Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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aspesi 08-03-12 23:46

Re: Diavolo di un Aspesi
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 574121)
Ma io, 'sta strategia di guardare se c'è il proprio numero nella scatola col proprio numero non l'ho capita! :o
Tu dici: Ogni concorrente ispeziona per prima la scatola col suo numero.

E le altre 4 le prende a caso?
:hello:

NO, assolutamente non le prende a caso!!!!
Aprendo la prima scatola (con il suo numero), il concorrente trova dentro una pallina identificata da un numero, che può essere uguale al suo (e allora vince subito e esce, lasciando spazio all'entrata del prossimo concorrente), oppure può avere un numero diverso.
La strategia è questa.
Come seconda scatola da aprire e controllare, il concorrente sceglie quella corrispondente al numero della pallina che aveva trovato nella prima scatola!!!
E così, via per la terza, quarta e quinta scatola, che saranno corrispondenti al numero della pallina trovata nelle scatole precedenti.

Quello che succede in questo modo e' che si "raggruppano" le "catene" vincenti e perdenti, nel senso che la scatola 1 contiene es. 5, la 5 il 3, la 3 il 2 ....... fino che si trova la scatola con l'1; questa e' una catena.
Se la configurazione contiene come catena piu' lunga una di 5 il concorrente vince
ma vincono anche tutti gli altri; se la catena piu' lunga e' 6 o piu si perde, ma perdono almeno altri 5.
E la probabilità di vincere è sempre superiore al 30% (per tentativi pari a n/2 il numero n delle scatole.

:hello:

aspesi 09-03-12 00:02

Re: Diavolo di un Aspesi
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 574121)
Ma sarebbe lo stesso se, data una qualsiasi permutazione dei numeri delle scatole, individuandole ora con S1, S2, ..., S10, il primo ispezionasse S1 e altre 4 scatole a caso, il secondo S2 e altre 4 scatole a caso, ... l'ultimo S10 e altre 4 scatole a caso.
Allora non capisco che c'è di diverso dalla precedente strategia proposta da astromauh.

Non è lo stesso.
Perché si sfrutta una formidabile informazione aggiuntiva data dalla "sequenza" o "catena" di numeri, che vengono seguiti nell'apertura delle scatole, e che è diversa e caratteristica per ogni concorrente.

Quote:

Erasmus (Scrivi 574121)
Ho provato a mano per 4 concorrenti, contando in quante, delle 4! = 24 permutazioni dei numeri nelle 4 scatole [1, 2, 3, 4] tutti i 4 concorrenti trovano il proprio numero. 2 soli su 24. Probablità di vincere 1/12 (che è solo 4/3 quella casuale che è 1/16).
O provato anche sulle 720 permutazioni dei numeri dall'1 al 6 compresi condando 21 vittorie. La probabilità casuale sarebbe 1/64; con questa strategia viene
21/720 = 7/240 = 1/34.285 ...; solo 1,86666... la probabilità casuale (1/2^6)
------------
:hello:

A mano ho controllato anch'io le 24 permutazioni di 4 scatole con 4 concorrenti che possono ciascuno aprire 2 scatole.
Ebbene, con la strategia che ho indicato, i casi favorevoli per la vincita di tutti e 4 i concorrenti sono ben 10. Sembra incredibile, ma è così.
Prova!!!

:hello:

astromauh 09-03-12 03:52

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 574121)
Ma io, 'sta strategia di guradare se c'è il proprio numero nella scatola col proprio numero non l'ho capita! :o
Tu dici: Ogni concorrente ispeziona per prima la scatola col suo numero.

E le altre 4 le prende a caso?

Per prima cosa ti dico che nemmeno io l'ho capita, ma credo di intuire il perchè di questo risultato stupefacente.

Le considerazioni che avevo fatto in questo post, e che erano alla base della mia strategia, restano valide.

Il conformismo porta alla morte certa, perchè se tutti i concorrenti fanno la stessa scelta, la probabilità di successo diventa nulla. Bisogna diversificare, e diversificare nel maggior modo possibile.

Se tutti i concorrenti entrano nella stanza e aprono le stesse scatole, il risultato finale sarà che cinque concorrenti avranno trovato la loro pallina, e cinque concorrenti no, per cui la squadra perde.

Ho individuato correttamente il nocciolo del problema, che è alla base del metodo Aspesi. Però sono stato alquanto naif e approssimativo con il sistema con cui ho cercato di attuare questa diversificazione.

