Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 11-01-12 09:14

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 555097)
Ecco le formule che cerchi:

Probabilità di fare triangolo acutangolo: 3·ln(2) – 2 = 0,07944154...
Probabilità di fare triangolo ottusangolo: [9 –12·ln(2)]/4 = 0,170558458...

Il calcolo l'ho fatto io ... ispirato dai tuoi triangoli.

Guarda la figura qui sotto: devi leggerla attentamente. :fis:
Calcolo probabilità triangoli acutangoli e ottusangoli

Ciao, ciao

Ho guardato, mi pare tutto molto bello :), visivamente è anche chiarissimo... il risultato conferma la mia simulazione... ma, purtroppo, quando si arriva all'iperbole... procedura e calcoli sono al di fuori delle mie conoscenze.
Resto solo a bocca aperta :o

:hello:

aspesi 11-01-12 09:23

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 555112)
Comunque non ho ben capito che cosa ho fatto, me lo potreste spiegare? :mmh:
.....

Mi piacerebbe provare a risolvere qualche problema simile a questo, avete qualcosa da proporre?

:hello:

Erasmus 194 mi pare sia partito ed abbia spiegato la tua idea.

Riguardo a problemi simili , penso che la discussione possa proseguire...

:hello:

Erasmus 11-01-12 16:03

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 555141)
Quote:

Erasmus (Scrivi 555097)
Ecco le formule che cerchi:

Probabilità di fare triangolo acutangolo: 3·ln(2) – 2 = 0,07944154...
Probabilità di fare triangolo ottusangolo: [9 –12·ln(2)]/4 = 0,170558458...

Guarda la figura qui sotto: devi leggerla attentamente. :fis:
Calcolo probabilità triangoli acutangoli e ottusangoli

Ciao, ciao

Ho guardato, mi pare tutto molto bello :), visivamente è anche chiarissimo... il risultato conferma la mia simulazione...

@ aspesi
Devi guardare di nuovo, :D (perché la vecchia figura aveva qualcosa di squinternato nella "legenda" ed un paio di errori di digitazione).
Ho anche aggiunto una "etichetta" che sta a significare una specie di esordio (con l'introduzione del triangolo).

Purtroppo, le correzioni su una immagine "linkata" significano il cambio dell'URL.
Per favore, aspesi: edita il tuo messaggio di sopra e sostituisci anche tu il nuovo URL (che è quello che vedi anche nella citazione di me stesso in questo messaggio # 202.

Ciao ciao

aspesi 11-01-12 17:07

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 555281)
Per favore, aspesi: edita il tuo messaggio di sopra e sostituisci anche tu il nuovo URL (che è quello che vedi anche nella citazione di me stesso in questo messaggio # 203.

Ciao ciao

Fatto! ;)
Ma come sei "precisino".... anche se la legenda della figura precedente era un po' squinternata, lì avevo capito benissimo.
E' l'iperbole che mi frega...

Infatti, sapendo di essere "ignorante", ma illudendomi di essere "acuto":D, prima di questa tua soluzione avevo provato a calcolare le due aree (relative alle probabilità di formare triangoli acuti e ottusi), stimando che per le parti che hai colorato in rosa e verde si potesse trattare di tre settori circolari (somma = un semicerchio di raggio L/2).
In tal modo avevo calcolato 0,0931 per la zona gialla (prob. triangoli acutangoli) e 0,1569 per la zona verde (prob. triangoli ottusangoli), accorgendomi dell'errore dopo che la simulazione con un programmino aveva dato valori notevolmente diversi. :o

:hello:

occhiodilince 11-01-12 22:30

Re: Estrazioni casuali
 
A proposito di estrazioni casuali..:eek::spaf:
Queste sono le estrazioni del Lotto di ieri:
Ruota di Roma: 76-75-79-3-78.
Ruota Nazionale: 21-23-27-86-25.
Ruota di Torino:21-59-25-22-15.

Superenalotto: 14-22-27-28-34-66.
Numero Jolly:69
numero superstar:23.

