Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Irrazionalità del pi greco. (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=56972)

ANDREAtom 19-07-15 10:02

Irrazionalità del pi greco.
 
La matematica non è "pane per i miei denti"; io e la matematica ci siamo incontrati una sola volta in una notte di inverno, senza Luna, e c'èra pure la nebbia; quindi non ci siamo visti..... :D Tuttavia sono costretto ad utilizzarla nella mia attività, cercando di semplificarla il più possibile.
Quando ho a che fare con il pi greco, se voglio ottenere la più alta precisione di calcolo con il minor numero possibile di cifre decimali arrotondo il suo valore a 3,1416 e questo risulta logico osservando questa tabella che mostra le prime 100.000 :eek: cifre dopo la virgola

https://it.wikipedia.org/wiki/Pi_gre...100_mila_cifre)

dove le prime cinque cifre decimali sono in realtà 3,14159; se fossero state 3,14160 l'arrotondamento sarebbe perfetto, mentre in realtà la sequenza non si arresta nemmeno dopo la trentaduesima cifra che è uno zero.

So bene che l'area di un cerchio o il volume di una sfera si possono calcolare solo con approssimazione; Leonardo da Vinci ha impiegato molto tempo della sua vita nel tentativo di far quadrare il cerchio, ma questo è impossibile; per quanto si scomponga in altre figure geometriche rimangono sempre dei "pezzetti" vicino alla sua circonferenza curva; da questo nasce l'infinità di decimali del pi greco; però non dovrebbero essere presenti degli zeri...... E' questo che mi incuriosisce; in base a quale logica matematica la sequenza può riprendere dopo lo zero?

nino280 19-07-15 10:37

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Guarda che lo zero è una "quantità" dello stesso valore di tutti gli altri nove numeri.
Nella retta orientata, quando si passa da 0,9 a 1 e poi da 1 a 1,1 siamo passati attraverso lo zero, si diciamo attraverso lo zero di 1,0 che ha ne più ne meno lo stesso valore di quando passi da 0,7 a 0,8
Quando leggi zero insomma, c'è lo stesso salto che c'è per gli altri numeri. Zero è il nome che si da a quel salto.
Il valore dello zero assume valore nella posizione in cui si trova in un dato numero.
Per farti un esempio se scrivo 10,0 il valore di quello zero dopo la virgola per intenderci è diverso da quando scrivi 1.000.000,0
Ma queste sono cose che se le legge Erasmus si imbestialisce:D:D
Perché si presuppone che tu magari hai fatto che ne so una lettura col tuo comparatore e siccome a te interessano solo i decimi di millimetro se anche in realtà la misura effettiva è 10,01 tu arrotondi. Diverso è come dicevo già prima se hai 9,99999990 quello zero laggiù in fondo ha un peso diverso.
Ciao
Non si può passare da nove a uno senza passare attraverso lo zero.
Come ti vengono queste idee?
Se vedi uno zero in un numero non è che poi c'è il baratro:hello:

astromauh 19-07-15 10:55

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

ANDREAtom (Scrivi 757624)
E' questo che mi incuriosisce; in base a quale logica matematica la sequenza può riprendere dopo lo zero?

Per lo stesso motivo per cui può riprendere dopo il 5, il 7, e il 9.

Fa molto caldo! :D

:hello:

ANDREAtom 19-07-15 10:58

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Ho capito, ho detto una boiata..... :spaf: :D però il mio interrogativo rimane valido; con quale logica si può istruire un computer per calcolare il pi greco (mi pare abbiano superato il miliardo di cifre) e poi avere la certezza che queste sono tutte esatte?

astromauh 19-07-15 11:02

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Credo che Erasmus, tempo fa, abbia scritto un programma in turbo-pascal per calcolare qualche migliaio di cifre del pi greco.

PS

Mi pare che c'ho provato anch'io, ma con un metodo poco efficiente, utilizzando i numeri random.

Considerando un cerchio iscritto in un quadrato di lato 2r.

L'area del cerchio è pi * r^2, e l'area del quadrato è 4*r^2.

Il rapporto tra l'aria del cerchio e quella del quadrato è quindi pi/4.


AreaCerchio / AreaQuadrato = pi / 4

Per cui

pi= 4 * AreaCerchio / AreaQuadrato.

Il programma consisteva nel generare delle coppie di numeri casuali compresi tra 0 e 1 che rappresentano un punto, e quindi nel verificare se questo punto cade o meno all'interno del cerchio.

Conoscendo quindi la proporzione tra i punti che cadono all'interno del cerchio e quelli totali si può calcolare empiricamente il valore del pi greco.

