Re: Estrazioni casuali
 

Certo, se p>0,5 avrei un vantaggio matematico a scommettere. E' questa p che occorre calcolare.

La distribuzione è la stessa per qualsiasi t0 e qualsiasi T> = 0 e le distribuzioni per intervalli di tempo disgiunti [t0, t1], [t2, t3], t1 <t2, sono stocasticamente indipendenti.

Quindi la probabilità che vi sia almeno un arrivo
[t0, t0 T] è .... :mmh:

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Ma allora era giusta l'ipotesi 2), cioè:[Intendevo che la densità di probabilità [quella che tu chiami "distribuzione"] è costante e sempre la stessa in qualsiasi intervallo di tempo e pari a "3 treni all'ora"].
Perché m'hai detto di no e che tre erano i treni in ogni ora? :mad:
[Giusta l'osservazione dell'indipendenza stocastica. Ed è per questo che può succedere (anche se con infima probabilità) che non passi alcun treno per un intero giorno come che ne passino, in un solo giorno, trecento!]-

Mi pare che è un pochino come il gioco del lotto.
[Ma non so quanti numeri si estraggono alla volta. Se ne estraggono 5? Ma non ha importanza per quello che sto per dire. Mi pare di ricordare che le estrazioni abbiano frequenza settimanale].
Allora: penso un numero X compreso tra 1 e 90. Mediamente su una stessa "ruota" viene estratto per primo ogni 90 settimane, quindi, mediamente, viene estratto tre volte ogni 270 settimane. Ecco: per un essere tanto lento che per lui 270 settimane sono come è un'ora per te, l'uscita di X è (pressapoco) come il passaggio d'un treno per te.

Comunque, i passaggi dei treni sono indipendenti uno dall'altro. E quindi, mediamente, passa un treno ogni 20 minuti; ossia ... un ventesimo di treno al minuto! :D

Se facessi una simulazione "discreta", per esempio a passi di 1 minuto, la probabilità mi verrebbe:
0,05·1 + 0,05·0,95+ 0,05·0,95^2 + ... +0,05·0,95^14 = 0.05·(1–0,95^15)/(1 – 0,95) =
= 1 – (1 – 1/20)^15 = 0,5367...
Se la facessi a passi di mezzo minuto avrei:
p = 1 – (1 – 0,025)^30 = 0,53211 ...
Un po' minore, ma di poco.

Si noti che
1– (1 – 1/20)^15 = 1 – [(1 – 1/20)^20]^(3/4);
1 – (1 – 1/40)^30 = 1 – [(1 – 1/40)^40]^3/4.

E se facessi la simulazione discreta a passi di 1 secondo?
Troverei:
p = 1 – [1 – 1/(20·60)]^(15·60) = 1 – [(1 – 1/1200)^1200]^3/4 = 0,52778 ...

Mi ricordo anche che, al tendere di n all'infinito, il limite di (1 – 1/n)^n vale 1/e.

Raffinando in passi sempre più piccoli la simulazione discreta si tende alla distribuzione continua; e si trova [in generale] che, se mediamente l'intervallo tra un treno e l'altro è T, la probabilità che nel tempo t passi almeno un treno è
p(t) = 1 – e^(–t/T). (*).

Nel nostro caso è T = 20 minuti e t = 15 minuti, quindi t/T = 3/4 e infine:

p(15 minuti) = 1 – 1/√[√(e^3)] ≈ 0,5276.. > 1/2.

SI' che ti conviene scommettere alla pari!
-----------------
NB: Ho fatto tutta questa trafila che approda alla formula (*) per evitare di sbatterti qua l'equazione differenziale :D.

Ma se non ti fa schifo te la metto.

L'equazione differenziale si trova guardando come cresce la probabilità in un tempo infinitesimo dt.
Risulta quindi (contando il tempo in ore) dalla considerazione che la densità di probabilità è D = 3 (treni all'ora) e quindi, se p(t) è la probabilità che nel tempo t sia passato almeno un treno, quella che sia passato almeno un treno nel tempo t + dt è:
p(t+dt) = p(t) + [1 – p(t)]·(D·dt) ––> [p(t+dt)–p(dt)]/dt = D[1–p(t)].
Posto h(t)= 1 – p(t), si ha dp/dt = – dh/dt e quindi, per K costante (da determinare poi):
dh/dt = – D·h(t) ––> h(t) = K·e^(–D·t) –––> p(t) = 1 – h(t) = 1 – K·e^(– Dt).
Dovendo essere p(0) = 0 deve essere 1 – K = 0 ––> K = 1.
In definitiva
p(t) = 1 – e^(–Dt).
Per D = 3 treni all'ora, la probabilità che passi un treno entro 1/4 d'ora è:
1 – e^(–3/4) = 1 – 1/√[√(e^3)] ≈ 0.527633 ...
C. D. D. :rolleyes:

Re: Estrazioni casuali
 

:ok::ok: Perfetto!