Problema: 1) calcolare quante probabilità ci sono in una estrazione casuale di 90 numeri, che in una singola ruota escano tre o più numeri pressochè consecutivi della stessa decina.
2) calcolare quante probabilità ci sono che questa probabilità si ripeta su diverse ruote nella stessa giornata e nella stessa estrazione.

Ps. i numeri delle probabilità trovate potranno essere giocati nella prossima estrazione al Lotto e al Superenalotto con ottime probabilità di uscire.:D

aspesi 11-01-12 23:09

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

occhiodilince (Scrivi 555454)
Problema: 1) calcolare quante probabilità ci sono in una estrazione casuale di 90 numeri, che in una singola ruota escano tre o più numeri pressochè consecutivi della stessa decina.
2) calcolare quante probabilità ci sono che questa probabilità si ripeta su diverse ruote nella stessa giornata e nella stessa estrazione.

Io non mi meraviglio se ci sono estrazioni apparentemente strane... (la consecutività o altre formazioni che ci colpiscono, come i pari, i gemelli, le cadenze, ecc... sono solo nostre costruzioni mentali, quello che ha senso è fare una stima della loro probabilità di verificarsi).

Ebbene, ti sembrerà strano, ma la probabilità che escano in una ruota determinata 3 o 4 o 5 numeri in una decina qualsiasi (da 1 a 10, o da 11 a 20, o da ...., o da 81 a 90) è ben l'8,11% (precisamente 3.566.268 casi favorevoli sui 43.949.268 casi totali, di cui:
-3 presenze in una decina = 3.412.800 cinquine
-4 presenze in una decina = 151.200 cinquine
-5 presenze in una decina = 2.268 cinquine

Per quanto riguarda la ripetizione di tre (solo 3) numeri di una decina qualsiasi in esattamente tre ruote delle 11 del lotto italiano, la probabilità è ancora notevole e precisamente uguale al 4,48% (una volta ogni 22-23 concorsi).

:hello:

occhiodilince 12-01-12 17:57

Re: Estrazioni casuali
 
E però in quella estrazione sono usciti 4 numeri su Roma, 4 sul Nazionale, 4 al Supernenalotto. E 3 su Torino.
A me sembra una combinazione..combinata:D.

Erasmus 12-01-12 18:54

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 555307)
[...]
E' l'iperbole che mi frega [...]
[...]
... avevo provato a calcolare [...], stimando che per le parti che hai colorato in rosa e verde si potesse trattare di tre settori circolari (somma = un semicerchio di raggio L/2) [...]

In un settore circolare di raggio 1 – come quello di eq. cartesiana
x^2 +y^2=1
– e angolo (al centro) 2φ radianti, l'area del settore vale φ.
La corda è lunga 2·sin(φ) e la sua distanza dal centro è cos(φ). Sicché l'area del triangolo isoscele che ha per base la corda e per lati due raggi vale cos(φ)·sin(φ).
Allora l'area Sc del segmento di cerchio (la "lunetta") vale:
(**) Sc = φ –cos(φ)·sin(φ)

Per un'iperbole equilatera di eq. cartesiana x^2 – y^1 = 1 (che nel campo complesso è come quella del cerchio di raggio 1 con la sola differenza che metti jy al posto di y), il settore è concavo, con perimetro formato da due "raggi" (con origine nel centro della conica e termini simmetrici rispetto all'asse dei fuochi) e dall'arco di conica.
L'area d'un segmento di iperbole [ancora una "lunetta", simmetrico rispetto all'asse focale] è la differenza tra l'area del triangolo che ha per lati la corda e i due raggi e l'area del "settore iperbolico".

Ponendo x = cos(φ) ed y = sin(φ) nel cerchio di raggio 1 l'area del segmento di cerchio viene
(*) Sc = arccos(x) – xy = arcsin(y) – xy = arctan(y/x) – xy.

