Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

nino280 05-04-19 08:05

Re: Estrazioni casuali
 
Ok fatto e hai ragione tu.
Mi son svegliato 10 minuti fa e siccome questa mattina sono all'opera (cioè devo essere in campo e sono in procinto di partire) ho fatto in questi 10 minuti quello che mi hai detto:
https://i.postimg.cc/Z54jtbLb/Cattura-Aspesi.png



E come si vede funziona.
Insomma io avevo fatto l'errore di far partire il cerchio in F con il centro lungo la bisettrice dell'angolo del triangolo in quel punto, mentre dovevo fare ne più ne meno lo stesso lavoro che avevo fatto per i cerchi in E e C.
E' tardi vado Ciao

aspesi 12-04-19 07:14

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 830485)
Nelle 6 facce di un dado sono contenuti 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 cerchi bianchi (che ne rappresentano il punteggio).
In ognuno di questi 21 cerchi è scritto un numero intero positivo, uno in ogni cerchio e tutti diversi tra loro, in modo che:
• in nessuna faccia siano scritti due numeri consecutivi
• la faccia con tre numeri contiene solo numeri primi
• la faccia con 4 cerchi contiene il numero 4, quella con 5 cerchi il numero 5 e quella con 6 cerchi il numero 6
• la somma dei numeri scritti su ogni faccia sia sempre la stessa e sia la più piccola possibile.

Quali numeri sono scritti sulle 6 facce ? (Esistono 4 soluzioni)

:hello:

La somma più piccola possibile dei numeri scritti su ogni faccia è 43.

Questa è una delle quattro soluzioni:

1 ----> 43
2 ----> 18 - 25
3 ----> 11 - 13 - 19
4 ----> 4 - 9 - 14 - 16
5 ----> 2 - 5 - 7 - 12 - 17
6 ----> 1 - 3 - 6 - 8 - 10 - 15

:hello:

nino280 15-04-19 13:20

Re: Estrazioni casuali
 
Ok!
Ciao

Erasmus 06-09-19 18:01

Re: Estrazioni casuali
 
Chiedo un particolare favore ad astromauh. :o

Una volta – tanto tempo fa – aspesi aveva posto questo quiz:
«Qual è l'area media dei triangoli inscritti nel cerchio di raggio 1?»

Ho trovato sul mio computer un documento nel quale c'è la soluzione teorica di questo quiz (naturalmente secondo me ... che non sono Miza e quindi posso aver sbagliato con una probabilità non trascurabile).

Chiedo allora ad astromauh il favore di trovare la soluzione mediante il sorteggio casuale di un gran numero di triangoli inscritti (di cui sommare le aree e poi dividere la somma per il numero di triangoli).

Per facilitargli il calcolo mi permetto di segnalargli che l'area di un triangolo inscritto in un cerchio di raggio 1 è facile se si considerano gli angoli al centro sotto i quali sono visti i lati.
Se un lato è visto dal centro del cerchio sotto l'angolo x e un altro sotto l'angolo y, il terzo è visto sotto l'angolo (x + y).

Sia ABC il triangolo inscritto in un cerchio e sia O il centro del cerchio.
Supponiamo che il lato AB sia visto sotto l'angolo x, il lato BC sotto l'angolo y e di conseguenza il lato AC sotto l'angolo (x + y).
Supponiamo poi che ABC stia tutto in un semicerchio, (cioè che il centro O del cerchio stia fuori dal triangolo, ossia che l'angolo (x + y) sia minore di un angolo piatto).
Allora l'area di ABC è uguale alla somma delle aree di OAB e OBC meno l'area di OAC.
Le aree di questi triangoli, supposto 1 il raggio del cerchio, valgono rispettivamente
Area(OAB) = [sin(x)]/2;
Area(OBC) = [sin(y)]/2;
Area(OAC) = [sin(x+y)]/2;

Area(ABC) = [sin(x) + sin(y) – sin(x+y)]/2 (*)

Se invece il centro sta dentro al triangolo (cioè se x + y è maggiore di un angolo piatto) l'area del terzo triangolo Area(OAC )va aggiunta e non sottratta.
Ma la formula (*) va ancora bene perché se (x +y) è maggiore di un angolo piatto il suo seno è negativo.

Allora, presi due angoli casuali tra 0 e 180 gradi,, calcolare la formula (*), fare così per n volte, sommare tutti i risultati e poi dividere per n.

Nel documento alla fine sai arriva adire chel'area media è 3/π.
Ma ora, rifacendo il calcolo senza andar a vedere come era quello che come risultato trovava 3/π, mi viene 2/π e non 3/π

Grazie astromauh se mi fai questo calcolo.