Però ci sono altri metodi più precisi che evitano di ricorrere a dei numeri casuali.

:hello:

nino280 19-07-15 11:17

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
La letteratura e la storia del calcolo delle cifre del Pi Greco è lunga quasi quanto la lunghezza dei suoi decimali.
Ci saranno, senza esagerare 150 modi per calcolare tale sequenza.
Io credo che io posso e nessuno me lo vieta trovare anche il 151° modo per farlo.
Però se col mio sistema trovo che la 147 esima cifra è un 8 e gli altri 150 dicono che è un 9; devo ragionevolmente suppore che il mio metodo è sbagliato.
Ciao
Non dico bugie, di la nello sgabuzzino, ho un libro letto 10 anni fa, si intitola "Le gioie del Pi Greco", tutto il libro parla solo ed esclusivamente dei vari sistemi per calcolarlo.:hello:
http://matematica.unibocconi.it/libr...e-del-pi-greco

Questo libro ha una particolarità rilevante, mentre tutti libri che ho sono rettangolari, lui è l'unico che è quadrato (come si vede anche dall'immagine dal link che ho postato) e quindi se vado a cercalo lo trovo subito.:D

Cocco Bill 19-07-15 13:15

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Le calcolatrici da tavolo ed i calcolatori hanno una routine apposta per calcolare pigreco utilizzando una espansione in serie che tende appunto a pigreco, viene approssimato il valore utilizzando un numero finito di passi. Se si vuole più precisione si aumenta semplicemente il numero di passi. Ora non ricordo più quale sia la serie, ma Erasmus tra poco ve lo dirà ;). E' un sistema così acquisito informaticamente che in pratica il calcolo viene effettuato in hardware con una routine scritta già nel processore.

ANDREAtom 19-07-15 15:34

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Sarà così; ma in questo caso non possono esistere 150 "metodi" diversi per determinare il valore di pi greco come dice Nino, ma uno solo esatto, e tutti gli altri sarebbero filosofia; io non mi intendo di matematica a questi livelli, e a tale proposito ho fatto la (doverosa) premessa.......:D quindi per determinare il valore di pi greco posso basarmi solo sul metodo sperimentale, misurando ad es. l'esatto diametro di un cilindro e poi la circonferenza con un flessometro, con metodi sempre più raffinati facendo poi il rapporto, fino ad apprezzare tre o quattro cifre decimali; (oppure fidarmi delle tabelle) ma quando ci si imbatte in articoli di questo genere come si fa a non avere qualche dubbio?

https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_di_pi_greco

E' interessante il metodo STANDARD:
π può essere ottenuto a partire da un cerchio di raggio ed area noti, essendo l'area data dalla formula: ecc. ecc.

E grazie al cavolo; se l'area è NOTA deve esserlo anche pi greco ..... :D
Poi vengono i geroglifici....... :o

aspesi 19-07-15 19:41

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Andrea lascia perdere il calcolo preciso del pi greco, accontentati del numero di cifre che ti servono...

Se vuoi, cerca invece di risolvere questo quiz:

Nino tende un filo per il bucato dalla cima di un palo alla base di un altro; poi ne tende un altro dalla cima del secondo alla base del primo.
Così fatto chiede al padre: "Se un palo è alto 7 piedi e l'altro 5 piedi, a che altezza da terra si incroceranno i due fili ?"

:hello:

astromauh 19-07-15 20:53

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Piedi: 2,916

:hello:

ANDREAtom 19-07-15 21:34

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
A parte che i fili per stendere i panni dovrebbero essere tesi in orizzontale..... :D comunque ci provo; forse 2,9167 piedi?

astromauh 19-07-15 21:51

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

astromauh (Scrivi 757672)
Piedi: 2,916

:hello:

Non avrai mica copiato? :D

Spiega come ci sei arrivato.

:hello:

ANDREAtom 19-07-15 22:13

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Ma che copiato; non si vede nulla nel tuo post precedente, mentre in questo ultimo si intravede; allora sei tu che hai copiato....... :D

astromauh 19-07-15 22:20

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Non si vede niente perché è volutamente oscurato. E' scritto con lo stesso colore dello sfondo, per non togliere agli altri il piacere di risolvere il quiz, però evidenziando il testo spunta fuori.

Però siccome il mio post precede il tuo, spetta a te spiegare come ci sei arrivato, se ci tieni a fugare ogni dubbio. :D

:hello:

aleph 20-07-15 07:53

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Penso che il metodo di calcolo di Pi greco debba essere necessariamente empirico, ossia ricavato sperimentalmente con metodi tipo quello che diceva Aspesi in cui si misura quante volte un punto scelto a caso all'interno di un quadrato si trova o meno dentro al cerchio inscritto al quadrato.