Analogamente per l'iperbole di eq. x^2 – y^2 = 1 (ma invertendo i segni).
L'area del triangolo fatto da una corda di iperbole (ortogonale all'asse focale che è quello delle ascisse x) e dai due "raggi" (che congiungono gli estremi della corda con il centro della conica) vale:
Si = xy – «settore-coseno-iperbolico»(x);
Si = xy – «settore-seno-iperbolico»(y);
Si = xy – «settore-tangente-iperbolica»(y/x)
[Cfr (*)]

Detto ancora φ l'argomento dal quale dipende l'area del settore iperbolico, nell'iperbole di eq. x^2 – y^2 = 1 abbiamo:
φ = «settore-coseno-iperbolico»(x);
φ = «settore-seno-iperbolico»(y);
φ = «settore-tangente-iperbolica»(y/x);
e l'area del settore di iperbole (di distanza tra i vertici 2 e asintoti ortogonali) vale
Si = cosh(φ)·sinh(φ) – φ
[Cfr (**)]

Ma cos'è mai 'sto argomento φ per l'iperbole?
E' la comune variabile di coseno iperbolico, seno iperbolico e tangente iperbolica:
x = cosh(φ); y = sinh(φ); y/x = tanh(φ).

Ripassiamo ... qualcosa; e vediamo che è il logaritmo naturale della somma tra coseno iperbolico e seno iperbolico.

Una funzione f(x) è detta pari se f(–x) = f(x); dispari se f(–x) = –f(x).
[Si tratta di "antonomasia" perché così succede per le potenze di grado rispettivamente pari o dispari].
La parte pari di una funzione f(x) è p(x) = [f(x) + f(–x)]/2;
la parte dispari d(x) = [f(x) – f(–x)]/2.
[Infatti p(x) = p(–x) e d(x) = – d(–x)]

L'esponenziale e^φ, per φ reale, è sempre positivo e sempre crescente. Cresce ... dal nulla (per φ ––> –oo) fino all'infinito (per φ ––> +oo) passando per 1 (per φ =0) con pendenza 1. [Solo la base "e" dà quest'ultima proprietà].
Quindi e^φ non è pari né dispari.
Per definizione
"coseno iperbolico" e "seno iperbolico" sono (rispettivamente) la parte pari e la parte dispari dell'esponenziale:
cosh(φ) = [e^φ + e^(–φ)]/2; sinh(φ) = [e^φ – e^(–φ)]/2; tanh(φ)= sinh(φ)/cosh(φ).
[NB: nel campo complesso, le funzioni cos(φ) e j·sin(φ) sono (rispettivamente) la parte pari e la parte dispari di e^(jφ). Quindi: cosh(jφ]=cos(φ); sinh(jφ) = j·sin(φ).]

La definizione stessa comporta:
cosh(φ) + sinh(φ) = [e^φ + e^(–φ)]/2 + [e^φ – e^(–φ)]/2 = e^φ;
cosh(φ) – sinh(φ) = [e^φ + e^(–φ)]/2 – [e^φ – e^(–φ)]/2 = e^(–φ);
[cosh(φ)]^2 –[sinh(φ)]^2 = [e^φ]·[e^(–φ)] = 1.

Perciò, come
x = cos(φ); y = sin(φ)
sono le eq. parametriche del cerchio di eq. cartesiana x^2 + y^2 =1, così
x = cosh(φ); y = sinh(φ)
sono le eq. parametriche dell'iperpole di eq. cartesiana x^2 – y^2 = 1.
[NB: per ogni N intero i punti di coordinate [x, y] = [±√(|N|+1), ±√(!N|] stanno su questa iperbole.]

Ponendo x = cosh(φ) si ha:
sinh(φ) = √[(x^2) – 1];
e^φ = x + √[(x^2) – 1];
φ= ln{x + √[(x^2) – 1]}

Analogamente, ponendo y = sinh(φ) si ha
cosh(φ) = √[(y^2) + 1];
e^φ = √[(y^2) + 1] + y;
φ= ln{√[(y^2)+ 1] + y}

Supponi, ora, di voler sapere di chi è derivata la funzione f(x) = √(1 – x^2), conoscere cioè :
Codice:

F(x) = √(1 – x^2) dx
Se non sai già il risultato (a memoria, per ricordarti d'averlo già fatto) ti conviene porre:
x = cos(φ)
per cui
√(1 – x^2) = sin(φ); dx = (dx/dφ) dφ = – sin(φ) dφ
riducendo il problema al trovare una primitiva di –[sin(φ)]^2.
Questa si trova integrando "per parti" e viene:
F[x(φ)] = K –[φ – cos(φ)·sin(φ)]/2;
F(x) = K – [arccos(x) – x·√(1 – x^2)]
(con K costante arbitraria)
[Provare a derivare F(x) per verificare che viene f(x) = √(1–x^2).
Occorre ricordare che la derivata di arccos(x) è –1/√1–x^2).]

