Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

astromauh 05-02-12 10:12

Re: Estrazioni casuali
 
La simulazione non l'ho fatta, ma direi che la probabilitÓ dovrebbe essere 2/9.

Credo che bisogna ragionare partendo da un triangolo equilatero i cui vertici si trovano su una circonferenza. Uno di questi vertici Ŕ il punto A.

Spostando di volta in volta uno dei vertici, lungo la circonferenza, si osserva che l'angolo in A Ŕ ottuso per 2/12 della circonferenza, se si muove B e C, mentre lo Ŕ per 4/12 se Ŕ lui che si muove.

Quindi la probabilitÓ dovrebbe essere 2/12 pi¨ 2/12 pi¨ 4/12, che diviso 3, fa 2/9.

:hello:

aspesi 05-02-12 10:54

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 563073)
Quindi la probabilitÓ dovrebbe essere 2/12 pi¨ 2/12 pi¨ 4/12, che diviso 3, fa 2/9.

:hello:

:mmh:E' un valore "ragionevole"
Sentiamo cosa ne pensa Erasmus...;)

------------

Quote:

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:hello:

aspesi 05-02-12 12:54

Re: Estrazioni casuali
 
Questa soluzione (di G. Vecchi) mi pare condivisibile.

Lasciamo perdere l'ordine dei 3 punti.
Una volta scelti a caso questi 3 punti otteniamo un triangolo. Senza perdere di generalitÓ si pu˛ affermare che tale triangolo avrÓ un lato pi¨ lungo degli altri due (in realtÓ potrebbe essere isoscele o equilatero e quindi avere pi¨ di un lato "lungo"; in questi casi ne scegliamo uno tra quelli lunghi e lo chiamiamo "il pi¨ lungo").
Se questo triangolo Ŕ ottusangolo, avrebbe logicamente l'angolo ottuso opposto al lato lungo.

Per comoditÓ possiamo considerare che il lato lungo misuri 1.
Chiamiamo questo lato AB e tracciamo due cerchi di raggio 1 incentrati rispettivamente in A e in B.
L'intersezione di questi due cerchi rappresenta la zona in cui potrÓ venirsi a trovare il terzo vertice C. Infatti, se C stesse fuori da questa zona, il lato lungo del triangolo non sarebbe pi¨ AB.

Disegniamo un altro cerchio con centro a metÓ del lato AB e raggio 1/2.
Se il vertice C cade in questo cerchio, il triangolo Ŕ ottusangolo; se cade fuori Ŕ acutangolo; se cade sulla circonferenza Ŕ rettangolo.

Quindi, la probabilitÓ che il triangolo sia ottusangolo Ŕ data dal rapporto tra le aree di quest'ultimo cerchio e l'area della zona di cui prima.
Questo valore dovrebbe aggirarsi a circa 0,64.
Siccome il quiz chiede qual Ŕ la probabilitÓ che un ben preciso angolo fosse ottuso, questa dovrebbe essere circa 0,64/3.

:hello:

astromauh 05-02-12 15:43

Re: Estrazioni casuali
 
Ho fatto la simulazione, ma non so se ho fatto bene, perchŔ ho applicato delle formule che non conoscevo o che non ricordavo (teorema di Carnot).

La probabilitÓ mi viene qualcosa come 0.24, credo che la discrepanza con il valore calcolato in precedenza, dipenda dal fatto che ho scelto i tre punti su un piano quadrato.

Anche aumentando le dimensioni di questo quadrato, la probabilitÓ rimane invariata.

Magari adesso provo a scegliere i tre punti su una superfice circolare...

Questo Ŕ il codice:

<%

Dim toradians as double = 0.01745329251994329576923691

Dim xa, ya as Double
Dim xb, yb as Double
Dim xc, yc as Double
Dim AB, BC, AC as Double
Dim CosA, CosB, CosC as Double
Dim a, b, c, t as double
Dim v, volte as integer
Dim maggiore as integer



Dim intero as integer=2000000

Dim doppio as integer= intero*2

volte=100000


for v=1 to volte

xa=RND*doppio-intero
ya=RND*doppio-intero

xb=RND*doppio-intero
yb=RND*doppio-intero

xc=RND*doppio-intero
yc=RND*doppio-intero


AB= sqrt((xb-xa)^2 + (yb-ya)^2)
BC= sqrt((xc-xb)^2 + (yc-yb)^2)
AC= sqrt((xc-xa)^2 + (yc-ya)^2)




