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Re: Estrazioni casuali
Visto che... sono rimasto solo:(, dò subito la risposta.
Il quiz si ottimizza (la vincita, ossia il numero di facce che mediamente compaiono una volta sola è il massimo possibile) scegliendo indifferentemente 5 o 6 dadi da lanciare. Vediamo di contare il numero delle facce presenti solo una volta in funzione del numero dei dadi che vengono lanciati. 1) K = 1 un dado Può ovviamente comparire una qualsiasi delle 6 facce. Casi favorevoli = 6 .......... Vincita media attesa = 6*1/6 = 1 euro 2) K = 2 due dadi Sui 36 casi possibili, 30 sono favorevoli, mentre gli altri 6 presentano la ripetizione della stessa faccia (1-1; 2-2; ....; 6-6) Casi favorevoli = 30 ......... Vincita media attesa = 30/36*2 = 1,6666... euro 3) K = 3 tre dadi Le cose cominciano a complicarsi.... E' utile preparare una tabellina che rappresenti il numero di facce che compaiono (da 1 a 6) in funzione del numero di dadi che si lanciano. A tal fine possiamo riprendere la formula ricorsiva: p(n,k) = p(n,k-1)*n/6 + p(n-1,k-1)*(6-n+1)/6 e la tabella riportata al messaggio 115 , che qui diventa: .........1........... 2.......... 3.......... 4.......... 5.......... 6 .......-----........------......------......------......------......------ 1....... 6 2........6 ... .......30..........0...........0...........0...........0.... 3.... ...6.... .......90.........120..........0...........0...........0.... 4.... ...6.... ......210.........720.........360..........0...........0.... 5.... ...6.... ......450.........3000........3600........720..........0.... 6.... ...6.... ......930........10800.......23400.......10800........720... 7.... ...6.... ......1890.......36120.......126000......100800......15120.. 8.... ...6.... ......3810.......115920......612360......756000......191520. 9.... ...6.... ......7650.......363000.....2797200.....5004720.....1905120. 10... ...6.... .....15330......1119600.....12277800....30618000....16435440 11... ...6.... .....30690......3420120.....52470000...177645600...129230640 12... ...6.... .....61410......10383120...220140360...993168000...953029440 13... ...6.... .....122850.....31395000...911710800...5406120720..6711344640 14... ...6..........245730.....94676400...3,741E+09...2,885E+10...4,567E+10 15. .....6..........491490....285012120...1,521E+10...1,518E+11...3,029E+11 Per determinare le facce non ripetute (più di una volta) è ancora necessario valutare in quanti modi diversi può comparire uno stesso numero di facce totali (cioè con quali ripartizioni), quando i dadi che si lanciano sono più di due: Ad esempio, con K = 3 dadi, i 90 casi in cui si presentano due facce, indicano che un numero è ripetuto e l'altro presente solo una volta (presenza 2,1), mentre le 3 facce sono ovviamente tutte diverse e quindi i casi favorevoli al quiz sono 90*1 + 120*3 = 450. Proseguendo, si ha che per K = 4 , i casi favorevoli sono per 2 facce (3,1), è escluso (2,2) e sono 210*8/14; per 3 facce (2,1,1) sono 720*2 e per 4 facce (1,1,1,1) sono 360*4. In totale = 3000 Complicandosi un po' la vita, per K = 5 , i casi favorevoli sono per 2 facce (4,1) sono 450*10/30; per 3 facce(3,1,1) 3000*2*60/150 e (2,2,1) 3000*90/150; per 4 facce (2,1,1,1) sono 3600*3 e per 5 facce (1,1,1,1,1) sono 720*5. In totale = 18750 Con il medesimo meccanismo e sempre maggiore difficoltà:spaf:, si arriva alla fine a queste conclusioni: .K dadi... casi facce singole .. Vincita media --------- . ------------------- . ------------------- ... 1 ...... ...........6 ........................1 ... 2 ...... ..........30 ...............1,6666666 ... 3 ...... .........450 ..............2,0833333 ... 4 ...... ........3000 .............2,3148148 ... 5 ...... .......18750 .............2,4112654 ... 6 ...... ......112500 ............2,4112654 ... 7 ...... ......656250 ............2,3442858 ... 8 ...... .....3750000 ...........2,2326532 ... 9 ...... ....21093750 ...........2,0931124 .. 10 ..........117187500 .........1,9380670 Allo stesso risultato si può arrivare molto più facilmente con un diverso approccio. :hello: |
