Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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aspesi 29-04-16 19:53

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 777547)
Per cui il range complessivo della probabilità dovrebbe essere compreso tra 3/10 e 6/10.

L'intervallo è ampio, però sei all'interno... ;)

Quote:

astromauh (Scrivi 777547)
Questo quesito si risolverebbe bene con una simulazione.

Penso di sì, però ci si arriva anche (e con grande eleganza... ;)) con il ragionamento.

Nel caso di sole 10 palline totali, si possono, senza eccessiva difficoltà :D, anche calcolare i casi favorevoli (quelli in cui la pallina bianca esce quando ci sono ancora almeno una nera, una verde e una rossa nel sacchetto) e dividere per tutti i casi totali possibili.

:hello:

astromauh 30-04-16 13:07

Re: Estrazioni casuali
 
La probabilità dovrebbe essere P= 0,551190476190476 salvo errori.

Vorrei controllare meglio cosa ho fatto, ma non ho tempo.

:hello:

aspesi 30-04-16 13:14

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 777569)
La probabilità dovrebbe essere P= 0,551190476190476 salvo errori.

Vorrei controllare meglio cosa ho fatto, ma non ho tempo.

:hello:

:ok: Bravo, perfetto!
Quando hai tempo, se vuoi, spiega come ci sei arrivato (io, che un po' sono paragnosta... :D, sono quasi certo che hai contato tutti i casi favorevoli)

:hello:

astromauh 30-04-16 13:27

Re: Estrazioni casuali
 
Si ho cantato tutti i casi favorevoli. :D

Su 3.628.800 permutazioni ce ne sono 2000160 favorevoli.

In realtà le permutazioni sono molto meno, perché sarebbero 3.628.800 solo se le 10 palline fossero tutte di un colore diverso, ma per semplificarmi la vita, ho preferito considerarle tutte diverse.

Ho quindi trovato

P = 2000160 / 3628800

che semplificando diventa

P= 463/840


La difficoltà maggiore è stata quella di ritrovare il programma che mi scrive le permutazioni, perché sono un casinaro cronico. :o

:hello:

aspesi 30-04-16 14:17

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 777574)
Si ho cantato tutti i casi favorevoli. :D

Su 3.628.800 permutazioni ce ne sono 2000160 favorevoli.

In realtà le permutazioni sono molto meno, perché sarebbero 3.628.800 solo se le 10 palline fossero tutte di un colore diverso, ma per semplificarmi la vita, ho preferito considerarle tutte diverse.

Ho quindi trovato

P = 2000160 / 3628800

che semplificando diventa

P= 463/840



:hello:

Il risultato è corretto, però i casi totali possibili sono molto meno e precisamente:

10!/(4!*3!*2!*1!) = 12.600

Tra questi, i casi favorevoli sono 6.945 (se interessa, li elenco, li ho calcolati tutti a mano, è lungo, ma non difficile).

Per trovare la soluzione generale, c'è anche una formula, aspetto magari Erasmus prima di segnalarla.

Infine, c'è una ragione, perché in calce al testo del quiz, avevo scritto:
(Perché prima avevo citato come primo colore scomparso il rosso e adesso il bianco?)

:hello:

Mizarino 30-04-16 16:56

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 777574)
Si ho cantato tutti i casi favorevoli. :D

Cantami o divo
delle mille palle
la permuta funesta
...

astromauh 30-04-16 18:24

Re: Estrazioni casuali
 
Sono entrato anch'io nel club dei cecati. :cool:

:hello:

Erasmus 01-05-16 01:57

Re: Estrazioni casuali
 
@ aspesi
Credo che astromauh abbia ragionato come ho ragionato io ieri (analohgamente, credo, al tuo modo di ragionare, ma prendendo in considerazione tutte le 10! permutazioni (che sono appunto 36228800 casi).
Io ho pensato al meccanismo con cui risolvere il quiz, ma non ho portato a termine il calcolo.
Insostanza ... faccio così:
• Immagino di avere tutte le 9! = 3622880 dsiposizioni delle 9 palline (due nere, tre verdi e 4 rosse). Prendo la pallina bianca e la metto, in cascuna disposizione
– al primo posto, davanti a tutte le altre palline
– al secondo posto, dopo una sola pallina
– al terzo posto, ...
– ecc.ecc.
• In ogni posizione della pallina bianca mi domando qiuali (equindi quanti) sono i casi in cui dopo di lei ci somno ancora palline di tutti gli altri tre colori.
Dividoper 10! ed ho un addendo della cercata probabilità
• Alla fine, sommo tutti gli addendi.