'''''''response.write(xa &"&nbsp;&nbsp;&nbsp;" & ya &"<br>")
'''''''response.write(xb &"&nbsp;&nbsp;&nbsp;" & yb &"<br>")
'''''''response.write(xc &"&nbsp;&nbsp;&nbsp;" & yc &"<br><br>")

'''''''response.write("AB= " & AB & "<br>")
'''''''response.write("BC= " & BC & "<br>")
'''''''response.write("AC= " & AC & "<br><br>")



CosC= (-AB^2 + BC^2 + AC^2) / (2 * BC * AC)

CosA= (-BC^2 + AB^2 + AC^2) / (2 * AB * AC)

CosB= (-AC^2 + AB^2 + BC^2) / (2 * AB * BC)




'''''''response.write ("CosA= " & CosA &"<br>")
'''''''response.write ("CosB= " & CosB &"<br>")
'''''''response.write ("CosC= " & CosC &"<br><br>")


A=Acos(cosA)/toradians
B=Acos(cosB)/toradians
C=Acos(cosC)/toradians

'''''''response.write("A= " & A &"<br>")
'''''''response.write("B= " & B &"<br>")
'''''''response.write("C= " & C &"<br><br>")


if A>90 then maggiore=maggiore + 1

t=A + B + C

'''''''response.write("T= " & T &"<br>")


next


response.write("P= " & maggiore/volte &"<br>")


%>

:hello:

aspesi 05-02-12 16:08

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 563168)
La probabilitÓ mi viene qualcosa come 0.24, credo che la discrepanza con il valore calcolato in precedenza, dipenda dal fatto che ho scelto i tre punti su un piano quadrato.

Anche aumentando le dimensioni di questo quadrato, la probabilitÓ rimane invariata.

Magari adesso provo a scegliere i tre punti su una superfice circolare...

Questo Ŕ il codice:

<%

Dim toradians as double = 0.01745329251994329576923691

:hello:

E' esattamente quello che mi aspettavo, un po'meno di (3/4)/3 con il metodo che ho indicato al punto 2)
0,72/3... che hai trovato sarÓ il valore pi¨ attendibile della probabilitÓ?

2) Un altro approccio potrebbe essere quello di porre il primo punto sullo zero degli assi cartesiani. Il secondo punto pu˛ essere indifferentemente in qualsiasi quadrante.
Il terzo pu˛ essere nello stesso quadrante del secondo (p=1/4) o in un altro (p=3/4).
Unendo i tre punti si ha un triangolo. La probabilitÓ che tale triangolo sia ottuso, con qualche ragionamento mi verrebbe un po' minore di 3/4, e dovrebbe essere in funzione dell'estensione del campo cartesiano.
Ci vorrebbe una simulazione con un programma, per verificare se il valore di tale probabilitÓ tende a un asintoto.

Ma cos'Ŕ toradians = 0.01745329251994329576923691?:mmh:*

:hello:

*Ho capito il toradians... Ŕ pi.greco/180

astromauh 05-02-12 16:57

Re: Estrazioni casuali
 
Tentativi= 100000000
ProbabilitÓ= 0,23953
Errore= 0
ABS(T-180)> 1E-8

Su 100 milioni di tentativi, scegliendo i punti su una superfice circolare di raggio 2000000, ho ottenuto il risultato che vedi sopra (0,23953).

Ma, come abbiamo visto in altre occasioni, questi numeri vanno presi con le pinze.

Ad esempio, per controllare se avevo applicato correttamente il teorema di Carnot, ho verificato se la somma degli angoli veniva effettivamente 180. Questo Ŕ vero se si accetta una approssimazione di 1E-8.

Non so se veramente cambia qualcosa a secondo del tipo di superficie circolare o quadrata, adesso riprovo con la superficie quadrata, con lo stesso numero di tentativi, e poi ti faccio sapere. SarÓ comunque difficile da capire se la differenza tra le due probabilitÓ dipende effettivamente dalla scelta della superficie, o se si tratta di una differenza casuale.

