Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

astromauh 03-09-20 21:58

Re: Estrazioni casuali
 
Mi pare che i percorsi siano 47 però è molto facile che mi sia confuso.

:hello:

aspesi 03-09-20 22:01

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 837792)
Probabilmente, invece di contare materialmente i percorsi come sto facendo, si potrebbe trovare una formula risolutrice basata sul numero dei punti che compongono il lato del quadrato che in questo caso è n=6

:hello:

Infatti, c'è un metodo da seguire, altrimenti diventa quasi impossibile...
Comunque, sono molti di più di 19 (anche più del doppio...)

Aiutino ;) Se parti da T per arrivare a U c'è un solo percorso
Se parti da S per arrivare a U ci sono 2 percorsi
Se parti da R per arrivare a U ci sono 5 percorsi
......

:hello:

astromauh 03-09-20 22:06

Re: Estrazioni casuali
 
Dicevo che con 6 mosse ci sono 19 percorsi che però non sono i percorsi finali.
Poi ho ripreso i calcoli e mi pare che in totale i percorsi completi siano 47.

Ossia 5 + 5 + 5 + 5 + 9 + 9 + 9

:hello:

aspesi 03-09-20 22:09

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 837796)
Mi pare che i percorsi siano 47 però è molto facile che mi sia confuso.

:hello:

Cavoli, ne hai trovati 5 di più... :D
Sono 42

:hello:

Codice:

                                        1
                              1        1
                      2      2                1
              5      5      3                1
    14    14      9      4          1
42  42    28    14      5        1

Cominci alla fine con "1" su U.

Poi vai verso l'inizio e su ogni incrocio scrivi la somma degli eventuali numeri sopra e a destra.

La formula è (2n)!/(n!*(n+1)!)
https://oeis.org/A000108

astromauh 03-09-20 22:12

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 837799)
Cavoli, ne hai trovati 5 di più... :D
Sono 42

Ho contato un 5 due volte :spaf:

Ma l'ho detto che non ero sicuro del risultato.

:hello:

Erasmus 04-09-20 01:13

Re: Estrazioni casuali
 
34 percorsi (salvo ... "errore di sbaglio" nel contarli :rolleyes: ).
Mi pare che se i passi sono 2n di cui n orizzontali ed n verticali, il numero di percorsi (diciamolo P(n) con n = 1, 2, 3, ...) verifichi la seguente legge:
Codice:

P(1) = 1;  e per ogni n > 1:
                        n–1
P(n) = P(n–1) + P(k)  (*)
                      k=1

Ho contato il numero di percorsi di 2n passi [n orizzontali ed n verticsli] per n da 1 a 5 trovando appunto:
P(1) = 1; P(2) = 2; P(3) = 5; P(4) = 13; P(5) = 34.
I primi termini di questa successione sono:
Codice:

  n    ––> 1,  2,  3,  4,    5,    6,    7,      8, ...
P(n) ––>  1,  2,  5,  13,  34,  89,  233,  610, ...

Ho poi trovato questa successione su Oeis.
Là si fa notare che questa successione è fatta dei termini di indice dispari della successione di Fibonacci – diciamoli F(2n–1) – ossia:
Per ogni n intero positivo: P(n) =F(2n–1).
Per esempio, per n = 7 [essendo per ogni n intero F(n–1) = F(n–2) + F(n–3)]:
F(13) = F(12)+F(11)= F(11)+F(10)+F(11) = 2F(11)+F(10) = 2F(11)+F(9)+F(8) = ... = 2F(11)+F(9)+F(7) + F(5)+F(3)+F(1) [perché F(0) = 0].
Ossia: la verifica della (*) per n = 7 con P(n) = F(2n–1)

Ma su Oeis è detto anche che P(n) è la successine dei numeri X per i quali
5X^2– 4 è un quadrato.
Si constatainfatti che
5·1^2 – 4 = 1 = 1^2;
5·2^2 – 4 = 16 = 4^2;
5·5^2 – 4 = 121 = 11^2;
5·13^2 – 4 = 841 = 29^2;
5·34^2 – 4 = 5776 = 76^2.;
...
Dunque, per ogni n intero positivo
5·F(2n–1)^2 –4 è un quadrato perfetto
E questo è davvero sorprendente. :eek:
–––––––
:hello:

Erasmus 04-09-20 01:27

Re: Estrazioni casuali
 
L' "'errore di sbaglio" nel contare il numero percorsi c'è stato! :o
Lento come son diventato, ero partito che ancora astromauh non era intervenuto ... ed ho inviato ben dopo il suo intervento (senza aver letto né lui né aspesi!) .
Mi spiace aver "toppato" perché avevo trovato molto interessante la successione F(2n–1) (con le due proprietà scoperte consultando Oeis ;) ).

Amen! :lipssealed:
––––
:hello:

aspesi 18-11-20 07:50

Re: Estrazioni casuali
 
Tema di Matematica per l'ammissione ai Corsi di Laurea in Matematica, Fisica, Informatica

Un turista parte per un viaggio di 800 km in autostrada.
Alla partenza ha fatto il pieno di carburante e con il pieno ha un'autonomia di >200 e <210 km (facciamo finta sia così poco); ma a causa di uno sciopero, i distributori di benzina hanno una probabilità del 50% di essere chiusi.
Lungo l'autostrada il turista troverà un distributore ogni 100 km e, se il distributore sarà aperto, ogni volta farà il pieno.

