Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Irrazionalità del pi greco. (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=56972)

Cocco Bill 22-07-15 09:36

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Voglio dire che non si può calcolare un numero irrazionale usando un altro numero irrazionale. Altrimenti gli antichi Greci avrebbero saputo calcolare la radice quadrata di 2.

ANDREAtom 22-07-15 10:19

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quindi non si conoscerà mai l'esatto valore di pi greco; se i vari metodi di calcolo sono "empirici", basta sbagliare di poco uno solo dei primi decimali e tutte le cifre che vengono dopo non hanno alcun senso, perchè non si sa se si è sbagliato per eccesso o per difetto....

Cocco Bill 22-07-15 10:43

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
L'esatto valore di pigreco lo si sa. E' Pigreco. :D Quello che non si può rappresentare è il valore di pigreco espresso con un numero intero seguito da un numero finito di decimali. O rappresentarlo con una frazione. Si può approssimare il valore di pigreco con una serie adeguata, con la prcisione che si vuole, utilizzando un numero più o meno grande di fattori. E' quello che fanno le calcolatrici ed i calcolatori.

Erasmus 25-07-15 07:30

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

Cocco Bill (Scrivi 757879)
Scusa Erasmus ma usare la radice quadrata non va bene per calcolare pigreco, perchè è un numero reale anch'essa.

:mmh:
:mmh: ??? :mmh:

NB Credevo di aver già inviato questa risposta due giorni fa ...
Ma siccome non la vedo, allora la riscrivo tale e quale!
[Qui, di mattina presto, si riesce a volte a collegarsi al forum. Ma ad un certo punto ... si resta per aria!
Stamattina mi pare che vada benino. Vedremo se riuscirò ad inviare.]
––––––––––

Quote:

Cocco Bill (Scrivi 757887)
Voglio dire che non si può calcolare un numero irrazionale usando un altro numero irrazionale. Altrimenti gli antichi Greci avrebbero saputo calcolare la radice quadrata di 2.

???
Gli antichi greci sapevano fare la radice quadrata.
La scoperta di numeri irrazionali (ossia: di grandezze omogenee incommensurabili) risale alla scuola pitagorica. E' riportata per filo e per segno da qualcuno [in epoca ellenistica, che però non ricordo più] la dimostrazione attribuita a Pitagora che √(2) è irrazionale.
Suppongo che, cercando, questa dimostrazione attribuita a Pitagora si trovi anche in rete.

Archimede ha usato proprio la radice quadrata (ovviamente approssimandola con una frazione opportuna) per calcolare il perimetro di un poligono con numero di lati doppio di un altro con perimetro noto.
Precisamente, Archimede non è partito dal quadrato ma dall'esagono. L'esagomo inscritto nel cerchio di raggio 1 ha semi-perimetro lungo 3.
Diciamo L6 il lato dell'esagono.
Abbiamo L6 = 1.
L'apotema dell'esagono regolare è allora √(3)/2.
La differenza tra raggio e apotema è [2–√(3)]/2. Chiamiamola d.
Il lato del poligono regolare inscritto nello stesso cerchio con numero doppio di lati (cioè 12) viene dunque
L12 = √[d^2 + (L6/2)^2].
fatti i conti, viene:
L12 = √[2–√(3)] ≈ 0,5176
E il semi-perimetro del poligono di 12 lati è 6·√[2 – √(3)] ≈ 3,1058.

Con lo stesso metodo Archimede ha raddoppiato altre 3 volte, trovando il semiperimetro dei poligoni regolari di 24, 48 e 96 lati.

Ripeto (ed insisto): Archimede sapeva fare le radici quadrate.
Probabilmente per tentativi, ossia provando frazioni (con quadratura e confronto col radicando) ed arrivando a due frazioni approssimanti una per difetto e l'altra per eccesso la radice quadrata.
Ma Archimede era un greco ... coloniale (della Magna Grecia!).
Era anche in contatto epistolare con Eratostene (di Alessandria). L'ellenismo nord-africano (e quindi anche siracusano) era influenzato dalla cultura fenicia [e Cartagine era appunto colonia fenicia], più interessata al calcolo numerico (per motivi commerciali) che alle raffinatezze geometriche e filosofiche dei Greci.
I Greci della madrepatria snobbavano i calcoli numerici affidandosi a quelli geometrici.
Sapendo usare riga e compasso, potevano fare le radici quadrate, ma non quelle cubiche!
Da qui viene il famoso problema [rimasto irrisolto nell'antichità greca] di trovare lo spigolo di un cubo di volume doppio di un altro dato.
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Dedico infine ad ANDREAtom l'immagine che segue, che mostra come si trova π greco con tante radici quadrate di 2
Contare, prego, i "2" dentro i alle radici.
Sono 14.
Si tratta appunto del semiperimetro di un poligono regolare di 2^14 lati inscritto nel cerchio di raggio 1.
Dopo il primo "due" c'è un "meno" (e poi tutti "più").

Con il mio programma "Grapher" non posso andar oltre il livello 14 (perché ha solo 14 cifre esatte). Se mi spingo più avanti, l'errore da π greco aumenta invece di diminuire
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Ciao ciao.


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