Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

Erasmus 17-09-12 18:19

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 620932)
Se avevi l'opportunità di scegliere 2 numeri (simultaneamente), avresti avuto 2 possibilità su 1000 (1/500)

:mmh:

[Per inciso: Attento ai "vigilantes" della ADC (Associazione per la Difesa del Congiuntivo, in cui milita pure l'Illustrissimo]

Scusami la pignoleria (e se no ... che Erasmus sarei?)
Simultaneamente o no, i due numeri dovrebbero pur essere verificati uno alla volta!
La possibilità è una sola su 1000 per il primo numero verificato. Se questo è il numero giusto, per il secondo non c'è alcuna possibilità. Se il primo numero non è quello giusto, per il secondo numero c'è una sola possibilità non più su 1000 ma su 999. La probabilità di azzeccare n in due tentativi è sì 1/500. Ma non è la stessa cosa di "due possibilità su 1000" anche se il risultato è lo stesso. Precisamente:
• Un numero su 1000 possibili ha probabilità 1/1000 di essere quello giusto.
• Una volta verificato che è sbagliato [cosa che ha probabilità 1 – 1/1000 di accadere], i numeri possibili sono uno di meno; e la probabilità con due tentativi è dunque:
1/1000 + (1 –1/1000) ·1/(1000 – 1) = 1/1000 + 1/1000 = 1/500.
Quote:

aspesi (Scrivi 621041)
... la simulazione proposta da te, [...] è sbagliata (non corrisponde alle regole del quiz)

:mmh:
Togliamo il "rumore" e veniamo alla sostanza.
Ho due informazioni, la seconda successiva alla prima.
1) In un'urna ci sono n – numero incognito! – palline numerate da 1 ad n, con 1 ≤ n ≤ 1000 , n intero sorteggiato con distribuzione di probabilità uniforme tra 1 e 1000.
2) So che una delle palline dell'urna è quella numerata 901.
Domanda: che probabilità ha un numero m, con 901 ≤ m ≤ 1000, di coincidere con n?


Dire che mi conviene puntare su un preciso mp – dicevi il 901, se ben ricordo – equivale a dire che la probabilità che sia mp = n è maggiore di quella che sia m=n per ogni altro m tra 901 e 1000; ossia che, su un fottìo di random-estrazioni di m tra 901 e 1000, il numero di volte che uscirebbe mp sarebbe maggiore del numero di volte con cui uscirebbe ogni altro m.

[Ed è proprio questo che mi pare ... demenziale! :D La precedente ipotesi, infatti, equivale a dire che, su un fottìo di casi, – un googol ?! – l'uscita di ogni numero tra 1 e 1000 avviene (circa) lo stesso numero di volte, ossia (a lungo andare) una volta su mille].

Basterebbe, dunque, continuare per un fottio di volte a sorteggiare un intero n tra 1 e 1000, buttarlo via se è minore di 901 – benché anche questo sia superfluo! – e contare la frequenza di n tra 901 e 1000 inclusi.

E' superfluo ma non "sbagliato" anche il secondo passo che ho detto:
«Una volta che è uscito un certo n > 900, ripetere un fottio T di volte il sorteggio di m tra 901 e 1000 inclusi e contare quante volte succede m = n, [diciamo F(m=n) questo numero di volte]; e questo per ogni n [tra 901 e 1000 inclusi] uscito nel precedente sorteggio; ossia fare l'stogramma F(m=n)/T per n da 901 a 1000 inclusi ».
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Mi sa che l'alta quota di quest'estate ti ha fatto male!
Ce l'avevi, almeno, un cappello? Non ti sarai beccato un'overdose di raggi cosmici?

Oppure ... ti sei avvicinato troppo a qualche stella iettarice...
Che diceva a proposito l'oroscopo di Ciro Discepolo? :mmh:
--------
Ciao ciao

aspesi 17-09-12 18:31

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 621041)
, scommetto che n=901 comparirà circa il 19% delle volte.
n=910 per circa 1,9%
n=950 per circa 0,38%
n=1000 per circa 0,19%

:hello:

Correggo questo grossolano errore (ero appena di ritorno da Casorzo, ove mi ero rifornito di vino, e non solo.... :D)

Premesso che la conclusione è valida, la probabilità di indovinare il numero n delle palline contenute nel sacchetto è:

0,0105397 se si dice 901
0,0104354 se si dice 910
0,0103220 se si dice 920
0,0102110 se si dice 930
0,0101024 se si dice 940
0,0099960 se si dice 950
0,0098919 se si dice 960
0,0097899 se si dice 970
0,0096900 se si dice 980
0,0095921 se si dice 990
0,0094962 se si dice 1000

:hello:

aspesi 17-09-12 18:52

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 621155)

Mi sa che l'alta quota di quest'estate ti ha fatto male!
Ce l'avevi, almeno, un cappello? Non ti sarai beccato un'overdose di raggi cosmici?
--------
Ciao ciao

Però, tu dovresti leggere attentamente il mio messaggio #576

Ancora più semplice:
Supponiamo che il numero massimo di palline sia tre, e che l'amico abbia sbirciato una delle palline.
A questo punto le probabilita` sono le seguenti: le indico nella forma m(n) intendendo che ci sono n palline nell'urna e lui ha sbirciato la pallina m.