• Con la pallina bianca al primo posto o al secondo posto , tutte le 9! disposizoponi hanno palline di tutti i tre colori. Quidi
– Pallina bianca al primo posto –––>∆p1 = 9!/10! = 1/10;
– Pallina bianca al secondo posto –––>∆p2 = 9!/10! = 1/10;
Dal terzo posto in poi bisogna scartare i casi in cui un altro colore termina prima della posizione della pallina bianca.
– Pallina bianca al terzo posto: Può terminare prima solo il nero se le due palline nere (le cui permutazioni sono 2! = 2) stanno al primo e secondo posto
––> ∆p3 = (9! – 2!·7!)/10! = (9·8 – 2)/(10· 9·8) = 7/72
– Pallina bianca al 4° posto.
Fue dei tre posti precedenti possono essere occupati dalle due palline bere che allora finiscono prima della bianca. Il terzo posto da una pallina rossa o da una verde.
a) due palline nere ed un a rossa.
Allora la rossa ha 4 possibilità e 3 possibili posti; e le nere hanno due possinbili permutazioni. In tutto 3·4·2·6! casi, cioè 24·6! casi.
b) due palline nere ed un verde. La verde ha 3 possibilità e tre possibili posti (e le nere due permutazioni). In tutto 3·3·2·6! = 18·6! casi.
c) Tre palline verdi in 3! = 6 possibili permutazioni –––> 6·6! casi.
Insieme ––> ∆p4 = [9! – (24+18+6)·6!]/10! = (9·8·7 – 48)/(10·9·8·7) =19/210.
---
Mi sono stufato!
Ma ci sarebbe da calcolare i casi con la pallina bianca al 5°, al 6° o al 7° posto.
Con la bianca al 7° posto il calcolo è facile. La bianca è estratta prima che termini un altro colore se i successivi tre posti sono occupati da una nera, una verde e una rossa.
Quindi. 2 possibilità per la nera, 3 per la verde e 4 per la rossa e 3! = 6 loro permutazioni, ossia 2·3·4·3! = 144 casi per ciascuna delle 6! permutazioni delle 6 palline (una nera, due verdi e trte rosse) che precedono la bianca
––> ∆p7 = (144·6!)/10! = 144/(10·9·8·7) = 1/35.
Con la pallina bianca all'8°, 9° o 10° posto non ci sono casi i con i tre altri colori dopo di lei (∆p8 = ∆p9 = ∆p10 = 0).
Intanto ∆p1 + ∆p2 + ∆p3 +∆p4 + ∆p7 = 1/10 + 1/10 + 7/72 + 19/210 +1 /35 ≈ 0,4163
[Mancano dalla somma ∆p5 e ∆p6]
––––––––
Ho anche ipotizzato che ci sia una formula ... ma ho subito rinunciato a cercarla,
–––
:hello:
--------
P.S (Dom. 01.05.2016 h10:53)
Ho editato per correggere.

Erasmus 01-05-16 10:19

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 777594)
Cantami o divo
delle mille palle
la permuta funesta
...

:mad:
Manca la metrica montiana.
«Cantami o divo delle mille palle
la permuta funesta ... » :eek: Perché tale? :mmh:

--------
Autunno 1948. E' incominciata la mia 2ª media.
Il profe di Italiano ci dà da imparare a memoria centinaia di versi del i° libro dell'Iliade (traduzione di Vincenzo Monti).
Ecco i primi (vado a memoria):

Cantami o diva del Pelìde Achille
l'ira funesta che infini addusse
lutti agli Achei ed anzitempo all'orco
generose travolse alme d'eroi
e di cani ed augelli orrido pasto
lor salme abbandonò – così di Giove
l'alto consiglio s'adempia – da quando
primamente disgiunse aspra contesa
il re dei prodi Atrìde e il divo Achille.
E qual dei numi inimicolli? Il figlio
di Latona e di Giove. Irato al sire
destò quel dio nel campo un feral morbo.
E la gente perìa. Colpa d'Atrìde
che fece a Crise sacerdote oltraggio
...

Potrei continuare.
Ma salto qualche verso e vado a quando Crise viene all'accampamento degli Achei a riscattare la figlia Criseide.
«O Atridi, – ei disse – o coturnati Achei,
gl'immortali del cielo abitatori
concedanvi espugnar la piameia
cittade e salvi al sacro suol tornarvi-.
Deh mi scioglite la diletta figlia,
ricevetene il prezzo ed il saettante
figlio di Giove rispettate. Al prego
tutti acclamar doversi il sacerdote
riverire e accettar le ricche offerte.
Ma la proposta al cor d'Agamennòne
non talentando in guise astre il superbo
accommiatollo e minaccioso aggiunse:
«Vecchio non far che presso a queste navi
ned or né poscia piùti colga io mai
ché forse a nulla ti varrà lo scettro
né l'infula del dio.
. . .( ???)
Or va' né m'irritar se salvo ir brami! »


Allora Crise va a pregare Apollo di vendicarlo.
E Apollo lo accontenta.