E' un processo di Poisson, con intensità (=media) m, nel caso in esame, = 3 treni ogni ora.
La probabilità che ci siano esattamente k eventi (arrivi) in ogni intervallo da t0 a T (ore) ha media T*m

P(k) = (m*T)^k * e^(-m*T) / k!

Quindi, la probabilità che non vi sia nessun arrivo è:

P(0) = e^(-m*T)

e la probabilità che vi sia almeno un arrivo è:

P(T) = 1 - e^(-mT)

come hai dimostrato.

:hello:

(Giusta la riflessione sulle estrazioni del lotto)

Re: Estrazioni casuali
 

Ci sono 8 cacciatori che sparano un colpo ciascuno ad un bisonte in fuga.
Ognuno di loro ha una probabilità su quattro di colpire e ferire l'animale.
Il bisonte muore qualora dovesse essere colpito da almeno tre colpi di fucile.

Qual è la probabilità che il povero bisonte venga ucciso?

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Sai che non sono forte in questo genere di quiz.
Mi pare, tuttavia, che si tratti di un caso di distribuzione "binomiale".
Provo a vedere cosa succede ... come la vedo io.
[...]
:mmh: 21067/65536 ? :mmh:
Sarebbe interessante confrontare con la simulazione a "forza bruta"-
Sotto, astromauh, ché tocca a te! :D
-----------
:hello:
Sia p + q = 1. Allora (p + q)^n vale sempre 1 per qualsiasi n. In particolare, per n = 8, abbiamo
(p + q)^8 = p^8 + 8q·p^7 + 28(q^2)·p^6 + 56(q^3)·p^5 + 70(q^4)·p^4 + 56(q^5)·p^3 + ecc. =1
Sia ora p la probabilità che uno degli 8 cacciatori colpisca il bisonte e q = 1– p che non lo colpisca. Allora:
• p^8 è la probabilità che lo colpiscano tutti
• 8·q·p^7 è la probabilità che lo colpiscano in 7
• 28(q^2)·p^6 ... in 6
• 56(q^3)·p^5 ... in 5
• 70(q^4)·p^4 ... in 4
• 56(q^5)·p^3 ... in 3

La probabilità p che il povero bisonte muoia (cioè di essere colpito da almeno tre volte), è la somma di essere beccato da (precisamente) 8, 7, 6, 5, 4 o 3 fucilate. In particolare, per p =1/4 [e q = 3/4] abbiamo
p = (1 + 8·3 + 28·3^2 + 56·3^3 + 70·3^4 + 56·3^5) / 4^8 = 21067/65536 ≈ 0,3214569

Re: Estrazioni casuali
 

Si fanno meno conti a stabilire la probabilità che il bisonte non tiri le cuoia.
Questa dovrebbe essere
(3^8 + 8·3^7 + 28·3^6)/4^8 = 44469/65536 ≈ 0,6785431
Il complemento ad 1 è la risposta al quiz, cioè (65536 – 44469)/65536 = 21067/65536.
-----
:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

:ok:

Sarebbe piaciuto anche a me vedere i risultati di una simulazione...

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Uno studente un po' zuccone (un certo francis :D) deve partecipare ad un test d'esame con 30 domande, ciascuna a risposta multipla; ogni domanda ha quattro possibili risposte di cui una corretta e le altre sbagliate.
L'esame viene superato da chi riesce a rispondere correttamente ad almeno 16 domande.

Difettando di preparazione, il nostro :D non ha alternative e dovrà rispondere sicuramente a caso ad ogni domanda.
Non si rende conto, il poveretto, che la probabilità di riuscire nell'impresa (almeno 16 risposte esatte) è un po' bassina per sperare (circa 8 su 10mila) e che gli converrebbe mettersi finalmente a studiare...

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Uno studente più furbo, ma svogliato (un certo Miza :D), si accorge che delle 4 risposte possibili ad ogni domanda, due sono facilmente scartabili col solo buon senso. Perciò adotta la seguente strategia: siccome un terzo del programma gli è congeniale e gli piace, lo studia bene. Del resto se ne frega e si affida, per le risposte, al solo buon senso.
Che probabilità ha di superare l'esame, totalizzando almeno 16 risposte esatte ?

Re: Estrazioni casuali
 

Beh..., ma così non vale...;)
Se ho capito, Miza non sta neppure a riflettere su 10 delle 30 domande (e quindi parte già da 10!) e sulle altre 20 domande esclude due risposte e quindi ha il 50% di rispondere esattamente a ciascuna.
Di queste 20, basta che ne azzecchi almeno 6...
Può andare sul sicuro! :D (97,93% di probabilità di passare l'esame)

:hello: