Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 10-06-18 21:34

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 819784)
Ci sono dunque quattro distinte possibilità ciascuna con probabilità 1/4.

Considerando allora i casi in cuila pallina estratta è bianca – cioè trascurando il caso b) – si constata che ci sono 2 casi su 3 in cui anche la pallina non estratta è bianca. Pertanto
x = 2y [**]

In conclusione, mettendo insieme[*] e [**]
[(x+y = 1) e (x = 2y)] equivale a [(x = 2/3) e (y = 1/3)]
––––
:hello:

Bene! Questo è un bel ragionamento!
:ok:

:hello:

aspesi 18-07-18 11:21

Re: Estrazioni casuali
 
L’unica maniera di prendere la decisione giusta è sapere quale sia quella sbagliata.
(Paulo Coelho)

Un uomo tirava a sorte tutte le decisioni. Non gli capitò maggior male che a quelli che riflettono.
(Paul Valéry)

Mi trovo davanti a due scelte importanti, vorrei lasciar decidere la sorte, lanciando in aria una moneta.
Purtroppo, ne ho due di monete, sono apparentemente identiche, ma mentre una è perfettamente regolare, l'altra è truccata. Non so e non è possibile distinguere qual è la moneta equa, né per l'altra moneta se è maggiore la probabilità che esca testa o che esca croce.

Come farò a scegliere in modo assolutamente equo e casuale, lanciando una sola volta le due monete?

:hello:

Mizarino 18-07-18 11:39

Re: Estrazioni casuali
 
Ragioniamo con un caso limite: la moneta truccata dia sempre T (Testa).
con due lanci ci sono due esiti possibili, ugualmente probabili:

TT
CT

Perciò adotti la scelta 1 se le due monete cadono con la stessa faccia, la scelta 2 se le due monete cadono con faccia diversa. Ovviamente funziona anche se la moneta truccata dà sempre C, e funziona anche se la moneta truccata dà solo una maggiore probabilità per T o per C, o se la moneta non è affatto truccata.

:hello:

aspesi 18-07-18 13:32

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 821387)
Perciò adotti la scelta 1 se le due monete cadono con la stessa faccia, la scelta 2 se le due monete cadono con faccia diversa.
:hello:

:ok:

:hello:

aspesi 29-08-18 15:02

Re: Estrazioni casuali
 
Ho notato che nell'estrazione del lotto n. 99 del 18/08/2018 è stato estratto uno stesso terno (i numeri 8 - 13 - 62) in due ruote diverse (Bari e Roma).

La cosa mi ha incuriosito e mi sono chiesto ogni quante estrazioni un terno si presenta mediamente su due ruote qualsiasi nella stessa estrazione.

Pensavo molto raramente e invece...
(Per chi non lo sapesse, i numeri del lotto sono 90, le ruote sono 11 e su ciascuna di queste sono estratti 5 numeri)

:hello:

Erasmus 30-08-18 01:34

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 823315)
[...] ogni quante estrazioni un terno si presenta mediamente su due ruote qualsiasi nella stessa estrazione.

Pensavo molto raramente e invece... :

Sai che in questi tipi di quiz sono piuttosto scarso. Ma ci provo lo stesso.

Ci sono C(60, 3) = 60*59*58/(2*3) = 34220 terni distinti su 90 numeri.
Il numero di terni de 5 numeri estratti è C(5, 3) = 5*4*3/(2*3) = 10.

Immaginiamo di mettere in uno scatolone 34220 gettoni indistinguibili al tatto numerati da 1 a 34220 e di tirarne fuori 10 a caso.
Registriamo i 10 numeri usciti e poi ributtiamoli dentro lo scatolone e rimescoliamo!