Gli economisti dicono che bisogna diversificare gli investimenti, perchè questo minimizza i rischi e aumenta le possibilità di successo, e questa è anche la strategia vincente del nostro quiz.

Il mio metodo di diversificazione (ma che brutta parola) era solo parziale.

Essendoci 10 concorrenti che devono scegliere cinque numeri, obbligatoriamente una parte dei numeri è la stessa. Secondo il mio metodo, il concorrente n.3, aveva alcune scelte in comune con i concorrenti n.1, n.2, e con i concorrenti n.4, e n.5.

Con il metodo Aspesi invece, ogni concorrente ha un destino che è solo suo.

Quote:

Tu dici: Ogni concorrente ispeziona per prima la scatola col suo numero.

E le altre 4 le prende a caso?
Assolutamente NO :eek:, Il concorrente non fa delle scelte a caso, segue le istruzioni che trova nelle scatole.

Il metodo Aspesi, non lascia nulla al caso, il destino è gia scritto nel momento in cui le palline sono state riposte nelle scatole.

Ogni concorrente segue il destino che gli è stato assegnato, e che è solo il suo.

Ogni concorrente segue le istruzioni che sono state codificate apposta per lui, e questo produce un profitto.

Affidarsi a quanto è stato stabilito dagli astri, produce il bene della propria squadra, fare delle scelte casuali illudendosi di esercitare il proprio libero arbitrio, porta alla sconfitta.

Insomma ...

anche Dante diceva la stessa cosa, bisogna seguire la propria stella.


:hello:

astromauh 09-03-12 05:04

Re: Estrazioni casuali
 
Si potrebbe adottare anche un altro punto di vista.

Da che cosa è data la difficoltà della prova che i concorrenti devono affrontare?

E' data dalla mancanza di comunicazione, nel quiz viene detto esplicitamente che i concorrenti non hanno alcun modo di comunicare tra loro, mentre se potessero parlare tra loro, la situazione sarebbe completamente diversa.

Se il primo concorrente entra, apre cinque scatole, e poi dice agli altri che ha aperto le scatole 1, 2, 5, 8, 10, e chi vi ha trovato nell'ordine le palline 5, 7, 8, 2, 1, i concorrenti successivi sarebbero enormemente facilitati.

In pratica il sistema Aspesi è un trucco da prestigiatore. perchè permette ai concorrenti di comunicare tra loro.

Ed è per questo, che il risultato lascia stupefatti.

"Mandrake", ti fa credere che i concorrenti non parlano tra di loro, mentre in realtà i concorrenti ascoltano la voce di un suggeritore comune che gli dice esattamente cosa fare, attraverso un linguaggio codificato, che tutti i concorrenti comprendono.

Il suggeritore dice a ciascuno di loro qualcosa di diverso, realizzando quella diversificazione che io avevo malamente abbozzato, ed è come un pescatore che lancia moltissimi ami nel mare, distanziandoli opportunamente.
Qualche pesce abboccherà.

Sono trucchi da saltimbanco, secondo me Aspesi andrebbe bannato, se non la smette di prendere in giro degli onesti matematici con i suoi trucchetti. :p


:D

:hello:

aspesi 09-03-12 09:12

Re: Estrazioni casuali
 
Aggiungo solo un'altra considerazione.
Quando si fa la scelta della prima scatola (ad es. aprendo quella uguale al numero assegnato ad ogni concorrente, ma ci si può accordare su qualunque altro modo equivalente), probabilisticamente si indovina già mediamente il numero di una pallina al primo colpo.
Con la strategia suggerita per la prosecuzione dalla seconda scatola in avanti, si ha la certezza di non sprecare tentativi inutili, cioè di aprire una scatola già vinta (o che sarà vinta) da un altro concorrente (perché la pallina contenuta ha il suo stesso numero).
Infatti, seguendo il percorso indicato dal numero delle palline, si viene "indirizzati" solo ad aprire scatole che potenzialmente potrebbero contenere palline con il proprio numero e non con quello scoperto dagli altri.

:hello:

Erasmus 09-03-12 09:47

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 574151)
Affidarsi a quanto è stato stabilito dagli astri, ( :rolleyes: ) produce il bene della propria squadra, fare delle scelte casuali illudendosi di esercitare il proprio libero arbitrio, porta alla sconfitta.

:eek:
[NB: Colore 'blue', grassetto e "smile" sono aggiunte di Erasmus]
Il lupo perde il pel, ma non il vizio! :o

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Prima avevo letto senza attenzione, non rilevando che il concorrente, finché non trova il proprio numero, ispeziona la scatola col numero che ha trovato nella scatola precedente.

