Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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aspesi 30-08-18 10:42

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 823348)

Non so da dove cominciare.

:hello:

Facciamolo più semplice.

Ad ogni estrazione nelle 11 ruote vengono estratti 55 numeri.

Sembrerebbe che non se ne debbano presentare 90-55 = 35. In realtà, non è così, perché alcuni numeri sono ripetuti due o più volte (in due o più ruote diverse).
Come si potrebbe fare il calcolo, ad es. dei numeri che non si presentano in nessuna ruota? (Che sono 48)

:hello:

Erasmus 30-08-18 15:15

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 823341)
Quote:

Erasmus (Scrivi 823335)
Ci sono C(60, 3) = 60*59*58/(2*3) = 34220 terni distinti su 90 numeri.

:mmh: Perché C(60,3) e non C(90,3) ?

Boh! In effeti è un "errore di sbaglio" inspiegabile! :eek:
Perché ... perché si vede che ormai la vecchiaia comincia ad avere il sopravvento sulla logica! :o
Il perché non c'è! Non è nemmeno qurllo di aver pensato a 60 numeri invece di 90, dato che dico che ci sono C(60, 3) terni con 90 numeri. E non è solo un errore di scrittura dato che imperterrito continuo ad usare 60*59*58/(2*3) =34220 invece di 90*89*88/(2*3) = 117480.
Insomma: mi succede a volte (ancora raramente ma ormai sempre più frequentemente) che la mia mente sostituisce qualcosa – un nome, un numero, un ricordo, o anche un puro concetto – con qualcos'altro di analogo o di simile ma assolutamente diverso! Poi, quando me ne accorgo ne ho vergogna! Ma ... "sul tempestà no gh'è benedision!", come si dice in veronese.
Amen! Probabilmente sono prossimo al capolinea. [Meglio così che continuare a vivere fuori di testa, cioè vegetando soltanto!].
–––––––––––––––––
Avevo posto p = 1/34220. Se invece prendo p=1/117480, col mio conto invece di circa 16% dovrebbe venire un valore ridotto nel rapporto 34220/117480 ≈ 0,29128, ossia circa 4,66%.
E' ancora troppo o è invece ragionevole?
---------
Risolvimi questa questione:
Ho m liste di n numeri (con n molto maggiore di m) e la probabilità che due date liiste abbiano almeno un numero in comune è p. Qual è la probabilità che aòmeno due liste (delle m) abbiano almeno un numero in comune?

Oltre a darmi la risposta, spiegamela!
Grazie in anticipo.
–––
:hello:

aspesi 30-08-18 16:10

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 823371)
...un valore ridotto nel rapporto 34220/117480 ≈ 0,29128, ossia circa 4,66%.
E' ancora troppo o è invece ragionevole?

Il valore giusto è proprio quello, e l'avevo ottenuto anch'io così in un primo tempo... poi mi sono reso conto che questo procedimento non mi pare corretto (proprio per la moltiplicazione per C(11,2) che darebbe un risultato di probabilità superiore a 1 qualora le ruote fossero molte di più). Ma siccome il risultato è quello, si tratta probabilmente di approssimazione che in questo caso è accettabile.

Io ho utilizzato la distribuzione binomiale.
https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_binomiale

Ad ogni estrazione nelle 11 ruote vengono estratti 55 numeri (sui 90), tra cui mediamente non se ne presentano ..... 48.

[Comb(11;0)⋅(5/90)^0⋅(85/90)^11]⋅90=48

Dei 42 (90-48) che vengono estratti, mediamente, sono estratti:

- 1 volta = [C(11;1)⋅(5/90)^1⋅(85/90)^10]⋅90=31,05

- 2 volte = [C(11;2)⋅(5/90)^2⋅(85/90)^9]⋅90=9,13

ecc...

Analogamente si può agire per quanto riguarda i 117.480 terni che si fanno con 90 numeri:

Comb(11;0)*(10/117.480)^0*(1-10/117.480)^(11-0) * 117.480 = 117.370 terni che in una estrazione di 5 numeri non sono presenti

Comb(11;1)*(10/117.480)^1*(1-10/117.480)^(11-1) * 117480 = 109,9 terni che in una estrazione di 5 numeri sono presenti una volta

Comb(11;2)*(10/117.480)^2*(1-10/117.480)^(11-2) * 117.480 = 0,046780626 terni che in una estrazione di 5 numeri sono ripetuti cioè presenti due volte




Ne consegue che un terno si presenta mediamente su due ruote qualsiasi nella stessa estrazione ogni 21 - 22 estrazioni (esattamente 21,376).

:hello:

aspesi 30-08-18 16:29

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 823371)
Risolvimi questa questione:
Ho m liste di n numeri (con n molto maggiore di m) e la probabilità che due date liste abbiano almeno un numero in comune è p. Qual è la probabilità che almeno due liste (delle m) abbiano almeno un numero in comune?

