Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 05-06-18 07:54

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 818869)
Un'urna contiene 6 palline che possono essere bianche o nere, l'unica cosa che si sa è che non tutte sono dello stesso colore.
Facciamo 4 estrazioni di una pallina (per volta) senza reimmettere la pallina di volta in volta estratta e otteniamo 4 palline bianche.

Qual è la probabilità che l'urna conteneva 4 palline bianche (e 2 palline nere)?

:hello:

up

:hello:

Mizarino 05-06-18 16:00

Re: Estrazioni casuali
 
Una su cinque ? :mmh:

Erasmus 05-06-18 17:19

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 818869)
Un'urna contiene 6 palline che possono essere bianche o nere, l'unica cosa che si sa è che non tutte sono dello stesso colore.
Facciamo 4 estrazioni di una pallina (per volta) senza reimmettere la pallina di volta in volta estratta e otteniamo 4 palline bianche.

Qual è la probabilità che l'urna conteneva 4 palline bianche (e 2 palline nere)?

Come sarebbe a dire "Facciamo 4 estrazioni (ecc) e otteniamo 4 pa\lline bianche."?
Sempre? Certamente? Di sicuro? :mmh:
Se così, la probabilità che chiedi è ZERO perché le sei palline sono tutte bianche!
Ma forse tuintendevi:
"Fatte 4 estrazioni di una pallina alla volta (senza reimmetterla), è successo che la pallina estratta era bianca tutte le 4 volte".
Se così: constata ancora una volta che sei solito esprimerti male! :D
Ma allora ... hiedi qualcosa che non è deducibile dal testo. :mad:
L'unica cosa certa è che c'erano 4 palline bianche, visto che sono state estratte!
---------
Siccome il testo dice che le palline inizialmentee sono 6 e siccome di queste 4 sono sicuramente bianche, ci sono tre possibili casi
1) 6 palline bianche
2) 5 palline bianche e una nera
3) 4 palline bianche e 2 nere.
----------
Faccamo il contrario.
a) Supponiamo che inizialmente ci siano 4 palline bianche e 2 nere.
La probabilità che escano di fila tutte le 4 palline bianche è (4/6)·(3/5)·(2/4 )·(1/3)= 1/15.
b) Supponiamo che inizialmente ci siano 5 palline bianche e una nera.
La probabilità che escano di 4 palline bianche è (5/6)·(4/5)·(3/4 )·(2/3)= 1/3.
c) Supponiamo che inizialmente tutte le 6 palline siano bianche.
La probabilità che escano di fila 4 palline bianche è ovviamente 1.

Allora la domanda giusta del quiz potrebbe essere la seguente:
Se si dovesse scommettere se inizialmente le palline bianche sono 4, 5 o 6, quali potrebbero essere le "poste eque" per per ciascuno di tre giocatori dei quali uno punta su 4 palline bianche, un altro su 5 o un terzo 6?
Io risponderei.
1 Euro per chi dice che le palline bianche sono 4:
5 Euri è per chi dice che le bianche sono 5;
15 Euri per chi dice che le bianche sono 6.

Dopo aver puntato, si estraggono anche la 5ª e la 6ª pallina ... e chi ha indovinato intasca tutti i 21 Euri.
[Se vince chi ha detto 4, egli guadagna 20 euri; se vince chi ha detto 5, costui guadagna 16 Euri; se vince chi ha detto 6. costui guadagna solo 6 Euri].
Insomma: le probabilità non si possono sapere!
Ma [forse] si possono "stimare" (ossia: direle stesso cercando di minimizzare il rischio di sbagliare).
Intrinsecamente ho proposto un "estimatore" che stima 1/21 la probabilità che le palline bianche siano 4, 5/21 la probabilità che le palline bianche siano 5 e infine 15/21 = 5/7 la probabilità che le 6 palline siano tutte bianche.
–––––––––––––––
Con la storia dell estimatore sono andato "a naso", [ricordandomi solo del nome "estimatore di probabilità", cioè di qualcosa che ho studiato dapprima quando dovevo occuparmi di "probabilità" per lavoro (ossia circa 50 anni fa ); e poi per l'esame di "Teoria della probabilità" nel corso di laurea in "Scienze dell'informazione" (più di 30 anni fa)]. Ma di cosa si trattasse non ricordo assolutamente nulla (al di là de solo "nome").

Aspetto dunque che aspesi mi giudichi (e, probabilmentem, mi condanni pure!).
––––
:hello:

Mizarino 05-06-18 19:59

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 819433)
... ci sono tre possibili casi
1) 6 palline bianche
...