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Continuo a non capire come funziona la cosa.
Ma mi pare d'avere capito perché aumenta la probabilità di vincere.

Cerco di spiegarmi (ma chissà se ci riesco).
Guardiamo da vicino il sorteggio casuale delle scatole.
Consideriamo, cioè, la distribuzione del numero k di concorrenti che trovano il proprio numero – (con k tra 0 e 10 compresi) – scegliendo a caso le cinque scatole da ispezionare.
Le combinazioni a 5 a 5 di 10 scatole sono
C(10, 5) = 10!/(5! ·5!) = 252.
Le cinquine con un certo numero sempre presente sono
C(9, 4) = 9!/(4!·5!).
[Infatti: metto da parte un numero, faccio le C(9, 4) quaterne dei nove rimasti e aggiungo il numero che ho messo da parte a ciascuna quaterna]
Quindi tra le C(10, 5) cinquine possibili, C(9, 4) sono quelle con anche il numero del concorrente. La probabilità di trovare il proprio numero in 5 scatole a caso è dunque C(9,4)/C(10,5) = (9!/4!)/(10!/5!) = 5/10 = 1/2.
Allora a distribuzione detta è quella binomiale
[termini della potenza (1 + 1)^10, cioè C(10, k) per k da 0 a 10 inclusi]
cioè come quella del numero di teste T o croci C nel lancio di 10 monete.
La squadra vince se tutti i 10 concorrenti trovano il proprio numero. Questo è uno solo degli 11 esiti possibili ed è il meno probabile (assieme a quello di 10 fallimenti su 10, probabilità 1/2^10 = 1/1024).
Negli altri esiti, però, c'è quello in cui sbagliano 5 concorrenti su 10 con C(10, 5) = 252 possibilità su 1024 (quindi con probabilità quasi 1/4) e quello in cui sbagliano k concorrenti con k di meno o più di 5 e con C(10, k) possibilità variabile tra 1 e 252.
La distribuzione è "a campana" e l'unico caso vincente è quello nerll'angolino a destra della base della "campana"!
[Tutto ciò nel caso di perfetta casualità]
Se si potesse modificare la distribuzione pur lasciando uguale la somma (e quindi la probabilità 1/2 del singolo concorrente di trovare il proprio numero) cambierebbe la probabilità di vincere.
Per esempio, se la distribuzione anziché binomiale di grado 10 (che è quasi gaussiana) fosse quasi rettangolare (con 93 casi favorevoli per k da 0 a 10 tranne k = 5 con 94 casi favorevoli, sempre su 1024), la probabilità di vincere si alzerebbe da 1/1024 a 93/1024, cioè di 93 volte.
Ripeto: non ho capito bene la storia della "catena" di vincite.
Ho capito però che, se si riesce a cambiare la distribuzione (che sarebbe come a dire – nel lancio di 10 monete – truccare le monete, [anche se non ho ancora capito come funziona il trucco]), si riesce ad aumentare la probabilità di vincere.
Sarebbe come nel gioco seguente:
Hai 10 monete. Prendine una e lanciala. Ripeti 10 volte la cosa.
Se le monete sono truccate [nel senso che certune cadono più probabilmente come T e certe altre come C] ed io punto su T, se al primo lancio mi viene T è probabile che abbia azzeccato una moneta truccata in favore di T e allora ripeto il lancio scegliendo la stessa moneta.
Quindi ho più probabilità di fare 10 teste con quella che inizialmente mi dà testa.
Al limite, se 5 monete dessero sempre T e 5 sempre C, lanciando 10 volte la stessa moneta scelta casualmente la prima volta, avrei probabilità 50% di azzeccare 10 T e 50% di fare invece 10 C.
Scegliendole invece a caso ad ogni lancio, avrei ancora la distribuzione binomiale a campana quasi gaussiana.

-------------
:hello:

aspesi 09-03-12 11:36

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 574223)
[anche se non ho ancora capito come funziona il trucco]), si riesce ad aumentare la probabilità di vincere.

-------------
:hello:

Esaminiamo 4 scatole, che contengono nell'ordine le palline 1- 2 - 3 - 4 (è lo stesso per qualunque altra quaterna) e calcoliamo quante "scelte o mosse o aperture" sono necessarie per vincere nei 4! = 24 casi possibili:

1 scelta: 1-2-3-4 ; 1 caso; prob. = 1/n! = 1/24

2 scelte: 1-2-4-3 ; 1-3-4-2 ; 1-4-3-2 ; 2-1-3-4 ; 2-1-4-3 ; 3-2-1-4 ; 3-4-1-2 ; 4-2-3-1 ; 4-3-2-1
.............. 9 casi; prob. = 9/24=3/8 ...... formula prob. per n qualsiasi ?

