Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 01-11-14 21:09

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 739862)
Disponiamo i 10 uomini in fila, ma senza farli sedere. Siccome nessun uomo pu trovarsi vicino ad un altro uomo, tra di essi mettiamo una donna. Rimangono quindi 6 donne (15 meno 9). Queste 6 donne restanti possono andare a mettersi vicino ad una delle 9 donne gi inserite, o anche all'inizio, o alla fine della fila.


Modi= 2255

:hello:

Non ho capito il tuo ragionamento (eventualmente ci guardo domani, devo aver preso un virus perch ogni tanto mi si aprono pagine che vogliono vendermi prodotti per controllare e pulire il PC e probabilmente sono state proprio loro ad insozzarmelo... :mad:)

Comunque, il tuo risultato sbagliato.
Prova ad utilizzare il tuo metodo con un numero piccolo di persone, cos da poter controllare a mano i casi possibili, ad esempio con 4 uomini e 5 donne (la soluzione 15 combinazioni, considerando ovviamente indistinguibili gli uomini e le donne fra loro, altrimenti, per le disposizioni, bisogna moltiplicare 15 per 4! e per 5!)

:hello:

astromauh 01-11-14 21:49

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 739867)
Comunque, il tuo risultato sbagliato.

Hai ragione. Ho trattato quei casi come se fossero tutti uguali.


Ad esempio:

rimanere tutte unite -----------> 11 permutazioni Questo va bene

da 5 e da 1 -----------> 55 permutazioni Questo va moltiplicato per 2

da 4 e da 2 -----------> 55 permutazioni Questo va moltiplicato per 2

da 3 e da 3 -----------> 55 permutazioni Questo va bene


da 4 e da 1 e da 1 -----------> 165 permutazioni Questo va moltiplicato per 3

da 3 e da 2 e da 1 -----------> 165 permutazioni Questo va moltiplicato per 6

da 2 e da 2 e da 2 -----------> 165 permutazioni Questo va bene


da 3 e da 1 e da 1 e da 1 -----------> 330 permutazioni Questo va moltiplicato per 4

da 2 e da 2 e da 1 e da 1 -----------> 330 permutazioni Questo va moltiplicato per 6


da 2 e da 1 e da 1 e da 1 e da 1 ----------> 462 permutazioni Questo va moltiplicato per 5

da 1 e da 1 e da 1 e da 1 e da 1 e da 1 -----------> 462 permutazioni Questo va bene

Per cui i Modi dovrebbero essere...

Modi= 11 + 55*2 + 55*2 + 55 + 165*3 + 165*6 + 165 + 330*4 + 330*6 + 462*5 + 462

Modi= 8008


:hello:

aspesi 01-11-14 22:08

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 739871)
Per cui i Modi dovrebbero essere...

Modi= 11 + 55*2 + 55*2 + 55 + 165*3 + 165*6 + 165 + 330*4 + 330*6 + 462*5 + 462

Modi= 8008


:hello:

Caspita! E' giusto!!!
Non capisco come hai fatto, ma quello che conta il risultato :ok::ok:

Domani, se non interviene Erasmus o qualcun altro, posto la formula.

:hello:

astromauh 01-11-14 22:11

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 739874)
Caspita! E' giusto!!!
Non capisco come hai fatto, ma quello che conta il risultato :ok::ok:

Domani, se non interviene Erasmus o qualcun altro, posto la formula.

:hello:

Se avessi sbagliato ancora mi sarei suicidato!

GRAZIE! :)

Erasmus 02-11-14 01:37

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 739865)
Quote:

Erasmus (Scrivi 739848)
Ma resta ancora da risolvere un mio quiz di algebra (a dire il vero MOLTO FACILE) nel thread "Un po' di calcoli ... un po' di logica".

Sar pure facile, ma per me questi quiz algebrici sono un ostacolo insormontabile. E ci ho pure guardato, cercando di eliminare il termine con x^2 sostituendo:
p = -A^2/3 + B
q = 2A^3/27 - A*B/3 + C
in modo da arrivare a:
y^3 + py + q = 0

Hai fatto un lavoro inutile ... e mi meraviglio che uno logico come sei tu:
a) Non abbia tenuto in conto che ho messo il quiz in "Un po' di calcoli ... e un po' di logica".
Rifletti: un PO' di calcoli, (mica tanti e difficili); un PO' di logica: dove starebbe se si dovesse usare la formula canonica delle eq. di 3 grado?
b) La premessa dice apertamente che il livello di istruzione matematica sufficiente quello di 1 liceo scientifico: sapere cosa sono [in generale] le equazioni algebriche e saper risolvere le equazioni ad una incognita di 1 e 2 grado, (ben inferiore a quello, universitario, delle eq. di 3 e 4 grado e del calcolo differenziale).
c) Non hai tenuto conto dell'esplicita (ed evidenziata) avvertenza che si sa una soluzione doppia.