Il motivo per cui dicevo dovrebbe essere comunque empirico il metodo di calcolo, immagino dipenda dal fatto che Pi greco non solo è irrazionale, ma perché è trascendente, ossia non ricavabile tramite una formula algebrica.

ANDREAtom 20-07-15 08:11

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

astromauh (Scrivi 757678)
Non si vede niente perché è volutamente oscurato. E' scritto con lo stesso colore dello sfondo, per non togliere agli altri il piacere di risolvere il quiz, però evidenziando il testo spunta fuori.

Però siccome il mio post precede il tuo, spetta a te spiegare come ci sei arrivato, se ci tieni a fugare ogni dubbio. :D

:hello:

Probabilmente con lo stesso metodo che hai usato tu...... :D comunque sopra ho sbagliato pensando fosse un numero irrazionale; invece è periodico. 2,91666666........

ANDREAtom 20-07-15 08:20

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
@ Aleph, ma se il metodo di calcolo è empirico, perchè perdono tempo (e soldi) collegando insieme cento computer per "calcolare" la millemiliardennesima cifra? :D

aspesi 20-07-15 08:22

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
@ Astromauh e ANDREAtom

:ok: OK per il risultato

Piacerebbe anche a me che spiegaste il vostro procedimento

:hello:

------------
Chiamando x e y le altezze dei pali, l'altezza incognita da calcolare è x*y/(x+y)

ANDREAtom 20-07-15 08:33

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Non so Astromauh; io ho usato il CAD del computer......... :D:D

Mizarino 20-07-15 08:40

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

ANDREAtom (Scrivi 757689)
@ Aleph, ma se il metodo di calcolo è empirico, perchè perdono tempo (e soldi) collegando insieme cento computer per "calcolare" la millemiliardennesima cifra? :D

Perché noi umani godiamo nel fare cose inutili, dallo scalare in prima invernale la parete Nord del Monte XY, al mandare sonde su Plutone, e ne siamo anche giustamente fieri!... ;)

ANDREAtom 20-07-15 08:53

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
@ Aspesi, prima che arrivi Astromauh cancella il procedimento perchè si vede...:D ed era anche molto semplice..... :spaf:

astromauh 20-07-15 09:20

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

aspesi (Scrivi 757690)
Piacerebbe anche a me che spiegaste il vostro procedimento

L'angolo formato dal palo di 7 piedi con la corda è uguale all'angolo formato dall'altezza dal suolo del punto di incontro con la stessa corda, e lo stesso avviene anche con l'angolo formato dal palo di 5 piedi con l'altra corda.

Abbiamo quindi due coppie di triangoli simili, ossia con gli stessi angoli, ma di dimensioni diverse.

Chiamando a e b la base dei triangoli rettangoli che hanno come cateto l'altezza h, possiamo stabilire le seguenti relazioni:

7 / (a + b) = h / b

5 / (a + b) = h / a

e quindi

h = 7 * b / (a + b) = 5 * a / (a + b)

7 * b = 5 * a

Per cui, per qualsiasi distanza tra i pali (a +b), la base b = (5/7) * a, e la base a = (7/5) * b.

Se per comodità diamo ad a il valore 7, b = 5.

h = 7 * 5 / 12 = 2,91666666...

:hello:

ANDREAtom 20-07-15 09:53

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Troppo lungo come procedimento; ho fatto prima io a "calcolarlo"...... :D

astromauh 20-07-15 10:17

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Io però non ho COPIATO il risultato dal CAD del computer! :mad: :D


:hello:

ANDREAtom 20-07-15 11:00

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
E che ne so? poi deciderà aspesi se anche il tuo ragionamento è giusto; a me sembra un po' ingarbugliato con la questione degli angoli...... :mmh: e poi il computer a che serve? tu non hai usato forse la calcolatrice? :D

astromauh 20-07-15 11:25

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Il mio ragionamento non è ingarbugliato, è solo la spiegazione di come si arriva a stabilire che l'altezza è uguale a

h = x * y / x + y.

Forse con un disegno si capirebbe meglio, ma preferisco evitare per non sovraccaricare il mio sito, con delle immagini che poi non ricordo più a cosa servano.

L'unica cosa che occorreva ricordare è la regola che dice che una retta che taglia delle rette parallele forma con esse degli angoli uguali. Per cui i triangoli che hanno per cateto un palo sono proporzionali ai triangolini che hanno per cateto l'altezza.