3 scelte: 1-3-4-2 ; 1-4-2-3 ; 2-3-1-4 ; 2-4-3-1 ; 3-1-2-4 ; 3-2-4-1 ; 4-1-3-2 ; 4-2-1-3
.............. 8 casi; prob. = 8/24=1/3 ...... formula prob. per n qualsiasi ?

4 scelte: 2-3-4-1 ; 2-4-1-3 ; 3-1-4-2 ; 3-4-2-1 ; 4-1-2-3 ; 4-3-2-1
.............. 6 casi; prob. = 1/n = 6/24=1/4 ....... formula= 1/n

:hello:

aspesi 09-03-12 18:04

Re: Estrazioni casuali
 
Avrei bisogno dell'aiuto di Erasmus :), però mi pare di essere riuscito a calcolare esattamente quante sono le combinazioni favorevoli (tutti e 10 i concorrenti trovano la pallina con il loro numero) con al massimo 5 scatole da aprire su 10 scatole totali.

Sono 1.285.920 sulle 10! = 3.628.800 possibili (probabilità = 35,4365%)

Sono arrivato a questo risultato, togliendo dai casi totali mano a mano i casi perdenti con:
10 scatole da ispezionare = 9! = 362.880
9 scatole da ispezionare = 10 * 8! = 403.200
8 scatole da ispezionare = 10*9 * 7! = 453.600
7 scatole da ispezionare = 10*9*8 * 6! = 518.400
6 scatole da ispezionare = 10*9*8*7 * 5! = 604.800

Il resto (1.285.920 casi) rappresenta i casi favorevoli (da 1 a 5 scatole da ispezionare, però non riesco a fare la suddivisione, con 1 scatola 1 caso; con 2 scatole ??? casi, ecc..)

Ho verificato che, linitatamente alle 4 scatole (n), i casi favorevoli avendo a disposizione da 1 a N ispezioni sono:
N=4 ..... n! ....... =24
N=3 ....(n-1)^2*(n-2)! ..... =18
N=2 ....(n^2-3n+1)*(n-2)! ..... =10
N=1 ..... =1

:hello:

Erasmus 09-03-12 19:46

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 574490)
Avrei bisogno dell'aiuto di Erasmus :), ...

Mi sopravvaluti sbalorditivamente. Le tue competenze in fatto di combinazioni ... me fanno sh–cumparì!
L'unico che potrebbe avvicinarti nelle tue "Manrdrakate è l'Illustrissimo, se solo lo volesse. :)
------------
:hello:

aspesi 10-03-12 11:02

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Sono 1.285.920 sulle 10! = 3.628.800 possibili (probabilità = 35,4365%)

Sono arrivato a questo risultato, togliendo dai casi totali mano a mano i casi perdenti con:
10 scatole da ispezionare = 9! = 362.880
9 scatole da ispezionare = 10 * 8! = 403.200
8 scatole da ispezionare = 10*9 * 7! = 453.600
7 scatole da ispezionare = 10*9*8 * 6! = 518.400
6 scatole da ispezionare = 10*9*8*7 * 5! = 604.800

Il resto (1.285.920 casi) rappresenta i casi favorevoli (da 1 a 5 scatole da ispezionare, :hello:
Ma c'è un limite a cui tende la probabilità, aumentando il numero delle scatole (N ---> infinito) e se il numero dei concorrenti ha sempre a disposizione N/2 ispezioni per trovare il proprio numero e vincere?

Io ho trovato questi valori:

.N....... Casi totali ..........Casi favorevoli ........probabilità,%
--- .....------------- .........--------------- ........------------
.2 ............ 2 ..................... 1 .................50
.4 ............24 .....................10 .................41,66..
.6 ...........720 ....................276..................38,33..
.8 ..........40320 ..................14736.................36,5486.
10 .........3628800.................1285920................35,4365.
12 ........479001600...............166112640...............34,6789.
20 .......2,4329*10^18...........8,05847*10^17.............33,1229.
50 .......3,0414*10^64...........9,63375*10^63.............31,6753.
100 .....9,3326*10^157...........2,9102*10^157.............31,1828.
150 .....5,7134*10^262...........1,7721*10^262.............31,0175.

:hello:


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