Prima ti dico il riassunto, poi ti spiego ... sbrodolatamente! :D

1) Divido il polinomio x^3 + Ax^2 + Bx + C per x+w (dove w una lettera qualsiasi, che per assumo come soluzione semplice (per ora incognita) dell'equazione di terzo grado.
Ottengo un quoziente Q(x) di secondo grado ed un resto R che
R = w^3 + Aw^2 + Bw + C.
Questo nullo se e solo se w soluzione della data equazione.
2) Annullo il quoziente Q(x). Ho una equazione di 2 grado in x con un Discriminante che dipende da w.
Questa equazione di 2 grado
Q(x) = 0
deve avere le soluzioni coincidenti (come dice il testo del quiz), e quindi il suo discriminante deve essere nullo.
Il discriminante risulta un polinomio di 2 grado in w.
Annullandolo ho una equazione di 2 grado in w.
La risolvo e in generale ottengo per w due valori.
Provo a vedere quale dei due annulla il RESTO w^3 + Aw^2 + Bw + C.
Questa la soluzione semplice dell'equazione di 3 grado.
======================================

"Un PO' di calcoli" consiste nel dividere (con la Regola di Ruffini, che una volta si imparava in III media ed ora sempre in 1 superiore) il polinomio di 3 grado per uno di 1 grado.
"Un PO' di logica" sta nello sfruttare il sapere che una soluzione doppia.

Siccome, in generale, se u, v e w sono le soluzioni di:
x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0
allora
x^3 + Ax^2 + Bx + C = (x u)(x v)(x w),
nel caso di una soluzione doppia mettiamo che sia v = u deve essere
x^3 + Ax^2 + Bx + C = [(x u)^2](x w).

Allora uguagliando a zero il trinomio di secondo grado che ottengo dividendo quello di 3 grado per x w devo avere una equazione di secondo grado con le soluzioni coincidenti, cio col discriminante nullo.
[Equivalentemente: siccome il coefficiente del termine di 2 grado 1, questo trinomio di secondo grado deve essere il quadrato di un binomio di 1 grado].

Allora: suppongo che la soluzione semplice sia w (per ora incognita) e ...
a) Divido (con la regola di Ruffini) x^3 + Ax^2 + Bx + C per (x w).
[Il primo coefficiente ; lo si moltiplica per w e gli si aggiunge A.
Quindi il 2 coefficiente w + A.
Lo si moltiplica per w e gli si aggiunge B. E il 3 coefficiente w^2 + Aw + B.
[Siccome il grado deve essere una unit in meno di quello del dividendo, sono gi arrivato al grado 0].
Moltiplico quel 3 coefficiente per w e gli aggiungo C ottenendo il RESTO
R = w^3 + Aw^2 + Bw + C
che per, nell'ipotesi che w sia una soluzione di quell'equazione, deve essere nullo.
Ecco la divisione con la regola di Ruffini:
Codice:

                1        A                B                        C
          w 
                        w              w^2 + wA            w^3 + Aw^2 +Bw
                1      w + A        w^2 + wA + B      w^3 + Aw^2 +Bw + C

Il quoziente dunque:
Q(x) = x^2 + (w+A)x + (w^2 + wA + B);
e il RESTO deve essere nullo perch w una soluzione.
R = w^3 + Aw^2 +Bw + C = 0 (*)
Le altre due soluzioni sono coincidenti e quindi l'equazione di secondo grado
Q(x) = x^2 + (w+A)x + (w^2 + wA + B) = 0 (**)
deve avere nullo il discriminante che D = (w+A)^2 4(w^2 + wA + B).

Ottengo quindi l'equazione di 2 grado nell'incognita w che
D = 0 > (w+A)^2 4(w^2 + ΩA + B) = 0 > 3w^2 + 2Aw + 4B A^2 = 0. (***)
Risolvendola, ottengo (in generale) due valori di w.
Se w la soluzione semplice dell'equazione di 3 grado, allora deve annullare il resto R dato in (*).
Non mi resta che provare per sapere qual : una delle due soluzioni della (**) va senz'altro bene!
[Noto w, la soluzione doppia u, siccome allora A = (2u + w), vale u = (A + w)/2 (come viene anche dalla (**).
Ma questo non richiesto.]

