Vediamo se riesco a convincere Erasmus, sperando che comprenda la sintesi con cui esprimo il ragionamento e non pretenda una dissertazione di 18 pagine ... :D
Codice:

Casi alla 1a risposta:    V        F        F
Casi alla 2a risposta: SI NO NO  NO SI SI  NO SI SI
Morale:
1 SI su 5 si collega alla risposta vera.
2 NO su 4 si collegano alla risposta vera.

:hello:

Erasmus 23-11-12 13:34

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 635105)
Ho fatto un ragionamento veloce, ma non ho il tempo di rifletterci su e controllare se si tratta o no di un ragionamento del Menga ...

E quale sarebbe il possibile ragionamento "del Menga" ?

[Ma quando mai l'Illustrissimo farebbe un ragionamento del Menga? :mmh:]

Siccome 1/5 = (1/3) ·(3/5), da dove salta fuori 'sto fattore 3/5 che ridurrebbela probabilità che la prima affermazione sia veritiera?
Da dove viene 'sto fattore 5 del denominatore? :mmh:
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:hello:
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P.S.
OFF TOPIC, OFF Forum, OFF Coelestis ...
Miza: dato che sei qua ...
Stamattina ti pensavo perché mi chiedevo come funziona (supposto che funzioni davvero) l'acchiappa colori. [A chi potrei chiederlo se non all'Illustrissimo? :D]
Cioè: si vendono scatole di fazzoletti di materiale non meglio identificato (ma che assomiglia ad una stoffa leggera) che, aggiunti al bucato di indumenti colorati, impedirebbero ad un colore un po' solubile di un indumento di andare a colorare indesideratamente un altro indumento ...
E' una balla o funziona davvero?
E se non è una balla, come funziona?

Grazie dell'attenzione
--
Ciao ciao


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