Che probabilità ha il turista di arrivare a destinazione (supponiamo con ancora mezzo serbatoio pieno di carburante)?

(il tra parentesi l'ho aggiunto io)
Spero intervenga anche astromauh con una simulazione
Vorrei conferma del mio risultato, perché in un forum di matematica c'è stato solo un intervento e la soluzione proposta (9/256) è secondo me sbagliata

:hello:

Erasmus 18-11-20 08:55

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 838946)
Tema di Matematica per l'ammissione ai Corsi di Laurea in Matematica, Fisica, Informatica

Un turista parte per un viaggio di 800 km in autostrada.
Alla partenza ha fatto il pieno di carburante e con il pieno ha un'autonomia di >200 e <210 km (facciamo finta sia così poco); ma a causa di uno sciopero, i distributori di benzina hanno una probabilità del 50% di essere chiusi.
Lungo l'autostrada il turista troverà un distributore ogni 100 km e, se il distributore sarà aperto, ogni volta farà il pieno.

Che probabilità ha il turista di arrivare a destinazione (supponiamo con ancora mezzo serbatoio pieno di carburante)?

(il tra parentesi l'ho aggiunto io)
Spero intervenga anche astromauh con una simulazione
Vorrei conferma del mio risultato, perché in un forum di matematica c'è stato solo un intervento e la soluzione proposta (9/256) è secondo me sbagliata

:hello:

Ma chi è che compone questi quiz?
Non si possono fare calcoli con numeri incerti!
E perché hai aggiunto che, se il viaggiatore arriva a destinazione, ha il serbatoio carico a metà? Io considererei che potrebbe arrivare anche a serbatoio vuoto, ossia trovando chiusi gli ultimi due posti di rifornimento.

Nel caso in cui di rifornimento è per 200 km la probabilità richiesta è diversa dal caso in cui il rifornimento è per 210 km.
––––––––––
Comunque io procederei così:
a) Considero tutte le possibili situazioni (cioè col trovare aperto o chiuso ciascuno dei 7 distributori in cui, se trova aperto, il viaggiatore fa rifornimento). [L'ultimo all'uscita dell'autostrada non serve a niente!].
E' come considerare i numeri binari di 7 cifre (che sono 128 e non 256)
Le 128 distinte situazioni sono equiprobabili con probabilità (1/2)^7 = 1/128 e sono indipendenti una dall'altra. Giustamente la loro somma è 1.

Il viaggiatore non arriva a destinazione se trova almeno due distributori consecutivi chiusi.
Bisogna quindi contare quanti sono i numeri binri di 7 cifre [0 o 1] che hanno almeno due zeri consecutivi. Supponiamo che il numero di questi numeri sia n.
Allora la probabilità di arrivare a destinazione che ha il viaggiatore è (128*– n)/128
––––
:hello:

@ aspesi
Dimmi se ho ragionato bene o no.
Grazie dell'attenzione.

aspesi 18-11-20 10:45

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 838948)
E perché hai aggiunto che, se il viaggiatore arriva a destinazione, ha il serbatoio carico a metà? Io considererei che potrebbe arrivare anche a serbatoio vuoto, ossia trovando chiusi gli ultimi due posti di rifornimento.

Ho fatto il conto sia nel caso che il serbatoio contenga ancora benzina per fare 100 km (magari non trova subito un distributore appena uscito dall'autostrada) e il mio risultato è 55/256, sia, come dici, che possa arrivare a serbatoio vuoto (e allora il mio risultato è 68/256)

Quote:

Erasmus (Scrivi 838948)
Comunque io procederei così:
a) Considero tutte le possibili situazioni (cioè col trovare aperto o chiuso ciascuno dei 7 distributori in cui, se trova aperto, il viaggiatore fa rifornimento). [L'ultimo all'uscita dell'autostrada non serve a niente!].
E' come considerare i numeri binari di 7 cifre (che sono 128 e non 256)
Le 128 distinte situazioni sono equiprobabili con probabilità (1/2)^7 = 1/128 e sono indipendenti una dall'altra. Giustamente la loro somma è 1.

Il viaggiatore non arriva a destinazione se trova almeno due distributori consecutivi chiusi.
Bisogna quindi contare quanti sono i numeri binri di 7 cifre [0 o 1] che hanno almeno due zeri consecutivi. Supponiamo che il numero di questi numeri sia n.
Allora la probabilità di arrivare a destinazione che ha il viaggiatore è (128*– n)/128
––––
:hello:

@ aspesi
Dimmi se ho ragionato bene o no.
Grazie dell'attenzione.

:ok: E' esattamente il ragionamento che ho fatto io :ok: (A parte il fatto dell'ultimo distributore, io l'ho considerato per il primo caso di poter conservare un po' di benzina nel serbatoio)
Ho fatto anche la stessa ipotesi di 1=distributore aperto e 0=distributore chiuso
Per il calcolo dei casi favorevoli, ho fatto il conto dei numeri binari che hanno o tutti otto 1 (un caso) o un solo segno 0 consecutivo (sette 1 ---> 8 casi; sei 1 ---> 21 casi; cinque 1 ---> 20 casi; quattro 1 ---> 5 casi)

:hello:

Che sequenza è?
Sono i numeri di Fibonacci
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...


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