Facciamo un esempio:
Sapendo che l'equazione di 3 grado
x^3 7x^2 + 16x 12 = 0
ha una soluzione doppia, trovare quella semplice.
a) Divido x^3 7x^2 + 16x 12 per x w.
Codice:

              1          7                      16                              12
          w 
                            w                w^2 7w            w^3 7w^2 +16w
                1        w 7            w^2 7w + 16      w^3 7w^2 + 16w 12

R = w^3 7w^2 + 16w 12
Q(x) = x^2 (7 w)x + (w^2 7w + 16)

b) Le altre soluzioni saranno date da:
Q(x) = x^2 (7 w)x + (w^2 7w + 16) =0.
Annullo il discriminante
<Discriminante> = (7 w)^2 4(w^2 7w + 16) =0 > 3w^2 14w + 15 = 0 >
> w = [14 √(14^2 4315)]/(23) = [14 √(196180)]/6 = (14 4)/6 = (7 2)/3 >
> w = 3 oppure w = 5/3.
Verifico quale delle due soluzioni annulla il resto R.
3^3 73^2 + 163 12 = 27 63 + 48 12 = 36 + 36 = 0. O.K.
(5/3)^3 7(5/3)^2 + 16(5/3) 12 = (125 525 + 720 324)/27 = 4/27 ≠ 0. (Not O.K.)

-----
:hello:

aspesi 02-11-14 10:28

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 739878)
Facciamo un esempio:
Sapendo che l'equazione di 3 grado
x^3 7x^2 + 16x 12 = 0
ha una soluzione doppia, trovare quella semplice.

:hello:

Mi soffermo sugli esempi, il resto per me... fumo... :D

Vedo subito (a occhio) che l'equazione ha una soluzione x_1= 2
(infatti, 2^3 - 7*2^2 + 16*2 - 12 = 0)

Quindi, sar:
(x - 2) (x^2 + Ax + B) = 0

Posso applicare la regola di Ruffini, ma supponiamo ;) che non la ricordo.

Allora ipotizzo che la soluzione doppia sia 2 e che la terza soluzione sia A:
(x-2) (x-2) (x-A)
che posso uguagliare a x^3 - 7x^2 + 16x -12

(x^2 - 4x + 4) (x - A) = x^3 - 4x^2 + 4x - Ax^2 + 4Ax - 4A

E' evidente che A = 3

Quindi:
x^3 - 7x^2 + 16x - 12 = (x-2) (x-2) (x-3)

Verifico, sostituendo a x il 3 OK

Ovviamente, se conoscessi Ruffini farei la divisione del trinomio per (x-2):

1 ..... -7 ..... 16 ..... | ... -12
.......... 2 ... -10 ..... | ..... 12
------------------------------------
1 ..... -5 ...... 6

e avrei:
(x - 2) (x^2 - 5x + 6) = 0

Con successiva risoluzione dell'equazione di secondo grado:
x_2 = (5 + RADQ(25-24))/2 = 3
x_3 = (5 - RADQ(25-24))/2 = 2

(Capisco che un modo un po'...barbaro, ma il risultato mi pare giusto)

:hello:

astromauh 02-11-14 13:52

Re: Estrazioni casuali
 
Aspesi, ho notato che ti sei molto meravigliato del metodo con cui sono arrivato alla soluzione.
Ma come mai, tu che metodo utilizzi?


Quote:

astromauh (Scrivi 739862)
Disponiamo i 10 uomini in fila, ma senza farli sedere. Siccome nessun uomo pu trovarsi vicino ad un altro uomo, tra di essi mettiamo una donna. Rimangono quindi 6 donne (15 meno 9). Queste 6 donne restanti possono andare a mettersi vicino ad una delle 9 donne gi inserite, o anche all'inizio, o alla fine della fila.

Per cui abbiamo 6 donne che possono occupare 11 posizioni, dove per posizione non si intende per una poltrona.

In quanti modi si possono quindi disporre queste 6 donne restanti?



Queste 6 donne 'restanti' possono

rimanere tutte unite -----------> 11 permutazioni

oppure dividersi in due gruppi

da 5 e da 1 -----------> 55 permutazioni

da 4 e da 2 -----------> 55 permutazioni

da 3 e da 3 -----------> 55 permutazioni

ecc.ecc.

