Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 16-09-12 17:36

Re: Estrazioni casuali
 
In un'urna sono state immesse n palline numerate da 1 a n e rimescolate accuratamente.

n è stato sorteggiato a caso, cioè con uguale probabilità fra i numeri da 1 a 1000.

La puntata è di 1 euro e se ne vincono 500 (lasciamo perdere l'iniquità della quota!) se si indovina il numero n di palline nell'urna.
L'impresa è ardua perchè la probabilità di indovinare è di 1 su 1000, ma inaspettatamente ti arriva una soffiata:
un amico ti dice che sbirciando dentro l'urna ha visto che contiene parecchie palline e in particolare è riuscito a leggere il numero 901 su una di esse.

Bene! Ora sai che 900 < n <=1000 e puoi escludere i numeri da 1 a 900;
giocando 100 euro (i 100 numeri da 901 a 1000) potresti sicuramente vincere e guadagnarne 400.
Però, in tasca hai solo un euro...
Su che numero ti conviene puntare?

:hello:

Erasmus 16-09-12 18:57

Re: Estrazioni casuali
 
Non ho capito un tubo!
In particolare ... mi sconcerta la domanda: «A che serve che le palline siano numerate se devo semplicemente indovinare quante sono?» :mmh:

E a che serve che ci sia un'urna con n palline? :mmh:
Non bastava un bigliettino ripiegato che nascondesse il numero [intero] da indovinare compreso tra 0 e 999 inclusi?
[ 0 ≤ n ≤ 999]

La soffiata, dici?
Il tizio che ha sbirciato è sicuro che il numero è di tre cifre e che la prima cifra è un nove.
[900 ≤ n ≤ 999]

Se è così ... è come tentare di indovinare un intero tra 901 e 1000 inclusi sparando un solo numero.
Ci vedo un centesimo di probabilità per qualsiasi numero sparato tra 901 e 1000 inclusi
Ma allora perché mi domandi su quale numero mi conviene puntare? :mmh:

Insomma: NON HO CAPITO UN TUBO ! ! !
------------
:hello:

aspesi 16-09-12 19:49

Re: Estrazioni casuali
 
Ci sono 1000 palline, contrassegnate da 1 a 1000.

Il "banco" sceglie a caso un numero n fra 1 e 1000.

Supponiamo esca ad es. n=523.
Allora (non deve interessarti il perché :D) vengono prese 523 palline (quelle numerate da 1 a 523) che sono messe in un sacchetto.

A questo punto inizia il gioco. Tu, giocatore, hai a disposizione e punti un numero m.
Se n=m indovini e vinci.

Nel quiz, un amico ti aiuta: ha intravisto nel sacchetto, fra le varie palline, quella contrassegnata 901.

Mi pare che tu nel messaggio precedente dici che questo aiuto ti consente di aumentare la tua probabilità di indovinare il numero n delle palline messe nel sacchetto da 1/1000 a 1/100 e che i numeri da 901 a 1000 sono ugualmente probabili.
Pensaci su.

:hello:

Erasmus 16-09-12 20:50

Re: Estrazioni casuali
 
L'hai detto tu che, se disponessi di 100 euro (cioè se potessi puntare su ciascun numero da 901 a 1000 inclusi) sarei sicuro di vincere (i 500 euro), con un guadagno netto di 400 euro!

[Per inciso: se disponessi di 100 euro non punterei simultaneamente su ciascun numero tra 901 e 1000, ma punterei prima su un solo numero di questi, poi se non vinco su un altro ... e così via finché non vinco. E se mi capitasse di vincere alla centesima volta mi considererei comunque tanto "sfigato" che più "sfigato" non si può!]

E prima – prima di aggiungere la "soffiata" – avevi detto che ogni intero tra 1 e 1000 era equiprobabile.

Continuo a non capire come potrebbero non essere equiprobabili tutti gli interi tra 901 e 1000.
:mad:
Oh bella: perché mai 951 e 952 dovrebbero avere probabilità diversa? :mmh:
-----
:mad:

aspesi 16-09-12 21:41

Re: Estrazioni casuali
 
Ti sembra paradossale questa affermazione:
-Per vincere devi indovinare n e non il numero che era stato estratto (fra 1 e 1000)?