« ... L'udì Febo e scese
dalle cime d'Olimpo in gran disdegno
...???
... Mettean le frecce orrendo
sugli omeri all'irato un tintinnìo
... ??? ... ed ei simìle
a fosca notte giù venìa. Piantossi
delle navi al cospetto ???
..???...
Prima i giumenti e i presti veltri assalse.
poi le schiere a mirar prese vibrando
le mortifere punte, onde per tutto
degli esanimi corpi ardean le pire.
Nove giorni volar pel campo acheo
le divine quadrella. ... »


[Ho dei buchi di memoria!
Avrei detto di poterla recitare tutta senza omissioni ed incertezze.
Constato che non è così!

Ma oltre alla memoria dei versi, mi resta la memnoria della meraviglia mia (e dei compagnI) davanti a strane parole come i "cotunati Achei" o quel gerundio "talentando".
Per non dire delle "divine quadrella". :eek:
-------
Oops.
Chiedo venia ...
Ma a voi non capita qualche volta di abbandonarvi a ricordi giovanili simili a questi miei?
–––––––––

NB: avevo interrotto per necessità.
Ho poi ripreso a distanza di qualche ora editando.

Cioa ciao.

aspesi 01-05-16 11:05

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 777607)
@ aspesi
Credo che astromauh abbia ragionato come ho ragionato io ieri (analogamente, credo, al tuo modo di ragionare, ma prendendo in considerazione tutte le 10! permutazioni (che sono appunto 36228800 casi).
Io ho pensato al meccanismo con cui risolvere il quiz, ma non ho portato a termine il calcolo.
In sostanza ... faccio così:
• Immagino di avere tutte le 9! = 3622880 disiposizioni delle 9 palline (due nere, tre verdi e 4 rosse). Prendo la pallina bianca e la metto, in ciascuna disposizione
– al primo posto, davanti a tutte le altre palline
– al secondo posto, dopo una sola pallina
– al terzo posto, ...
– ecc.ecc.
• In ogni posizione della pallina bianca mi domando quali (e quindi quanti) sono i casi in cui dopo di lei ci sommo ancora palline di tutti gli altri tre colori.
Divido per 10! ed ho un addendo della cercata probabilità
• Alla fine, sommo tutti gli addendi.

Ok, io mi sono limitato ad esaminare i casi favorevoli (uscita pallina bianca come primo colore che scompare) rispetto ai 10!/(4!*3!*2!*1!) = 12.600 casi totali

B | NNVVVRRRR --------> 9!/(2!*3!*4!) = 1260

NB | NVVVRRRR --------> 8!/(4!*3!*1!) = 280

VB | NNVVRRRR --------> 8!/(2!*2!*4!) = 420

RB | NNVVVRRR --------> 8!/(3!*3!*2!) = 560

NVB e VNB | NVVRRRR --------> 2*7!/(4!*2!*1!) = 210

NRB e RNB | NVVVRRR --------> 2*7!/(3!*3!*1!) = 280

RVB e VRB | NNVVRRR --------> 2*7!/(2!*2!*3!) = 420

VVB | NNVRRRR --------> 7!/(2!*4!*1!) = 105

RRB | NNVVVRR --------> 7!/(2!*3!*2!) = 210

NVRB e NRVB e VNRB e VRNB e RNVB e RVNB | NVVRRR --------> 6*6!/(2!*3!*1!) = 360

NVVB e VNVB e VVNB | NVRRRR --------> 3*6!/(4!*1!*1!) = 90

NRRB e RNRB e RRNB | NVVVRR --------> 3*6!/(3!*2!*1!) = 180

VVRB e VRVB e RVVB | NNVRRR --------> 3*6!/(2!*1*3!) = 180

RRVB e RVRB e VRRB | NNVVRR --------> 3*6!/(2!*2!*2!) = 270

RRRB | NNVVVR --------> 6!/(2!*3!*1!) = 60

12 (NVVR)B | NVRRR --------> 12*5!/(3!*1!*1!) = 240

12 (NVRR)B | NVVRR --------> 12*5!/(2!*2!*1) = 360

4 (NRRR)B | NVVVR --------> 4*5!/(3!*1!*1!) = 80

6 (VVRR)B | NNVRR --------> 6*5!/(2!*2!*1!) = 180

4 (VRRR)B | NNVVR --------> 4*5!/(2!*2!*1!) = 120

20 (NVRRR)B | NVVR --------> 20*4!/2!*1!*1!) = 240

30 (NVVRR)B | NVRR --------> 30*4!/(2!*1!*1!) = 360

10 (VVRRR)B | NNVR --------> 10*4!/(2!*1!*1!) = 120

60 (NVVRRR)B | NVR --------> 60*3!(1!*1!*1!) = 360

In totale, 6945 casi favorevoli

p = 6945/12600 = 463/840

Per la formula, in seguito ;) tanto, qui in montagna sta nevicando da ieri sera... e pensare che ero venuto per vangare e seminare... :mad:

:hello:


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