Posto p = 1/34220, pesco un numero (che poi non ributto più dentro) che ha probabilità p p di essere il 1° dei 10 numeri registrati e se non è lui (il ché ha probabilità 1 – p) ha probabilità p(1-p) di coincidere col 2° dei numeri registrati; e se non è né il primo né il secondo –il che ha probabilità (1–p)^2 – ha probabilità p(1–p)^2 di esere il 3° ecc. ecc.
Insomma: Il numero estratto ho probabilità [1 + (1–p) + (1–p)^2 + ... + (1–p)^9]·p di essere uno dei 10 numeri registrati, ossia la probabilità [che chiamo q]
q = {[1 – (1–p)^10]/[1 – (1–p)]}*p = 1 – (1–p)^10 ≈ 10·p.
Se il numero estratto non è nessuno dei 10 numeri registrati – il che ha probabilità 1 – q – estraggo un altro numero – che ha probabilità (1–q)q – o meglio: quasi esattamente così ma non proprio esattissimamente! – di essere uno dei numeri estratti. E se non è così ne estraggo un terzo ... e così via fino al massimo di 10 estrazioni.
Ho quindi la probabilità 1 – (1 – q)^10 ≈ 1 – (1 – 10p)^10 ≈ 100p = 1/342,2 che su due ruote esca almeno uno stesso terno.
Con 11 ruote, ho C(11, 2) = 55 coppie di ruote e quindi che almeno su due ruote esca almeno un terno comune ha probabilità (circa)
P ≈ 55·100·p = 5500/34220 ≈ 16% (ossia circa una decina di volte ogni 62 estrazioni. E siccome c'è una estrazione ogni settimana, in un anno che ci siano due ruote nelle quali saltano fuori due terni uguali dovrebbe succedere 8 o 9 volte all'anno (valore atteso ≈ 8,3 volte all'anno).
Mi pare un po' troppo probabile; e molto probabile che abbia sbagliato da una (o più) parti. :o
Ma aspesi mi dirà dove ho sbagliato! :)
–––
:hello:

astromauh 30-08-18 07:26

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 823335)

Ci sono C(60, 3) = 60*59*58/(2*3) = 34220 terni

Da dove esce fuori questo 60?

I numeri del lotto sono 90.

:hello:

aspesi 30-08-18 07:34

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 823335)
Ci sono C(60, 3) = 60*59*58/(2*3) = 34220 terni distinti su 90 numeri.

:mmh: Perché C(60,3) e non C(90,3) ?

Quote:

Erasmus (Scrivi 823335)
Ho quindi la probabilità 1 – (1 – q)^10 ≈ 1 – (1 – 10p)^10 ≈ 100p = 1/342,2 che su due ruote esca almeno uno stesso terno.
Con 11 ruote, ho C(11, 2) = 55 coppie di ruote e quindi che almeno su due ruote esca almeno un terno comune ha probabilità (circa)
P ≈ 55·100·p = 5500/34220 ≈ 16% (ossia circa una decina di volte ogni 62 estrazioni. E siccome c'è una estrazione ogni settimana, in un anno che ci siano due ruote nelle quali saltano fuori due terni uguali dovrebbe succedere 8 o 9 volte all'anno (valore atteso ≈ 8,3 volte all'anno).
Mi pare un po' troppo probabile; e molto probabile che abbia sbagliato da una (o più) parti. :o
Ma aspesi mi dirà dove ho sbagliato!
–––

Infatti, è un po' troppo probabile...
Supponi di avere 50 ruote (invece di 11), avresti C(50,2) = 490 coppie di ruote e, secondo il tuo calcolo, dovresti avere probabilità di un terno comune
P circa 490*p = 49000/34220 che è superiore a 1 :rolleyes:

:hello:

aspesi 30-08-18 07:37

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 823339)
Da dove esce fuori questo 60?

I numeri del lotto sono 90.

:hello:

;) Mi hai preceduto, sei più mattiniero di me...

Il tuo tentativo?

:hello:

astromauh 30-08-18 08:49

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 823342)
Il tuo tentativo?

Sai già che sarebbe solo un tentativo?

Non so da dove cominciare.

:hello:


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