Ma allora G.Vecchi si Ŕ sbagliato? :confused:

astromauh 05-02-12 17:15

Re: Estrazioni casuali
 
Tentativi= 100000000
ProbabilitÓ= 0,24193553
Errore= 12
ABS(T-180)> 1E-08

Questo Ŕ il risultato ottenuto scegliendo i punti su una superficie quadrata.

Direi che il tipo di superficie faccia differenza. :mmh:

Sono ricomparsi gli errori, nemmeno 1E-08 Ŕ sufficiente per eliminarli del tutto.

aspesi 05-02-12 20:51

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 563183)
Ma allora G.Vecchi si Ŕ sbagliato? :confused:

Gli Ŕ venuto un po' meno di 0,24, mi pare che il suo risultato (0,64/3) sia analogo a quello del ragionamento che avevi fatto tu (2/9).
Non ho idea se la differenza con 0,24 sia significativa e qual Ŕ il risultato pi¨ attendibile.

:hello:

aspesi 06-02-12 13:55

Re: Estrazioni casuali
 
Per chiudere sul quiz dei 3 punti casuali in un piano, in rete ho trovato questo:
http://mathforum.org/library/drmath/view/54943.html

We select the first point anywhere on the circumference and then draw
a diameter and tangent to the circle at that point. For the other two
points we take the angle between the tangent and the chord to one of
the other points as x, and similarly the angle between the tangent and
the chord to the third point as y. In both cases measure x and y
anticlockwise from the tangent to the respective chords. Then both
x and y are uniformly distributed between 0 and pi.

The triangle will be obtuse if x and y are both less than pi/2
(probability of this (1/2)(1/2) = 1/4), or both greater than pi/2,
again with probability 1/4. So altogether this probability is
1/4 + 1/4 = 1/2.

We also get an obtuse angled triangle if x-y > pi/2, this gives
y < x-pi/2, and also if y-x > pi/2 i.e., y > x+pi/2

To find the probability of this we set up a two-dimensional sample
space, with the usual x and y axes, and with x varying uniformly from
0 to pi, y varying uniformly from 0 to pi. This gives a square of
area pi^2.

The regions cut off by the line y > x+pi/2 and the line y < x-pi/2
if put together will form a square of side pi/2, and an area pi^2/4.

So the probability of this producing the obtuse angle is
(pi^2/4)/pi^2 = 1/4.

Now if we call first situation (probability = 1/2) event A and the
second situation (with probability 1/4) event B then:

P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)

= 1/2 + 1/4 - P(A and B)

However, P(A and B) is zero, since if both x and y < pi/2, or both
x and y > pi/2, (event A), it is impossible for x-y or y-x to be
greater than pi/2, (event B).

We conclude that P(A or B) = 1/2 + 1/4

= 3/4

So a triangle drawn at random has a probability of 3/4 of being
obtuse. This result depended on our definition of a 'random' triangle.
Other definitions will produce a different result.

:hello:

Rob77 14-02-12 01:06

Re: Estrazioni casuali
 
In primis chiedo venia per non aver letto tutto il thread ed incappare nel seguente post a potenziali ripetizioni (e la chiedo anche, ovviamente, per eventuali castronerie).

------------------------

In merito al quesito descritto nel primo post, per il caso k=2, vi chiedo per favore di verificare se la seguente dimostrazione possa essere ammissibile:

L'intervallo [0,1] da continuo lo immagino discreto e formato da n razionali equidistanti fra loro.
Ad esempio, per n=5, il set di numeri diverrebbe: 0, 1/4, 2/4, 3/4, 1.
Nell'esempio suddetto Ŕ facile verificare che la probabilitÓ di estrarre due numeri tali per cui la loro somma sia maggiore di 1 (chiamo tale probabilitÓ P pi¨ in basso) sia 0.4 ovvero: (1/5)*(1+2+3+4)/5

e per un n generico:

P=(1/n^2)*(sommatoria[k=0 --> k=n-1] (k))

Passando dal discreto al continuo n dovrÓ tendere ad infinito per cui:

lim[n-->oo] P = lim[n-->oo] (1/n^2)(n*(n-1)/2) = 1/2
essendo: sommatoria[k=0 --> k=n-1] (k)=n*(n-1)/2


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 07:51.

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