1(1) = 1/3
1(2) = 1/6
2(2) = 1/6
1(3) = 1/9
2(3) = 1/9
3(3) = 1/9

Posto che la pallina vista e` la 2, solo il terzo e il quinto caso sono possibili: rinormalizzando abbiamo

2(2) = 3/5
2(3) = 2/5

quindi conviene dire che ci sono due palline nell'urna.

------

-Per vincere devi indovinare n e non il numero che era stato estratto a caso (fra 1 e 1000)?
Non è demenziale!
Infatti, è l'informazione (che ci sono più di 900 palline nel sacchetto) a circoscrivere la soluzione nel campo 901-1000, mentre il numero estratto a caso poteva essere qualsiasi da 1 a 1000.

Erasmus 17-09-12 18:57

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 621167)
Correggo questo grossolano errore (ero appena di ritorno da Casorzo, ove mi ero rifornito di vino, e non solo.... )

Ah così? di' la verità: quanto vino hai assaggiato durante il rifornimento? :D
Ma l''errore era ancora più grossolano!
Tel chì:
Quote:

aspesi (Scrivi 621041)
[...]
Come avevo scritto in precedenza, scommetto che n=901 comparirà circa il 19% delle volte.
n=910 per circa 1,9%
[...]

Trattandosi di un "errore di sbaglio", nel risponderti l'ho ignorato. :)
-------------
Quando ti è passata la sbornia, ripensaci!
[Aiutino: «Che me frega più dei numeri tra 1 e 900 dopo che ho saputo che una pallina è numerata 901?»
Sparo certamente un intero m con 901 ≤ m ≤ 1000. :p
Tout le rest est litterature! ]
-----------
:hello:

aspesi 17-09-12 19:03

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 621183)
Tout le rest est litterature! ]
-----------
:hello:

Scommetto quello che vuoi sull'esattezza dei risultati indicati al messaggio 582.

Rob77, se vuole, potrà fare la simulazione.

Erasmus 18-09-12 10:03

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 621191)
Scommetto quello che vuoi sull'esattezza dei risultati indicati al messaggio 582.

Scommetti, scommetti!
Io non scommetto mai. :D
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Non ho intenzione di "slambiccarmi" di nuovo per capire in cosa tu credi che io abbia interpretato male il quiz.
Più ci penso, più sono sicuro di trovarmi davanti ad un banalissimo quiz da quinta elementare che, chissà perché, tu vuoi complicare ... assurdamente.

Facciamo una variante.
Lo spione tuo amico è un indovino che non sbaglia mai; e ti dice:
«Non c'è nessuna pallina col numero 101»
E siccome le palline sono numerate da 1 a n, se non c'è la 101 non ci sono nemmeno quelle di numero tra 102 e 1000.
Ma tu non sai quante sono, perché non sai se ci sono tutte quelle numerate tra 1 e 100.

Secondo te cambia qualcosa rispetto alla situazione del tuo quiz? :
Secondo me non cambia nulla: i casi possibili sono sempre 100 e ancora equiprobabili.
Cosa direbbe invece il tuo procedimento? :mmh
-------------
Mi pare – correggimi se sbaglio – che tu, nel far uscire probabilità decrescenti da 901 in su, consideri intrinsecamente la numerazione delle palline (da 1 ad almeno 901), cioè l'ordine dei rispettivi numeri interi.
Se è così, renditi conto che invece la numerazione (cioè l'ordine) non conta nulla. Quel che conta è soltanto la cardinalità dell'insieme contato (cardinalità che è il numero associato all'oggetto contato per ultimo e prescinde dall'ordine del conteggio, cioè dalla identità stessa dei singoli oggetti dell'insieme).
Dunque:
a) Tu dapprima sai che la probabilità che la cardinalità n valga questo o quell'intero tra 1 e 1000 inclusi è la stessa.
b) Poi vieni a sapere che n è almeno 901. Ricordando allora la precedente conoscenza, focalizzi che, in particolare, la probabilità che n sia questo o quell'intero tra 901 e 1000 inclusi è la stessa. E siccome adesso sai che la probabilità che sia 1 ≤ n ≤ 900 è ZERO, concludi che, per qualsiasi m intero tu spari tra 901 e 1000 inclusi hai sempre probabilità 1/100 di indovinare n

Se ancora non sei convinto, temo proprio che il riportarti sulla retta via sia un'impresa disperata! :D
Quote:

aspesi (Scrivi 621191)
Rob77, se vuole, potrà fare la simulazione.