Oltre a darmi la risposta, spiegamela!
Grazie in anticipo.
–––
:hello:

Se q=1-p
è la probabilità che due liste (delle m) non abbiano nessun numero in comune, si ha:

p = 1 - q = {1 - [ comb(m,0) *(x/n)^0 * (1 - x/n)^m] } * n

dove x indica quanti sono i numeri di ogni lista m estratta tra gli n

:hello:

Scusa, con questo calcolo si trova quanti sono i numeri totali che vengono estratti tra gli n (che sono inferiori a m*x)

aspesi 02-09-18 09:11

Re: Estrazioni casuali
 
Uno scatolone è pieno di palline bianche e di palline nere, in quantità e proporzione ignote.
Si sa però che il numero complessivo delle palline è più di 800 e meno di 900, che le palline bianche sono più di quelle nere e che se si estraggono a caso due palline, la probabilità che esse siano dello stesso colore (o entrambe bianche o entrambe nere) è del 50%.

Quante palline bianche (e quante palline nere) sono contenute in quello scatolone?

:hello:

astromauh 02-09-18 11:23

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 823455)
Quante palline bianche (e quante palline nere) sono contenute in quello scatolone?

Soluzione:

Bianche = 435 Nere = 406 ;)

:hello:

aspesi 02-09-18 11:34

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 823457)
Soluzione:

Bianche = 435 Nere = 406

:hello:

:ok::ok:
Procedimento?

:hello:

astromauh 02-09-18 12:41

Re: Estrazioni casuali
 
L'ho risolto con un programma. :)

Quote:

Dim B, N as integer

for B = 400 to 500

for N = B to 0 step - 1

if (B^2 - B + N^2 - N) / (B^2 + N^2 + 2*N*B - B - N) = 0.5 then

if (B + N) > 800 AND (B + N) <900 then

response.write("B=" & B & " N=" & N &" T= " & B + N &"<br>")

response.write ("Controllo =" & B*N / ((B+N) * (B+N-1)) &"<br>")

end if

end if

next

next

Ho cominciato con il calcolare le probabilità dei quattro possibili eventi che si possono verificare estraendo a caso due palline.
  • D Due palline bianche
  • E Una pallina bianca e una nera
  • F Una pallina nera e una bianca
  • G Due palline nere
  • D (B/T) * (B-1) / (T-1)
  • E (B/T) * N /(T-1)
  • F (N/T) * B /(T-1)
  • G (N/T) * (N-1) / (T-1)

B e N indicano il numero delle palline Bianche e Nere, e T il Totale delle palline.

Siccome il quiz ci dice che la probabilità di estrarre due palline dello stesso colore è pari a 0.5 abbiamo che

(B/T) * (B-1) / (T-1) + (N/T) * (N-1) / (T-1) = 0.5

Da questa equazione elimino T sostituendolo con B + N.

(B/(B+N)) * (B-1) / ((B+N)-1) + (N/(B+N)) * (N-1) / ((B+N)-1) = 0.5

e sviluppandola si arriva a

(B^2 - B + N^2 - N) / (B^2 + N^2 + 2*N*B - B - N) = 0.5

Si tratta di una equazione a due incognite e come tale avrebbe diverse possibili soluzioni, ma il quiz ci dice anche che il Totale delle palline deve essere compreso tra 800 e 900 e che le palline Bianche sono più numerose di quelle Nere.

Tenendo conto di questo, l'unica soluzione possibile è quindi

Bianche = 435 Nere = 406

:hello:

astromauh 02-09-18 13:22

Re: Estrazioni casuali
 
Non so se sarei riuscito a risolvere il quiz senza l'aiuto del computer. :mmh:

Siccome la probabilità di estrarre due palline dello stesso colore è 0.5 questo significa che anche la probabilità di estrarre due palline di colore diverso è uguale a 0.5.

Per cui avrei potuto creare un'altra equazione che considera la probabilità di estrarre due palline di colore diverso, ed infatti l'ho fatto, ma ho usato questa seconda equazione solo per verificare di non aver commesso errori.

Avrei potuto utilizzare questa seconda equazione per creare un sistema insieme con la prima?

E magari riuscire a trovare la soluzione senza usare il computer?

So che i tuoi quiz non richiedono l'utilizzo del computer, per cui mi immagino che anche questo non lo richieda.

Il problema è che quando c'è da lavorare sulle equazioni mi confondo, e quindi ho preferito far trovare le soluzioni al PC, facendogli verificare che cosa succedeva con i valori possibili di B e di N.

:hello:

aspesi 02-09-18 16:45

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 823460)
Siccome la probabilità di estrarre due palline dello stesso colore è 0.5 questo significa che anche la probabilità di estrarre due palline di colore diverso è uguale a 0.5.

Per cui avrei potuto creare un'altra equazione che considera la probabilità di estrarre due palline di colore diverso, ed infatti l'ho fatto, ma ho usato questa seconda equazione solo per verificare di non aver commesso errori.

Avrei potuto utilizzare questa seconda equazione per creare un sistema insieme con la prima?

E magari riuscire a trovare la soluzione senza usare il computer?

:hello:

:ok:
Proprio così ;)

Il risultato che hai ottenuto (totale 435 + 405 = 841, soffermati sul numero 841), non ti dice nulla?
Ad esempio, se il totale delle palline fosse compreso fra 700 e 800, ci sarebbero stati due possibili risultati...

:hello:


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