Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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aspesi 30-11-14 15:29

Re: .
 
Quote:

astromauh (Scrivi 741698)
Il tuo esempio non è del tutto corrispondente al nostro caso.

:hello:

Per quello che vogliamo sostenere, il mio e il tuo esempio sono simili.

Più propriamente, il mio fornisce una informazione limitata (la conoscenza solo del nome delle due squadre che giocano, e quindi della loro forza competitiva attuale, poco importa il passato remoto e nulla il futuro), come potrebbe essere la visione di una pallina bianca dopo una estrazione (esclusione NNN, come per Milan-Gallaratese QUASI l'esclusione del segno 2); il tuo è un suggerimento ben più consistente, in quanto rende molto improbabile, non solo la sconfitta del Milan, ma anche il pareggio, più o meno come la presenza di una sola pallina bianca nel sacchetto è molto poco probabile nel caso di due estrazioni bianche (con reimbussolamento)).

Complimenti, non ti interessa il calcio, ma sai che Ambrosini è stato un (ottimo) giocatore del Milan ;)

:hello:

astromauh 30-11-14 15:39

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741695)
Veramente la verifica è stata fatta da Astromauh con una simulazione (che per sua natura ha consistenza solo se viene effettuata su un numero elevato di prove, il caso singolo non è significativo, la prova con il sacchetto andrebbe ripetuta milioni di volte e durerebbe... secoli... :D); che è (quasi) sempre disponibile ad effettuare la sperimentazione pratica al PC.

Mi hai preceduto, stavo per rispondere anch'io a nino280, a cui auguro di ristabilirsi presto, che la prova pratica era già stata fatta.

Ti ringrazio per la fiducia che riponi sulla bontà delle mie simulazioni. :) Le simulazioni al computer sono effettivamente un metodo efficace per verificare qualcosa, a patto però, che siano corrette. Purtroppo questo non è sempre il caso, ho visto che è abbastanza facile sbagliarsi. Come ci si può sbagliare ragionando direttamente sulle probabilità, ci si può sbagliare nell'impostare il programma che dovrebbe calcolarle.

Però in questo caso il programma che fa questo calcolo è molto semplice, e non c'è alcun dubbio sul risultato, che è stato confermato da altri esperti.

Poi questa volta, diversamente da altre volte, ero arrivato alla soluzione pensandoci su, e solo in un secondo momento ho fatto la simulazione, che ha confermato quello che avevo già intuito.

Non so perché Erasmus dissente sul risultato, e a dire il vero non sono nemmeno convinto che non sia d'accordo. Magari non ho capito cosa voleva dire.

Lui si mette nei panni di una persona che non sa nulla di statistica, per cui la soluzione sarebbe un'altra. Ma perché dovremmo metterci nei panni di questa persona?
E fare nostre le sue conclusioni?

Non ho capito la logica del suo discorso. :confused:

:hello:

astromauh 30-11-14 16:29

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741703)
Complimenti, non ti interessa il calcio, ma sai che Ambrosini è stato un (ottimo) giocatore del Milan ;)

No, non ho alcuna cultura calcistica. Ho cercato su Google: "Capitani del Milan". :D

Quote:

aspesi (Scrivi 741703)
Più propriamente, il mio fornisce una informazione limitata (la conoscenza solo del nome delle due squadre che giocano, e quindi della loro forza competitiva attuale, poco importa il passato remoto e nulla il futuro)

Pensavo che ti riferissi ai risultati pregressi.

Diversi anni fa, avevo provato a fare qualche programma di pronostici sul calcio. Questi programmi si basavano sui risultati degli anni precedenti e del campionato in corso. Naturalmente ero consapevole che avrei dovuto inserire anche degli algoritmi per calcolare un "indice di performance" basato sugli ultimissimi risultati, ma poi ho abbandonato l'impresa.

In realtà pare che la "forma" negli sport in generale conti moltissimo.

Ho lasciato perdere queste ricerche quando mi sono reso conto che anche conoscendo i risultati finali di un campionato di calcio, rimaneva comunque difficile "pronosticare" i risultati delle singole partite, facendo finta di non conoscerli.

Naturalmente calcolavo delle probabilità migliori di quelle che si ottengo assegnando ai risultati: "1", "x", "2" la stessa probabilità, ma non tanto più buone, da poter sperare di vincere al totocalcio.

E questo nonostante ogni singolo risultato fosse incluso nel risultati totali di quel campionato. Per cui il risultato da pronosticare era parzialmente noto come nel caso delle palline.

:hello:

Mizarino 30-11-14 20:02

Re: .
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741678)
Quella a posteriori è la probabilità condizionata dopo che si è avuto un'informazione rilevante posta in evidenza da un esperimento (nel nostro caso, l'estrazione di una delle 3 palline, di cui si vede il colore) e che consente di fare una stima più precisa sulla possibilità che le 3 palline siano tutte bianche (1/4).

Mi pare si possa equivalentemente ragionare in un altro modo, che a me pare più lineare.