Analogamente si ragiona per le primitive di g(y) =√(1 + y^2)
Codice:

G(y) = √(1 + y^2) dy
Si pone y = sinh(φ) e si ha:
√(1 + y^2) = cosh(φ); dy = cosh(φ)·dφ.
L'integrale è così ridotto alla ricerca d'una primitiva di [cosh(φ)]^2.
Integrando "per parti" si ha:
G[y(φ)] = K + [sinh(φ)·cosh(φ) + φ]/2
ossia:
G(y) = K+[y·√(1+y^2)]/2 + ln[√1+y^2) + y] (con K costante arbitraria).
[Prova a derivare G(y) per verificare che viene g(y) = √(1+y^2)].
=============================================

A che serve questa ... "lezione di matematica"? (lectio non petita ? :spaf:)

Invece di ragionare direttamente sulla geometria, proviamo a tradurre in algebra.
Vedi – dall'inizio del mio allegato – che uno di quei tre archi (che tu speravi essere circolari) – ha eq. cartesiana [quando metti l'origine O(0, 0) al centro della base del triangolone equilatero di lato 2/√(3) e di altezza 1]
(y+1)^2 – 3x^2 =2
e rappresenta la linea–luogo dei triangoli rettangoli di ipotenusa y, ossia 1/3 della linea di confine tra la regione dei triangoli ottusangoli [fatta da3 "lunette"] e quella (centrale) degli acutangoli.

Che si tratta di una iperbole si riconosce subito.
Hai infatti [(y+1)^2]/2 – [x^2/(2/3) =1
e se poni X = (y+1) e Y = x
ti diventa l'equazione canonica dell'iperbole
(X^2)/a^2 – (Y^2)/b^2 = 1
con parametri a = 1/√(2) e b = √(3/2).

Ma tu puoi infischiartene di sapere che tipo di curva è quell'arco!

Trattala quell'equazione come equazione di 2° grado in y: ottieni:
y = √(3x^2 + 2) – 1

Ora ... l'importante è riuscire a venir a sapere una primitiva di y = f(x) = √(3x^2 + 2) – 1, perché l'area che sta tra l'asse delle ascisse e l'arco di curva è l'integrale [da un estremo all'altro della proiezione dell'arco sull'asse delle ascisse] della funzione f(x).

La funzione integranda sembra facilina: f(x) = √(3x^2 + 2) – x.
Ma il radicale, come appena visto, ha una primitiva un po' scorbutica!
Contiene infatti:
ln{√[(3/2)x^2 +1]+√(3/2)·x} = ln[√(3x^2 + 2) + √(3)·x] – ln(2)

L'integrale di √(3x^2 + 2) si trova facilmente con questi passaggi:
• estrarre √(2) dal radicale in modo da dover integrare √[(3/2)·x^2 +1];
• porre √(3/2)·x = sinh(φ) in modo da avere:
. . . . √[(3/2)·x^2 +1]=cosh(φ); x = √(2/3)·sinh(φ); dx = √(2/3)· cosh(φ)·dφ
• estrarre ancora √(2/3) e integrare quel che resta, cioè [cosh(φ)]^2;
• moltiplicare l'integrale ottenuto per i fattori estratti, cioè per √(2)·√(2/3)=2/√(3);
• infine sostituire sinh(φ) con √(3/2)·x, cosh(φ) con √[(3/2)·x^2 +1] e φ con ln{√[(3/2)x^2 +1]+√(3/2)·x}.