Ciao ciao
–––
:hello:

aspesi 01-10-19 10:23

Re: Estrazioni casuali
 
In un test a risposta multipla le risposte esatte valgono + 4, le risposte sbagliate - 1, la risposta non data vale 0.
Ogni domanda ha esattamente 5 opzioni possibili, di cui una sola é corretta, e
a) supponendo che TUTTE le scelte di un candidato (rispondere o non rispondere e, se si risponde, dare la risposta giusta o sbagliata) vengano fatte in modo indipendente e casuale
b) sapendo che in totale le domande cui si può o meno rispondere sono 4

qual è la probabilità che quel candidato risponda a tutte le domande E consegua un punteggio superiore a 0?


:hello:

Erasmus 02-10-19 23:09

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 833514)
In un test a risposta multipla le risposte esatte valgono + 4, le risposte sbagliate - 1, la risposta non data vale 0.
Ogni domanda ha esattamente 5 opzioni possibili, di cui una sola é corretta, e
a) supponendo che TUTTE le scelte di un candidato (rispondere o non rispondere e, se si risponde, dare la risposta giusta o sbagliata) vengano fatte in modo indipendente e casuale
b) sapendo che in totale le domande cui si può o meno rispondere sono 4

qual è la probabilità che quel candidato risponda a tutte le domande E consegua un punteggio superiore a 0?


:hello:

Oh, bene! iI forum si è rimesso a funzionare!
[Stamattina era nel pallone!]
-----------------------------------
Faccio un'ipotesi aggiuntiva (che suppongo implicita nel testto anche se non espressamente dichiarata ... perché si sa che di solito i testi di aspesi sono equivocabili :) ). Questa:
Ciascuna delle 4 domande ha probabilità 50% di di avere risposta..
L'equivoco sta nel fatto che un lettore potrebbe interpretare equiprobaili ciascuna di queste sei possibili risposte
1) La numero 1.
2) La numero 2.
3) La numero 3.
4) La numero 4.
5) La numero 5.
6) Non te lo dico!

Pertanto ciascuna domanada ha probabilità 1/2 di non contribuire al punteggio, probabilità (1/2)·(4/5)=2/5 di fruttare –1 e probabilità (1/2)·(1/5)= 1/10 di fruttare 4.
• La probabilità che tutte le 4 domande abbiano risposta è ovviamente 1/16 = 6,25%.
• La probabilità che il punteggio globale sia positivo è 50%
–––––––––
Sulla prima risposta penso che non ci sia nulla da dire!
Sulla seconda ... bisognerebbe spiegare come si arriva a questo risultato.
Mi speigo subito!
Immaginiamo che un fottio di candidati operi in questo stesso modo (a caso come detto). Ciascuna domanda 5 volte su 10 non avrà risposta, avrà risposta sbagliata 4 volte su 10 e avrà risposta giusta una sola volta su 10.
Per un numero n di volte molto grande il punteggio atteso Pa sarà dunque:
Pa = [(n/2)·0 + (2n/5)·(–1) + (n/10)·4]/n = [n(2/5 – 2/5)]/n = 0.
Se dunque il valore atteso è 0 e ogni domanda è trattata allo steesso modo (e quindi ogni quaterna è equiprobabile), vuol dire che i casi con punteggio globale positivo sono tanti quanti i casi con punteggio globale negativo.
------
Ad essere pignoli, però, siccome i casi possibili sono in numero finito e finito è anche il numero di casi con punteggio globale 0, la probabilità di ottenere un punteggio globale positivo dovrebbe essere un po' minore del 50%.

Ho provato a contare i casi possibili di risposte con relativo punteggio. Salvo errori o omissioni mi viene quanto segue:
Codice:

4 risposte su 4 (probabilità 1/16)   
 giuste  Sbagliate  Punteggio    Relativo numero di casi 
    4        0              16                          1
    3        1              11                        16
    2        2              6                          96
    1        3              1                        256
    0        4            –4                        256

3 risposte su 4 (probabilità 1/4)   
 giuste  Sbagliate  Punteggio    Relativo numero di casi 
    3        0              12                          1
    2        1              7                        12
    1        2              2                        48
    0      3              –3                        64

2 risposte su 4 (probabilità 3/8)   
 giuste  Sbagliate  Punteggio    Relativo numero di casi 
    2        0              8                        1
    1        1              3                        8
    0        2            –2                      16

Una risposta su 4 (probabilità 1/4)   
 giuste  Sbagliate  Punteggio    Relativo numero di casi 
    1        0              4                      1
    0        1            –1                      4

0 risposte su 4 (probabilità 1/16)   
 giuste  Sbagliate  Punteggio    Relativo numero di casi
    0          0            0                      1