Posto che non vi è correlazione fra il colore delle palline (cioè il colore di una, che lo si conosca oppure no, non influenza quello delle altre), se nella scatola restano due palline, è ovvio che la probabilità che siano entrambe bianche è di 1/4, così come se ne fosse rimasta una, sarebbe stata 1/2, e se ne fossero rimaste 4, sarebbe stata 1/16.
Se la pallina estratta fosse stata nera, sarebbe stata ancora 1/4 la probabilità che le due rimaste fossero entrambe bianche, solo che in questo caso sarebbero bianche solo due su tre.
In altre parole è forse l'espressione "probabilità condizionata" ad essere ingannevole, perché il colore della pallina estratta non condiziona proprio niente, tranne il fatto che due più uno è uguale a tre, ma questo lo sapevamo già... :D

astromauh 30-11-14 20:46

Re: Estrazioni casuali
 
Hai ragione Mizarino, però il tuo ragionamento si applica solo alla prima parte del quesito di Aspesi, perché se si estrae per due volte una pallina bianca, la probabilità delle due palline restanti non rimane la stessa.

Perché non si sa, se le palline restanti sono le stesse della prima volta, o se una di essa era la pallina estratta della volta precedente.

:hello:

aspesi 30-11-14 20:56

Re: .
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 741716)
... perché il colore della pallina estratta non condiziona proprio niente, tranne il fatto che due più uno è uguale a tre, ma questo lo sapevamo già... :D

Non è proprio così, perché "condiziona" la probabilità di BBB o NNN ecc... che si aveva in precedenza (prima di estrarre la pallina e vedere di che colore è).

Sei d'accordo che quasi certamente in un sacchetto con 4-5 palline, queste sono molto probabilmente tutte bianche se, estraendone una per volta (e rimettendola poi dentro) escono per 20 volte di fila palline bianche?

:hello:

astromauh 30-11-14 22:15

Re: Estrazioni casuali
 
Comunque non so se il termine probabilità condizionata sia adatto a questo problema.

Ricordo che Aspesi ha usato questo termine per descrivere dei casi diversi, in cui ad esempio vengono accoppiate delle palline estraendole da contenitori diversi, senza mai rimetterle nei contenitori, fino all'esaurimento delle palline.

Usata in quel contesto, probabilità condizionata voleva dire che le probabilità di accoppiare una pallina bianca con una nera, non restano immutate da una estrazione e l'altra, perché se da un contenitore sono già state estratte molte palline bianche, la probabilità di estrarre un'altra pallina bianca non è la stessa di prima, ma diminuisce.

Fidandomi della definizione di Aspesi, ho chiamato probabilità condizionata una mia pagina web: probabilità condizionata.

Se ad esempio abbiamo due contenitori che contengono rispettivamente 20 palline bianche e 30 palline nere, e 10 palline nere e 40 palline bianche, e vogliamo sapere quante sono le coppie di palline previste per le quattro combinazioni possibili: BB, NN, BN, NB bisogna inserire:

Totale= 50

BB 20 40

NN 30 10

BN 20 10

NB 30 10

La pagina calcola il valore atteso per ciascuna combinazione e ci dice se il valore trovato si discosta da quello atteso in modo significativo.

In realtà il calcolo dei valori attesi è semplicissimo e non servirebbe un programma per calcolarlo, perché è sufficiente moltiplicare il numero delle palline e dividerle per il loro totale.


BB 20 * 40 / 50

NN 30 * 10 / 50

BN 20 * 10 / 50

NB 30 * 10 / 50

Però la pagina calcola se il valore trovato si differenzia in modo significativo dal valore atteso, tenendo conto che si tratta di una probabilità condizionata, ossia in una situazione in cui le palline non vengono rimesse nei contenitori dopo che sono state estratte.

Se invece ci si trova in una situazione in cui le palline estratte vengono rimesse ogni volta nei contenitori, allora bisogna utilizzare questa altra pagina: probabilità non condizionata.

Ho fatto si che entrambi le pagine si aprano con gli stessi dati, mostrando la significatività dello stesso ipotetico risultato trovato di 25 coppie di palline bianche.

Se questo stesso risultato è stato ottenuto estraendo le palline per 50 volte e rimettendole ogni volta nei contenitori, ha una significatività statistica di circa 1%, mentre se fosse stato ottenuto estraendo le palline senza mai rimetterle nei contenitori, avrebbe una significatività statistica assoluta.

In altre parole, se rimettiamo le palline nei contenitori ogni volta, circa una volta su 100 possiamo aspettarci di trovare 25 coppie di palline bianche, o anche più di 25, mentre nel secondo caso possiamo essere certi che non troveremo mai 25 coppie di palline bianche, o più di 25 coppie.