Io ho prima creato una fila con 10 uomini e 9 donne:

UDUDUDUDUDUDUDUDUDU


*UD*UD*UD*UD*UD*UD*UD*UD*UD*U*


* * * * * * * * * * *

D D D D D D

Per cui mi rimangono 6 donne ancora non incluse nella fila, e 11 posizioni dove posso inserirle. Ossia posso mettere queste 6 donne restanti accanto alle 9 donne gi inserite, oppure all'inizio e alla fine della fila.

Ma in quanti modi posso inserire queste 6 donne?

Un primo modo consiste nell'inserirle tutte e 6 nella stessa posizione, per cui questi sono i primi 11 modi in cui si possono disporre gli uomini e le donne nelle 25 poltrone.

Per posso inserire queste 6 donne anche dividendole in 2 gruppi, che saranno due gruppi formati da

da 5 e da 1 -----------> 55 permutazioni

da 4 e da 2 -----------> 55 permutazioni

da 3 e da 3 -----------> 55 permutazioni


Due elementi uguali si possono inserire in 11 posizioni in 55 modi diversi.

Solo che se divido le donne in due gruppi uguali di 3 e di 3 allora le permutazioni sono effettivamente 55, mentre negli altri due casi, i gruppi non sono uguali, perch abbiamo un gruppo formato da 5 donne e da 1, e anche un gruppo formato da 4 donne e da 2.

Per cui in questi due casi le permutazioni raddoppiano.

Inizialmente la cosa mi era sfuggita, ed per questo che avevo trovato un numero di permutazioni totali molto inferiore a quelle effettive.

da 5 e da 1 -----------> 55 permutazioni * 2

da 4 e da 2 -----------> 55 permutazioni * 2

da 3 e da 3 -----------> 55 permutazioni * 1

Poi considero che le 6 donne si possono suddividere anche in 3 gruppi.

Tre elementi uguali si possono inserire in una serie di 11 posizioni in 165 modi diversi, ma gli elementi sono uguali solo nel caso (2, 2, 2).

da 4 e da 1 e da 1 -----------> 165 permutazioni * 3

da 3 e da 2 e da 1 -----------> 165 permutazioni * 6

da 2 e da 2 e da 2 -----------> 165 permutazioni * 1

Per cui se i gruppi sono formati da (4, 1, 1) le 165 permutazioni vanno moltiplicate per 3, perch il gruppo formato da 4 donne, potrebbe trovarsi al primo, al secondo, o al terzo posto.

Mentre se divido le 6 donne in tre gruppi, formati da (3, 2, 1) ossia da tre gruppi diversi, le permutazioni vanno moltiplicate per 3! ossia per 6.

Ho quindi proseguito dividendo le 6 donne anche in 4 gruppi, in 5 gruppi, e in 6 gruppi, procedendo nello stesso modo.

Essendo i numeri non troppo grandi si capisce subito per quanto vanno moltiplicate le varie permutazioni.

Per cui alla fine le permutazioni totali sono date dalla somma di tutte le permutazioni possibili moltiplicate per il numero di volte necessario.

Modi= 11 + 55*2 + 55*2 + 55 + 165*3 + 165*6 + 165 + 330*4 + 330*6 + 462*5 + 462

Modi= 8008

Non so se sono riuscito a spiegarmi.

:hello:

aspesi 02-11-14 14:01

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 739898)
Modi= 8008

Non so se sono riuscito a spiegarmi.

:hello:

Ti sei spiegato bene e ho capito il tuo ragionamento.

Io avevo invece ricavato una semplice formula, che calcola direttamente il risultato:

= C(D+1,U)

Nel caso in esame:
= C(16,10) = 16!/(10!*(16-10)!) = 8008

:hello:

astromauh 02-11-14 14:22

Re: Estrazioni casuali
 
Penso che potrei creare un programma che oltre a calcolare il numero delle permutazioni possibili, le scriva anche.

Ma chi me lo fa fare? :confused:

:hello:

aspesi 02-11-14 14:33

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 739902)
Penso che potrei creare un programma che oltre a calcolare il numero delle permutazioni possibili, le scriva anche.

Ma chi me lo fa fare? :confused:

:hello:

Poteva essere utile una volta, quando si giocava al totocalcio e molti volevano selezionare solo le colonne da mettere in gioco ad es. di 12 doppie 1 - X con 5 segni X, massimo due consecutivi e 7 segni 1... ;)

:hello:


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