Re: Estrazioni casuali
Dicevo:
Quote:
p = Comb(k,1) * 1/6^1 * (5/6)^(k-1) = k * 1/6 * (5/6)^(k-1) Ad esempio, gettando 10 dadi la probabilità che esca un solo 1 è: p = 10 * 1/6 * (5/6)^9 = 0,323011 Infatti, uno solo dei 10 dadi deve fermarsi sull'1 (probabilità = 1/6), mentre gli altri 9 dadi devono dare qualunque numero diverso da 1 (ciascuno con probabilità 5/6) e l'unico 1 può essere uno qualsiasi dei 10 dadi lanciati. Si può dire quindi che, in media, la faccia con il numero 1 fa vincere un importo di euro pari alla probabilità p per ogni giocata di k dadi. Quello che è valido per il numero 1, vale per un numero qualsiasi, quindi, anche per gli altri valori: ne consegue che, in media, ad ogni giocata si vinceranno 6*p euro. Basta quindi fare una tabella, calcolando il valore 6*p, che è la vincita attesa, per i vari k: 6 * p = 6 * k * 1/6 * (5/6)^(k-1) Ad es., per k=6, si ha: 6 * p = 6 * 6 * 1/6 * (5/6)^5 = 2,411265432 che è lo stesso valore trovato molto meno agevolmente con il metodo dei casi favorevoli rispetto a quelli totali. :hello: |
Re: Estrazioni casuali
Quote:
:hello: |
Re: Estrazioni casuali
Quote:
Io ci sono rimasto male con questa storia, perchè mi fidavo dei numeri random di Bill Gates. Mi sento un po' come un fidanzato tradito. :cry: |
Re: Estrazioni casuali
Quote:
Non sono in grado di dedurre nulla. E' probabilmente un limite della funzione di randomizzazione e, in tal caso, o si è in grado di cambiarla, o si accetta l'approssimazione che fornisce :hello: |
Re: Estrazioni casuali
Quote:
Il generatore in pratica si inserisce in un punto di una sequenza ciclica di 2^32 numeri diversi, compresi fra 0 e 2^32-1, e estrae uno alla volta i numeri successivi della sequenza. Dopo 2^32 estrazioni, la sequenza si ripete identica. Ma non è questo il danno maggiore. Il danno maggiore è che se fai due diverse serie di estrazioni di un gran numero (mettiamo un miliardo) di numeri, diventa alta la probabilità che i due "archi" della sequenza ciclica si sovrappongano ... e allora col cavolo che le due serie di estrazioni sono indipendenti fra loro!... :hello: |
Re: Estrazioni casuali
Rettifico quanto scritto sopra:
Quanto scritto sopra vale per il Basic a 32 bit che uso io (PowerBasic). Per il QuickBasic è molto peggio ... il periodo del generatore RND non è 2^32, ma è 2^24. Vale a dire che fare un miliardo di estrazioni significa estrarre 60 volte la stessa sequenza di numeri!... ;) Ecco il codice che lo dimostra: Codice:
DEFDBL A-Z |
Re: Estrazioni casuali
Quote:
Abbiamo 12 dadi normali, perfettamente equilibrati. Li lanci tutti quanti. Se fra i 12 numeri usciti ce ne sono 6 differenti (sono cioè uscite tutte le 6 facce con i numeri 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6) hai vinto e ti pago 1 euro. In caso contrario (cioè ci sono meno di 6 numeri diversi, variamente ripetuti), l'euro lo paghi tu a me. Ci stai a giocare Con la sua simulazione, Astromauh trovava un risultato (43,758%), diverso di circa lo 0,5 per mille rispetto al valore esatto (43,7815681%) e si (ti) chiedeva se questa approssimazione era compatibile con il generatore random che usa. :hello: |
Re: Estrazioni casuali
2^24 = 16.777.216
Non ho capito bene. Supponendo che la frequenza del mio generatore di numeri random sia 2^24, se gli chiedo di estrarre dei numeri casuali tra 1 e 6, dopo 16.777.216 estrazioni mi riproduce nuovamente gli stessi risultati? :confused: |
Re: Estrazioni casuali
Quote:
Ma è il generatore del quick basic, il tuo potrebbe ripetersi dopo 2^32 non 2^24. :hello: |
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