Si può fare un punteggio globale positivo in tanti modi.
Pesando con la rispettiva probabilità i casi di punteggio positivo e sommando i prodotti siottiene 38,9375=623/16.
Pesando invece con la rispettiva probabilità i casi di punteggio positivo e sommando i prodotti si ottiene 39 =624/16
Pesando infine con la sua probabilità l'unico caso di punteggio nullo siha 0,0625 =1/16.
Dunque, la probabilità di ottenere un punteggio globale P positivo è 623/(623 + 624+1) = (1/2)·(623/624)< 1/2.
[b]E' invece esattamente 1/2 la probabilità di fare un punteggio globale P ≥ (o P <*0))/B].
––––
:hello:

aspesi 03-10-19 12:56

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 833534)
Pertanto ciascuna domanada ha probabilità 1/2 di non contribuire al punteggio, probabilità (1/2)·(4/5)=2/5 di fruttare –1 e probabilità (1/2)·(1/5)= 1/10 di fruttare 4.
• La probabilità che tutte le 4 domande abbiano risposta è ovviamente 1/16 = 6,25%.
• La probabilità che il punteggio globale sia positivo è 50%
–––––––––
Sulla prima risposta penso che non ci sia nulla da dire!
Sulla seconda ... bisognerebbe spiegare come si arriva a questo risultato.
Mi speigo subito!
Immaginiamo che un fottio di candidati operi in questo stesso modo (a caso come detto). Ciascuna domanda 5 volte su 10 non avrà risposta, avrà risposta sbagliata 4 volte su 10 e avrà risposta giusta una sola volta su 10.
Per un numero n di volte molto grande il punteggio atteso Pa sarà dunque:
Pa = [(n/2)·0 + (2n/5)·(–1) + (n/10)·4]/n = [n(2/5 – 2/5)]/n = 0.
Se dunque il valore atteso è 0 e ogni domanda è trattata allo steesso modo (e quindi ogni quaterna è equiprobabile), vuol dire che i casi con punteggio globale positivo sono tanti quanti i casi con punteggio globale negativo.
------
Ad essere pignoli, però, siccome i casi possibili sono in numero finito e finito è anche il numero di casi con punteggio globale 0, la probabilità di ottenere un punteggio globale positivo dovrebbe essere un po' minore del 50%.

:ok:E' tutto giusto, in particolare la frase che ho evidenziato in rosso e in grassetto ;)

Per il resto, non rispondi specificatamente a quanto richiede il quiz "Qual è la probabilità che quel candidato risponda a tutte le domande E consegua un punteggio superiore a 0?"

La soluzione è 34,39%

Punti ..... Casi possibili ..... Probabilità
-4 .............. 1 .................... 0,0256
-3 .............. 4 .................... 0,128
-2 .............. 6 .................... 0,24
-1 .............. 4 .................... 0,20
0 ............... 1 .................... 0,0625
1 ............... 4 .................... 0,0256
2 .............. 12 .................... 0,096
3 .............. 12 .................... 0,12
4 ............... 4 .................... 0,05
6 ............... 6 .................... 0,0096
7 .............. 12 .................... 0,024
8 ............... 6 .................... 0,015
11.............. 4 .................... 0,0016
12.............. 4 .................... 0,002
16.............. 1 .................... 0,0001

......Totale . 81 ...................... 1

Erasmus 03-10-19 17:16

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 833552)
:ok:E' tutto giusto, in particolare la frase che ho evidenziato in rosso e in grassetto ;)

Per il resto, non rispondi specificatamente a quanto richiede il quiz "Qual è la probabilità che quel candidato risponda a tutte le domande E consegua un punteggio superiore a 0?"

Credevo di aver risposto!
Ma ... lo vedi quanto sei equiovoco? :D
Hai detto prima che i sorteggi se rispondere o no alla domanda e quale risposta sceglere sono indipendenti. E allora io ho interpretato quel "E" come passaggio alla seconda parte del quiz, cioè quel che segue E come nuova domanda.
Invece ora quel "E" lo intendi come connettivo logico e vuoi sapere la probabilità di conseguire un punteggio globale positivo rispondendo a tutte le domande.
La risposta è facile perché ci sono 5^4 = 625 quaterne possibili ma solo di 4 tipi, con rispettivo punteggio 16, 11, 6 o –4 e con rispettiva cardinalità (come già scritto);
Codice:

4 risposte su 4   
 Giuste  Sbagliate  Punteggio  Relativo numero di casi 
    4        0              16                    1
    3        1              11                  16 [Ognuna delle 4 domande  ha 4 possibili risposte sbagliate]
    2        2              6                  96 [6 possibili coppie di domande con 4^2 coppie di possibili risposte sbagliate]
    1        3              1                  256 [4 possibili terne di domande con 4^3 terne di possibili risposte sbagliate]
    0        4            –4                  256  [una quaterna di domande con 4^4 quaterne di possibili risposte sbagliate]

I casi distinti sono 1+16+96+256+256 = 625 = 5^4. Di questi quelli con punteggio positivo sono 1+16+96+256 = 369,
La probabilità di ottenere un punteggio positivo è dunque 369/625 ≈59,04% > 50%
[Quindi conviene rispondere a tutte le domande!]
Il punteggio atteso (cioè quello conseguibile mediamente) è:
Codice:

        1·16 + 16·11 + 96·6 +256·1        1024
Pa = ––––––––––––––––––––––––– =  ––––––– ≈  2,775
              1 + 16 + 96 + 256                  369

Si nota che, se si rtisponde a caso, è conveniente rispondere a tutte 4 le domande.
–––
:hello:


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 16:11.

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