Quote:

aspesi (Scrivi 818869)
...l'unica cosa che si sa è che non tutte sono dello stesso colore...

:hello:

aspesi 05-06-18 20:06

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 819413)
Una su cinque ? :mmh:

Non proprio...

Sono uscite 4 palline bianche consecutive: ciò significa che l'urna può contenere SOLO
4B2N
oppure
5B1N

A questo punto, condizionalmente al fatto che abbiamo osservato 4 bianche nelle 4 estrazioni successive, la probabilità che l'urna contenga 4B2N è semplicemente:

C(4,4)/[C(4,4) + C(5,4)] = 1/6

-----

Anche:

prob. 4B nelle prime 4 estrazioni in un'urna che contiene 4B2N = 4/6*3/5*2/4*1/3 = 1/15
prob. 4B nelle prime 4 estrazioni in un'urna che contiene 5B1N = 5/6*4/5*3/4*2/3 = 1/3

prob. che l'urna utilizzata contenga 4B2N = (1/15)/[(1/15 + 1/3)] = 1/6

:hello:

Mizarino 05-06-18 20:11

Re: Estrazioni casuali
 
Scusa, mi accorgo ora di essermi espresso male: intendevo dire: una contro cinque, quindi ci avevo azzeccato... :)

aspesi 05-06-18 20:12

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 819433)

Aspetto dunque che aspesi mi giudichi (e, probabilmentem, mi condanni pure!).
––––
:hello:

A parte che nell'urna non possono esserci 6 palline bianche (come ti ha fatto rilevare anche Mizarino), i tuoi ragionamenti non sono sballati, solo che non afferri sempre quello che chiede il problema :D

Se vuoi vedere la soluzione, guarda la mia risposta precedente al messaggio di Mizarino

:hello:

aspesi 05-06-18 20:13

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 819445)
Scusa, mi accorgo ora di essermi espresso male: intendevo dire: una contro cinque, quindi ci avevo azzeccato... :)

Ah... OK allora

:hello:

Erasmus 06-06-18 00:54

Re: Estrazioni casuali
 
Ho letto male. Avevo capito che delle 6 palline, a priori non si sapeva quante fossero bianche e quante nere. Perciò ho incluso anche il caso in cui le palline fossero tutte bianche.
Se elimino il caso di 6 palline tutte bianche, [restandomi i due soli casi di 4 bianche e 2 nere oppure 5 bianche e una nera], mi resta che:
• Se le palline erano 4 bianche e 2 nere la probabilità che esca pallina bianca 4 volte di fila è 1/15;
• Se le palline erano 5 bianche e 1 nera la probabilità che esca pallina bianca 4 volte di fila è 1/3 = 5/15 .

Insisto però sul fatto che NON é POSSIBILE rispondere alla domanda del quiz!! :mad:
Invece, una cosa facilmente deducibile è la seguente:
«Che esca per 4 volte di seguito una pallina bianca, se le palline bianche sono 5 (su 6) è 5 volte più probabile che se le palline bianche sono 4 (su 6)».
Ma questa affernazione NON è la risposta alla domanda del quiz! :p

I numeri 1/6 e 5/6 sono le "stime" delle rispettive probabilità in base all'evento verificatosi, non le effettive rispettive probabilità.
Provo a dirlo con altre parole:
«I numeri ”1 contro 5" – per dirla alla Mizzarino – non sono proporzionali (rispettivamente) alla probabilità che le palline bianche siano 4 o siano 5, bensì sono proporzionali (rispettivamente) alla probabilità che succeda quell'evento – che estraendo 4 palline (delle 6) esse escano tutte bianche – nel caso di partire con 4 palline bianche (su 6) o invece con 5 (palline bianche su 6).
–––––––
:hello:

aspesi 06-06-18 07:44

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 819461)
Ma questa affermazione NON è la risposta alla domanda del quiz! :p

–––––––
:hello:

La risposta corretta alla domanda:
Qual è la probabilità che l'urna conteneva 4 palline bianche (e 2 palline nere)?
è invece proprio 1/6

Questo si deduce applicando il teorema di Bayes:
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bayes

Guarda l'esempio citato nel link:
Si consideri una scuola che ha il 60% di studenti maschi e il 40% di studentesse femmine.
Le studentesse indossano in egual numero gonne o pantaloni; gli studenti indossano tutti quanti i pantaloni. Un osservatore, da lontano, nota un generico studente coi pantaloni. Qual è la probabilità che quello studente sia una femmina?


:hello:


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