:hello:


PS
Comunque in un primo momento avevo pensato anch'io di ottenere il risultato disegnando i due pali, e misurando l'altezza, ma siccome non posseggo il CAD credo che il risultato sarebbe stato un po' impreciso. ;)

nino280 21-07-15 13:16

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Complimenti veri ad Astromauh, buona soluzione, ma penso che non sia tutto merito tuo, sei stato aiutato dagli astri.:D:D
Comunque se escludiamo i cervelloni, nessuno avrebbe detto che allontanando o avvicinando i pali l'altezza dell'incrocio sarebbe rimasta immutata.
Ciao

Erasmus 22-07-15 08:50

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

aleph (Scrivi 757687)
Il motivo per cui dicevo dovrebbe essere comunque empirico il metodo di calcolo, immagino dipenda dal fatto che Pi greco non solo è irrazionale, ma perché è trascendente, ossia non ricavabile tramite una formula algebrica.

a) Archimede, che poveraccio non solo non disponeva di alcuna calcolatrice, ma non disponeva nemmeno della rappresentazione numerica di cui disponiamo comodamente noi, ha usato un metodo teorico, tuttora validissimo: partire da un poligono regolare di cui è noto il perimetro in funzione del raggio (o dell'apotema) e calcolare quello del poligono con un numero doppio di lati. Archimede è partito dall'esagono e ha raddoppiato quattro volte arrivando a calcolare il perimetro del poligono regolare di 96 lati.
Non so come ha fatto a massimizzare e minimizzare l'errore passando dai due poligoni di 96 lati uno circoscritto e l'altro inscritto [allo stesso cerchio] alle due ben note frazioni
223/71 < π < 22/7

b) I metodi distinti con cui calcolare π sono ... innumerevoli.
E' la loro efficienza che li contraddistingue!
Quello impiegato da me (ormai più di 25 anni fa) era particolarmente efficiente.
Si parte da quadrato e si continua a raddoppiare, registrando i perimetri trovati. Quando si arriva d N cifre esatte (per difetto)di PI-greco, con una opportrunba combinazione lineare (da me trovata autonomamente) si estraggono circa N^2 cifre esatte (sempre per difetto).
Mi ero fermato a 5400 (un pò di più, ma non ricordo più il numero esatto) perché allora il mio Turbo_Pascal per il mio Macintosh non poteva trattare strutture più grandi.
Per avere N cifre esatte si deve operare acon almeno qualche cifra in più di N.
E mi son dovuto fare anche le routine delle operazioni (radice quadrata compresa) su numeri di oltre 5400 cifre decimali.
Ma in sé il metodo poteva fare molto di più.

c) Un banalissimo metodo è quello di calcolare e registrare la serie
arctan(1)= 1 -1/3 + 1/5 –1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
con un numero enorme di termini, e poi fare la medie successive, trovando serie con minor numero di termini ma convergenti sempre a π/4 con maggiore velocità.
Con i numeri standar floating point a 80 bit si trova facilmente il π con la migliore precisione possibile (con 64 cifre binarie esatte).

d) Un meccanismo banale che già è passato diverse volte su questo forum è quello di partire con un numero arbitrario compreso tra –2 e 2 esclusi, aggingere 2, fare la radice quadrata, aggiungere due e rifare la radice quadrata .... e continuare così per N volte. Un'ultima volata, invece di aggiungere due si sottrae il numero da 2, si fa la radice quadrata e si moltiplica per 2^(N+1).
–2 < a < 2
π ≈ [√(2 – √/2 + V(2 + √(2 + ... <N radici una dentro l'altra> √(2+a)))))]·(2^(N+1)]
Se non ricordo male, per avere k cifre buone occorre usare numeri ad almeno 2k cifre.
–––––
:hello:

Cocco Bill 22-07-15 09:15

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Scusa Erasmus ma usare la radice quadrata non va bene per calcolare pigreco, perchè è un numero reale anch'essa.

aleph 22-07-15 09:32

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Beh, gli irrazionali algebrici e quelli trascendenti sono comunque tutti numeri "reali", non capisco che vuoi dire...

In ogni caso anche i metodi algebrici di approssimazione a Pi sono delle serie tutto sommato empiriche...

Cocco Bill 22-07-15 09:36

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Voglio dire che non si può calcolare un numero irrazionale usando un altro numero irrazionale. Altrimenti gli antichi Greci avrebbero saputo calcolare la radice quadrata di 2.

ANDREAtom 22-07-15 10:19

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quindi non si conoscerà mai l'esatto valore di pi greco; se i vari metodi di calcolo sono "empirici", basta sbagliare di poco uno solo dei primi decimali e tutte le cifre che vengono dopo non hanno alcun senso, perchè non si sa se si è sbagliato per eccesso o per difetto....