In tal modo si trova:
[NB. Per comodità di scrittura metto S al posto di sinh(φ) e C al posto di cosh(φ)]
F = ∫(C^2) dφ = ∫C·(C dφ) = S·C – ∫S·S dφ = S·C – ∫(C^2 – 1) dφ = S·C – F + φ;
F = SC – F + φ <=> 2F = SC + φ <=> F = (SC + φ)/2.
∫[√(3x^2 + 2) – x] dx = [2/√(3)]·(1/2){√(3/2)·x·√[(3/2)x^2 + 1] + ln[√((3/2)x^2 + 1) + √(3/2)·x]} –x + K =
= [1/√(2)]·x·√[(3/2)·x^2 + 1] + [1/√(3)]·ln{√[(3/2)·x^2 + 1] + √(3/2)·x} – x + K.
[Provare a deivare per controllo! :D]

er K = 0: allora la funzione viene F(0) = 0; e F[1/√(12)] –cioè in x=1/[2√(3)] che è l'ascissa dell'estremo dell'arco che sta a metà del lato triangolone equilatero]*– vale:
F[1/(√(12)] = √/3)·[1/8 + (1/6)·ln(2) – 1/6] = [√(3)/6]·[ln(2) – 1/4].
Questa è l'area tra mezzo arco e la sua proiezione sulla base del triangolone.
Il centro ha coordinate (0, 1/3). L'estremo dell'arco (1/√(12), 1/2). Questi due punti, assieme alle loro proiezioni sull'asse delle ascisse, sono i vertici del trapezio rettangolo di base minore 1/3, base maggiore 1/2 e altezza 1/√(12).
L'area di questo trapezio vale (5/12)·(1/√(12) = [√(3)/6]·(5/12).
Sottraendo quest'area all'area F[1/√(12)] = [√(3)/6]·[ln(2) – 1/4] si ha l'area di 1/6 della regione dei triangoli acutangoli.
La differenza viene [√(3)/6]·[ln(2) – 2/3].
L'area della regione dei triangoli acutangoli [6 volte quest'ultima] vale √(3)·[ln(2)–2/3].
La probabilità di avere un triangolo acutangolo è il rapporto tra quest'area e l'area del triangolone [che vale 1/√(3)].
Questo rapporto è:
Prob(triangolo acutangolo) = 3·ln(2) –2 = 0,07944...
La probabilità di avere un triangolo ottusangolo (regione delle tre "lunette") è il complemento ad 1/4:
Prob(triangolo ottusangolo) = 9/4 – 3·ln(2) = 0,17055...

Ciao ciao
:hello:

aspesi 12-01-12 20:05

Re: Estrazioni casuali
 
Non avrai mica sperato che leggessi tutto.... (tanto, non avrei capito nulla....):D
Mi piacerebbe sapere se c'è qualcuno che ti segue, in queste tue lezioni:mmh:

Però, ti consiglio di correggere:
Quote:

L'area della regione dei triangoli acutangoli è 6 volte quest'ultima, cioè √(3)·[1/3 + ln(2)].
in
radq[3*(ln(2) - 2/3)]

:hello:

aspesi 12-01-12 22:36

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

occhiodilince (Scrivi 555730)
E però in quella estrazione sono usciti 4 numeri su Roma, 4 sul Nazionale, 4 al Supernenalotto. E 3 su Torino.
A me sembra una combinazione..combinata:D.

E' molto probabile che nella gestione del lotto e affini ci sia qualche taroccamento, specie per i giochi a quota fissa e non a montepremi. Visto anche che la "casualità" la stabilisce un software, perché da tempo non si fanno più pescare le palline con i numeri ad un bambino bendato.
Però sarebbe sciocco se fossero ad arte fatte uscire combinazioni "particolari", che potrebbero insospettire subito qualcuno (come è successo a te).
Volendo "manovrare" la casualità a proprio vantaggio, sarebbe molto più semplice esaminare i numeri che sono stati messi in gioco in maggiore quantità e "dare una spintarella" all'uscita degli altri. Stando attenti a non far uscire tanti numeri consecutivi, che, fra l'altro, sono quelli giocati in prevalenza, spesso inconsciamente, dai sistemisti che si servono di software professionali di riduzione.

:hello:


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