Tu sai che nell'urna c'è dentro il numero 901.
Te l'hanno detto, è come se ti permettessero di estrarre a caso una pallina, e tu vedessi che è la 901.
Tutti i numeri inferiori a 901 sono da scartare.

Senza l'informazione, scegliendo tu un numero, avevi una sola possibilità su 1000 di indovinare.
Se avevi l'opportunità di scegliere 2 numeri (simultaneamente), avresti avuto 2 possibilità su 1000 (1/500)
Conoscendo il numero 901, hai quindi 901 possibilità su 1000.
Quindi....

:hello:

aspesi 17-09-12 09:28

Re: Estrazioni casuali
 
Nessun altro che interviene?

Supponiamo che il numero di palline nell'urna sia n da 1 ad un massimo di 5.
Ovviamente, scegliendo a caso, la probabilità di indovinare n è 1/5 (20%)
n=1 ..... p =1/5
n=2 ..... p =1/5
n=3 ..... p =1/5
n=4 ..... p =1/5
n=5 ..... p =1/5

L'amico sbircia e vede che è presente una pallina, che indico m.
A questo punto, le probabilità, che indico nella forma m(n), intendendo che ci sono n palline nell'urna e lui ha visto la pallina m, diventano:
1(1) = 1/5
1(2) = 1/10
2(2) = 1/10
1(3) = 1/15
2(3) = 1/15
3(3) = 1/15
1(4) = 1/20
2(4) = 1/20
3(4) = 1/20
4(4) = 1/20
1(5) = 1/25
2(5) = 1/25
3(5) = 1/25
4(5) = 1/25
5(5) = 1/25

Supponiamo ora che la m sbirciata sia 3.
Se diciamo a caso 3 o 4 o 5 la probabilità di indovinare sembra che aumenterebbe in tutti e 3 i casi da 1/5 a 1/3.
In realtà, osserviamo che i casi possibili sono solo 3(3), 3(4) e 3(5).
Se normalizziamo, abbiamo:
3(3) = 20/47
3(4) = 15/47
3(5) = 12/47
Da cui si deduce che conviene dire che nell'urna ci sono 3 palline, la cui probabilità di indovinare è di ben il 42,55%.

:hello:

Erasmus 17-09-12 11:57

Re: Estrazioni casuali
 
Mi "slambicco" per capire cosa intendi di preciso (in termini di "teoria della probabilità) con m(n).
Provo a spiegarmi restando nell'esempio n = 5.
La soffiata mi dice: «Nell'urna ho visto la pallina nr. 3»
Allora penso: le palline sono almeno 3.
Secondo te dovrei forse proseguire pensando;
«Se sono almeno 3 ho probabilità [di indovinare] 1/3 sparando "3" o "4" o "5"
Ma se fossero almeno 4 avrei probabilità 1/2 sparando "4" o "5"
E se fossero 5 avrei probabilità 1 sparando "5".
Se è equiprobabile che siano 3 o 4 o 5 faccio allora:
k·1/3 + k·1/2 + k·1 = 1 ––> k ·(2/6 + 3/6 + 6/6) = 1 ––> k·11/6 = 1 ––> k = 6/11
e la probabilità di vincere mi viene
• (6/11)·(1/3) = 2/11 se sparo "3"
• (6/11)·(1/2) = 3/11 se sparo "4"
• (6/11)· 1 = 6/11 se sparo "5"
Mi conviene perciò sparare "5" con probabilità 6/11 = 55,(5)% di vincere. »

A questo mi porta lo "slambiccarmi" di capire.