Temo che la simulazione (almeno nel caso 901 ≤ n ≤ 1000) non darebbe risultati che permettano di decidere se hai ragione tu o no. Troppo esigua la differenza tra i tuoi numeri ed 1/100 tondo!
Eccoli qua i tuoi numeri:
Quote:

0,0105397 se si dice 901
0,0104354 se si dice 910
0,0103220 se si dice 920
0,0102110 se si dice 930
0,0101024 se si dice 940
0,0099960 se si dice 950
0,0098919 se si dice 960
0,0097899 se si dice 970
0,0096900 se si dice 980
0,0095921 se si dice 990
0,0094962 se si dice 1000
Li vedo tutti ... praticamente un centesimo.

[Miza ci potrebbe dire ... quanto grande deve essere il fottio di estrazioni per "confidare" in accuratezze di almeno 3 cifre. Ma farebbe più presto a farci da arbitro. ;) ]
________
:hello:

aspesi 18-09-12 13:15

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 621321)

Se ancora non sei convinto, temo proprio che il riportarti sulla retta via sia un'impresa disperata! :D

Maledizione!:o:(

Ho fatto una simulazione (su un numero minore di palline, n=10 e n=20 massimo, con m=7 e m=15, l'accuratezza dei risultati ottenuti sembra sufficiente).
E sembra dar ragione a te (distribuzione uniforme del numero delle palline da m visto a n massimo).

Eppure, il ragionamento che avevo fatto mi pare convincente.
Ricordo che anni fa c'era stata una discussione in Internet proprio su questo quiz.
Con Bayes si arrivava alla conclusione che la probabilità di indovinare il numero delle palline è massima per m=901.

Cerco su Internet, magari trovo qualcosa...

:hello:

aspesi 18-09-12 13:49

Re: Estrazioni casuali
 
Ecco qua:
https://groups.google.com/group/it.h...h%2F2000-06%3F

Ecco cosa scriveva S. Sergio (di cui in questa materia mi fido ciecamente), il 5 giugno 2000:

Il fatto di aver visto la 901 ci dà un appiglio per poter stimare il valore di n in maniera verosimile.
Utilizziamo la formula di Bayes dell'inversione della causa con l'effetto.
Cerchero` di giustificare i passaggi per chi non conosce il metodo.
Dunque: la probabilita` P(n=k,a=901) che le palline siano k e che sbirciando a caso capiti di vedere la 901 si puo` calcolare in due modi distinti:
(1) P(n=k|a=901)*P(a=901)
ovvero moltiplicando la probabilita` che le palline siano k sapendo di aver visto la 901 per la probabilita` *a priori* di pescare proprio la 901,
oppure
(2) P(a=901|n=k)*P(n=k)
ovvero moltiplicando la probabilita` di pescare la 901 sapendo che sono k, per la probabilita` a priori che siano proprio k.


Confrontando i due procedimenti si ottiene la formula di Bayes:

P(n=k|a=901)=p(a=901|n=k)*P(n=k)/P(a=901);

p(a=901|n=k) vale 1/k per k>900 e 0 altrimenti P(n=k)=1/1000
P(a=901) si potrebbe calcolare, ma ci basta sapere che non dipende certo da k, ma e` costante e vale c.


Allora scommettendo che nell'urna ci siano k palline, con k ovviamente maggiore di 900 avremmo una probabilita' di vincere che vale:
P(n=k|a=901)=1/k*1/1000*1/c
ed e` massima quando k e' la piu' bassa possibile, ovvero per k=901


La cosa non deve sorprendere piu` di tanto: meno sono le palle e piu` facile e` che sbirciando a caso si riesca a vedere proprio la 901, quindi l'aver visto proprio la 901 e` frutto piu` probabilmente di una situazione con 901 palle che non con 1000.



Quello che e` ancora piu` sorprendente secondo me e che se anche non avessimo idea del range di variazione di n, ne` delle modalita` di scelta del numero di palline nell'urna, la stima piu` verosimile di n sarebbe sempre 901. Notate che in questo caso non potremmo utilizzare il metodo di Bayes, non essendo nota la distribuzione *a priori*.


Nel caso di ignoranza assoluta non puoi fare meglio, in sede di stima, che ipotizzare che il numero di palline sia proprio dato dalla pallina che sei riuscito a vedere.