Cocco Bill 22-07-15 10:43

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
L'esatto valore di pigreco lo si sa. E' Pigreco. :D Quello che non si può rappresentare è il valore di pigreco espresso con un numero intero seguito da un numero finito di decimali. O rappresentarlo con una frazione. Si può approssimare il valore di pigreco con una serie adeguata, con la prcisione che si vuole, utilizzando un numero più o meno grande di fattori. E' quello che fanno le calcolatrici ed i calcolatori.

Erasmus 25-07-15 07:30

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

Cocco Bill (Scrivi 757879)
Scusa Erasmus ma usare la radice quadrata non va bene per calcolare pigreco, perchè è un numero reale anch'essa.

:mmh:
:mmh: ??? :mmh:

NB Credevo di aver già inviato questa risposta due giorni fa ...
Ma siccome non la vedo, allora la riscrivo tale e quale!
[Qui, di mattina presto, si riesce a volte a collegarsi al forum. Ma ad un certo punto ... si resta per aria!
Stamattina mi pare che vada benino. Vedremo se riuscirò ad inviare.]
––––––––––

Quote:

Cocco Bill (Scrivi 757887)
Voglio dire che non si può calcolare un numero irrazionale usando un altro numero irrazionale. Altrimenti gli antichi Greci avrebbero saputo calcolare la radice quadrata di 2.

???
Gli antichi greci sapevano fare la radice quadrata.
La scoperta di numeri irrazionali (ossia: di grandezze omogenee incommensurabili) risale alla scuola pitagorica. E' riportata per filo e per segno da qualcuno [in epoca ellenistica, che però non ricordo più] la dimostrazione attribuita a Pitagora che √(2) è irrazionale.
Suppongo che, cercando, questa dimostrazione attribuita a Pitagora si trovi anche in rete.

Archimede ha usato proprio la radice quadrata (ovviamente approssimandola con una frazione opportuna) per calcolare il perimetro di un poligono con numero di lati doppio di un altro con perimetro noto.
Precisamente, Archimede non è partito dal quadrato ma dall'esagono. L'esagomo inscritto nel cerchio di raggio 1 ha semi-perimetro lungo 3.
Diciamo L6 il lato dell'esagono.
Abbiamo L6 = 1.
L'apotema dell'esagono regolare è allora √(3)/2.
La differenza tra raggio e apotema è [2–√(3)]/2. Chiamiamola d.
Il lato del poligono regolare inscritto nello stesso cerchio con numero doppio di lati (cioè 12) viene dunque
L12 = √[d^2 + (L6/2)^2].
fatti i conti, viene:
L12 = √[2–√(3)] ≈ 0,5176
E il semi-perimetro del poligono di 12 lati è 6·√[2 – √(3)] ≈ 3,1058.

Con lo stesso metodo Archimede ha raddoppiato altre 3 volte, trovando il semiperimetro dei poligoni regolari di 24, 48 e 96 lati.

Ripeto (ed insisto): Archimede sapeva fare le radici quadrate.
Probabilmente per tentativi, ossia provando frazioni (con quadratura e confronto col radicando) ed arrivando a due frazioni approssimanti una per difetto e l'altra per eccesso la radice quadrata.
Ma Archimede era un greco ... coloniale (della Magna Grecia!).
Era anche in contatto epistolare con Eratostene (di Alessandria). L'ellenismo nord-africano (e quindi anche siracusano) era influenzato dalla cultura fenicia [e Cartagine era appunto colonia fenicia], più interessata al calcolo numerico (per motivi commerciali) che alle raffinatezze geometriche e filosofiche dei Greci.
I Greci della madrepatria snobbavano i calcoli numerici affidandosi a quelli geometrici.
Sapendo usare riga e compasso, potevano fare le radici quadrate, ma non quelle cubiche!
Da qui viene il famoso problema [rimasto irrisolto nell'antichità greca] di trovare lo spigolo di un cubo di volume doppio di un altro dato.
-------------

Dedico infine ad ANDREAtom l'immagine che segue, che mostra come si trova π greco con tante radici quadrate di 2
Contare, prego, i "2" dentro i alle radici.
Sono 14.
Si tratta appunto del semiperimetro di un poligono regolare di 2^14 lati inscritto nel cerchio di raggio 1.
Dopo il primo "due" c'è un "meno" (e poi tutti "più").

Con il mio programma "Grapher" non posso andar oltre il livello 14 (perché ha solo 14 cifre esatte). Se mi spingo più avanti, l'errore da π greco aumenta invece di diminuire
––––––
Ciao ciao.


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 07:04.

Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2020, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it