Evidentemente NON HO CAPITO, dal momento che tu concludi che mi conviene invece sparare "3" – tutto al contrario di "5" – con probabilità di vincere:
(300/47)·1/15 = 20/47 ≈ 42,55%

Comunque sia, CONTINUO A PENSARE che
• il sapere che n è stato sorteggiato tra 1 e 1000 e che uscisse lui o un altro era equiprobabile; e che, in seguito alla soffiata,
• ora so per certo che 901 ≤ n ≤ 1000
comporta che la probabilità di vincere è 1/100 per qualsiasi intero sparassi tra 901 e 1000 inclusi.

Mi piacerebbe sapere che ne pensa l'Ilustrissimo
E mi piacerebbe sapere che risulterebbe da una simulazione (ossia: trovando i risultati con la "forza bruta") ... nel qual caso si dovrebbe procedere così
• Continuare a sorteggiare n tra 1 e 1000 con equiprobabilità fino a che non risulti n >900
• Ripetere un fottio di volte il sorteggio tra 901 e 1000 e vedere quante volte ci si indovina con l'uno o l'altro numero uscito.

Astromauh: sotto con la simulazione!
Miza: dicci il tuo indiscutibile (quasi) parere!

-------------
:hello:

aspesi 17-09-12 12:29

Re: Estrazioni casuali
 
La mia conclusione è che è sempre vantaggioso (più probabile) dire che nel sacchetto ci sono ESATTAMENTE il numero di palline corrispondente a quello visto come presente dall'amico (qualunque sia, anche se vede il n. 1 ottiene un'informazione supplementare).

In particolare, nel caso del quiz, dire che sono presenti 901 palline dovrebbe consentirti di indovinare in ben il 19,277% dei casi (se ho fatto i conti giusti... :))

Per la simulazione:
-scegliere a caso il numero n (da 1 a 1000)
-estrarre a caso una pallina fra 1 e n precedente (=m)
-contare quante volte il numero estratto è uguale a m e quante è uguale a m+1, m+2, ...., 1000.

:hello:

Erasmus 17-09-12 13:20

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 620932)
Ti sembra paradossale questa affermazione:
-Per vincere devi indovinare n e non il numero che era stato estratto (fra 1 e 1000)?

:confused:
Paradossale, dici? No: demenziale!. [Attenuo, dai: contradditoria!)
«Indovinare n, non il numero che era stato etratto» mi starebbe bene se n non fossse "il numero che era strato estratto".
E invece (tu dixisti!):
«In un'urna sono state immesse n palline numerate da 1 a n e rimescolate accuratamente.
n è stato sorteggiato a caso, cioè con uguale probabilità fra i numeri da 1 a 1000
».
Quote:

aspesi
Tutti i numeri inferiori a 901 sono da scartare.
[...]
Conoscendo il numero 901, hai quindi 901 possibilità su 1000.

:eek: :confused:
Possibilità di che?
Dicendo un intero tra 1 e 1000 inclusi ho "a priori" 900 possibilità di sbagliare certamente, una possibilità di indovinare ... e 99 possibilità di sbagliare "a posteriori".
O no?
=============
Non penso che mi sarà utile una tua ulteriore risposta.
Speravo (e spero ancora) in un intervento di terzi.

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:hello:

aspesi 17-09-12 13:48

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 621032)
Non penso che mi sarà utile una tua ulteriore risposta.

Pazienza :D

Quote:

Erasmus (Scrivi 621032)
Speravo (e spero ancora) in un intervento di terzi.

----------
:hello:

Lo spero anch'io.
Ma non con la simulazione proposta da te, che è sbagliata (non corrisponde alle regole del quiz)

Io ho indicato come va fatta la simulazione.

Eventualmente, per avvicinarci ancora di più ai numeri del quiz:
a) sorteggiare n fra 1 e 1000 finché n>900
b) sorteggiare m fra 1 e n precedente
c) se m=901, contare quante volte n vale 901, 902, 903, ...., 1000.

Come avevo scritto in precedenza, scommetto che n=901 comparirà circa il 19% delle volte.
n=910 per circa 1,9%
n=950 per circa 0,38%
n=1000 per circa 0,19%

(Questi calcoli sono sbagliati, guardare dopo)

:hello:


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