PS

Mi rendo conto solo ora di non aver scelto bene gli esempi, perché anche senza la pagina che fa i calcoli si capisce subito che non si possono avere 25 coppie di palline bianche, nel caso della probabilità condizionata, visto che in uno dei due contenitori ce ne sono solo 20.:D

Ma adesso non ho voglia di cambiare tutto. Provate voi ad inserire nelle due pagine un valore trovato più piccolo di 25 come 20, 19, 18, 17...


:hello:

maucarlino 30-11-14 22:41

Re: .
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741719)
Non è proprio così, perché "condiziona" la probabilità di BBB o NNN ecc... che si aveva in precedenza (prima di estrarre la pallina e vedere di che colore è).

Sei d'accordo che quasi certamente in un sacchetto con 4-5 palline, queste sono molto probabilmente tutte bianche se, estraendone una per volta (e rimettendola poi dentro) escono per 20 volte di fila palline bianche?

:hello:

Perbacco, direi che questo è un quiz: si tratta di calcolare la probabilità che un sacchetto di 4-5 palline (ciascuna delle quali può essere bianca o nera con probabilità pari al 50%) contenga tutte palline bianche dato che per 20 volte consecutive è stata estratta una pallina bianca (a ciascuna estrazione è seguita evidentemente una reintroduzione della pallina nel sacchetto).

Provo a dare una risposta, vediamo poi se astromauh ci da una verifica sperimentale o se qualcuno propone un risultato migliore.

Dal mio punto di vista si tratta di applicare la formula illustrata nel post 1.172, con m=4,5 e n=20

Vediamo il caso m=4
4^20/[(4 0)*0+(4 1)*1+(4 2)*2^20+(4 3)*3^20+(4 4)*4^20]=
4^20/[1*0+4*1+6*2^20+4*3^20+4^20]=137.438.953.472/139.183.132.105 =
ca. 0,98774684625455 = ca, 98,75%

Dunque dopo 20 estrazioni tutte "bianche" (con reimbussolamento) e 4 palline nel sacchetto, sopravvive una probabilità dell'1,25% che non tutte le palline siano bianche...

Vediamo il caso m=5
5^20/[(5 0)*0+(5 1)*1+(5 2)*2^20+(5 3)*3^20+(5 4)*4^20+(5 5)*5^20]=
5^20/[1*0+5*1+10*2^20+10*3^20+5*4^20+5^20]= 19.073.486.328.125/20.179.973.621.856 = ca. 0,94516904162190 = ca. 94,52%

Dunque dopo 20 estrazioni tutte "bianche" (con reimbussolamento) e 5 palline nel sacchetto, sopravvive una probabilità maggiore del 5% che non tutte le palline siano bianche...

Chiudo invitando tutti a riflettere sul caso in cui la palline siano solo 2: nessuno sa con certezza di quale colore siano, ma siamo certi che chi li ha messe nel sacchetto è aspesi, noto per il suo equilibrio e la sua equità. aspesi giura di averle scelte bendato da un mucchio di 2.000.000 di palline, 1.000.000 delle quali erano nere e 1.000.000 bianche. Erano state mescolate accuratamente e ripetutamente da un gruppo di 3 notai. (In realtà sarebbe bastata una moneta ben equilibrata, ma andiamo avanti).

Le 2 palline sono state messe in un sacchetto e nessuno sa di che colore siano. aspesi ne estrae una ne annota il colore lo dice a tutti e la rimette nel sacchetto.
Incredibile a dirsi: per 20 volte consecutive dichiara di aver estratto una pallina bianca.
Vuole sapere ora qual è la probabilità che entrambe le palline siano bianche.

Secondo me la risposta è:
2^20/[1*0+2*1+2^20]=524.288/524.289= ca. 0,999998092655005
ossia un numero decisamente prossimo al 100%.

Francamente non scommetterei che l'altra pallina sia nera e detto fra noi - per lo stesso motivo - se qualcuno lancia una moneta e ottiene 20 volte testa, sono francamente più propenso a credere che stia lanciando una moneta a due teste...

Non so voi

aspesi 30-11-14 23:11

Re: .
 
Quote:

maucarlino (Scrivi 741732)
Secondo me la risposta è:
2^20/[1*0+2*1+2^20]=524.288/524.289= ca. 0,999998092655005
ossia un numero decisamente prossimo al 100%.

Francamente non scommetterei che l'altra pallina sia nera e detto fra noi - per lo stesso motivo - se qualcuno lancia una moneta e ottiene 20 volte testa, sono francamente più propenso a credere che stia lanciando una moneta a due teste...

Non so voi

Io sono perfettamente d'accordo con te e con tutto quanto hai scritto...
salvo forse il denominatore
2^20/[1*0+2*1+2^20]=524.288/524.289:D

:hello:

maucarlino 30-11-14 23:24

Re: .
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741733)
Io sono perfettamente d'accordo con te e con tutto quanto hai scritto...
salvo forse il denominatore
2^20/[1*0+2*1+2^20]=524.288/524.289:D

:hello:

2^20/(2+2^20) = 1.048.576/1.048.578 da cui semplificando si ottiene
524.288/524.289

:ok:


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