Questo tipo di stimatore si chiama "di massima verosimiglianza", ad indicare il fatto che la composizione dell'urna dalla quale con piu` facilita` si estrae il numero k e` proprio quella con k numeri.
Non e` l'unico stimatore possibile, ed ha anche qualche difetto, per esempio e` *distorto*, nel senso che se calcoli il numero medio delle palline inserite nell'urna, questo valore non coincide con la media delle stime fatte usando una singola osservazione.
Questo e` ovviamente dovuto al fatto che quasi sicuramente la nostra e` una sottostima del numero di palline nell'urna, pur essendo la piu` verosimile.

Conoscendo la legge che regola il numero di palline inserite nell'urna, come nel nostro caso, potremmo tentare di fare una stima *non distorta*. Per esempio potremmo pensare che il numero visto sia quello di mezzo tra i presenti, non essendoci motivo per cui debba essere tra i piu` alti o i piu` bassi.
Quindi stimiamo n=2k-1, dove k e` il valore osservato (
??? l'ho messo io). In questo caso la stima e` mediamente corretta, nel senso che non e` sistematicamente sbilanciata, ma non e` la piu` verosimile, quindi se dovessi scommettere, pur sapendo che quasi sicuramente sbaglio per difetto, direi 901.

Attenzione: dire che ci sono almeno 901 palline e dire di aver visto la 901 sono due cose abbastanza differenti. La seconda implica la prima ma non viceversa.
Se io so che ci sono almeno 901 palline non ho nessun motivo per stimare il numero delle palline in 901 anziche' un numero superiore. Aver *visto* la 901 invece mi dà informazione. Mi dice che e` successa una cosa, e mi induce a pensare "ma..., se fossero 936, pescandone una a caso quante volte pescherei la 901? e se fossero proprio 901?" innescando quindi il meccanismo di Bayes.
Diversamente, se chiedessi all'organizzatore: "ma la 901 c'e`?" in caso di risposta positiva non potrei puntare con qualche fondamento su un numero superiore al 900 piuttosto che su un altro.
Quindi se qualcuno mi dice che c'e` almeno la palla numero uno nell'urna, se lo poteva pure risparmiare, se invece mi dice che da un buchetto dell'urna ha intravisto il numero uno, e` pacifico che io scommetto sulla presenza di un'unica palla.

:hello:

aspesi 18-09-12 16:50

Re: Estrazioni casuali
 
Infatti, le simulazioni confermano le mie valutazioni ed i risultati che avevo riportato (in precedenza avevo sbagliato il programmino, non ho nessuna esperienza di programmazione...:()

Ecco qui:

Codice:

DIM a(100)
CLS
FOR i = 1 TO 100
a(i) = 0
NEXT i
RANDOMIZE TIMER
FOR i = 1 TO 1000000000
n = INT(RND*1000) + 1
IF n < 901 THEN GOTO 20
m = INT(RND*n) + 1
IF m = 901 THEN a(n - 900) = a(n - 900) + 1
20 NEXT i
FOR i = 1 to 100
PRINT a(i);
NEXT i
END

Questi sono i risultati (da 901 a 1000)



E questo è l'andamento della probabilità:


Il coefficiente di correlazione è piuttosto scarso (occorrerebbe aumentare il numero dei casi da esaminare, ma occorrerebbe troppo tempo), ma i risultati della simulazione sono in ottimo accordo con quelli calcolabili.

:hello:

aspesi 18-09-12 19:06

Re: Estrazioni casuali
 
Anticipando l'obiezione che i risultati riportati nel messaggio precedente potrebbero essere poco significativi, ho ripetuto la simulazione considerando un massimo n di 100 palline e ammettendo di aver visto che nel sacchetto è presente (m) la n.91.

I valori di probabilità (P_c = probabilità calcolata; P_s = probabilità simulazione) ottenuti con 500 milioni di sorteggi sono:

91) P_c= 0,10485 ........... P_s = 0,10481
92) P_c= 0,10371 ........... P_s = 0,10362
93) P_c= 0,10259 ........... P_s = 0,10248
94) P_c= 0,10150 ........... P_s = 0,10175
95) P_c= 0,10044 ........... P_s = 0,10047
96) P_c= 0,09939 ........... P_s = 0,09954
97) P_c= 0,09836 ........... P_s = 0,09821
98) P_c= 0,09736 ........... P_s = 0,09730
99) P_c= 0,09638 ........... P_s = 0,09641
100) P_c= 0,09541 ........... P_s = 0,09542

A questo punto, dovrebbe essere chiaro anche a te...:D

:hello:


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