Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Irrazionalità del pi greco. (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=56972)

ANDREAtom 20-07-15 08:53

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
@ Aspesi, prima che arrivi Astromauh cancella il procedimento perchè si vede...:D ed era anche molto semplice..... :spaf:

astromauh 20-07-15 09:20

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

aspesi (Scrivi 757690)
Piacerebbe anche a me che spiegaste il vostro procedimento

L'angolo formato dal palo di 7 piedi con la corda è uguale all'angolo formato dall'altezza dal suolo del punto di incontro con la stessa corda, e lo stesso avviene anche con l'angolo formato dal palo di 5 piedi con l'altra corda.

Abbiamo quindi due coppie di triangoli simili, ossia con gli stessi angoli, ma di dimensioni diverse.

Chiamando a e b la base dei triangoli rettangoli che hanno come cateto l'altezza h, possiamo stabilire le seguenti relazioni:

7 / (a + b) = h / b

5 / (a + b) = h / a

e quindi

h = 7 * b / (a + b) = 5 * a / (a + b)

7 * b = 5 * a

Per cui, per qualsiasi distanza tra i pali (a +b), la base b = (5/7) * a, e la base a = (7/5) * b.

Se per comodità diamo ad a il valore 7, b = 5.

h = 7 * 5 / 12 = 2,91666666...

:hello:

ANDREAtom 20-07-15 09:53

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Troppo lungo come procedimento; ho fatto prima io a "calcolarlo"...... :D

astromauh 20-07-15 10:17

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Io però non ho COPIATO il risultato dal CAD del computer! :mad: :D


:hello:

ANDREAtom 20-07-15 11:00

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
E che ne so? poi deciderà aspesi se anche il tuo ragionamento è giusto; a me sembra un po' ingarbugliato con la questione degli angoli...... :mmh: e poi il computer a che serve? tu non hai usato forse la calcolatrice? :D

astromauh 20-07-15 11:25

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Il mio ragionamento non è ingarbugliato, è solo la spiegazione di come si arriva a stabilire che l'altezza è uguale a

h = x * y / x + y.

Forse con un disegno si capirebbe meglio, ma preferisco evitare per non sovraccaricare il mio sito, con delle immagini che poi non ricordo più a cosa servano.

L'unica cosa che occorreva ricordare è la regola che dice che una retta che taglia delle rette parallele forma con esse degli angoli uguali. Per cui i triangoli che hanno per cateto un palo sono proporzionali ai triangolini che hanno per cateto l'altezza.

:hello:


PS
Comunque in un primo momento avevo pensato anch'io di ottenere il risultato disegnando i due pali, e misurando l'altezza, ma siccome non posseggo il CAD credo che il risultato sarebbe stato un po' impreciso. ;)

nino280 21-07-15 13:16

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Complimenti veri ad Astromauh, buona soluzione, ma penso che non sia tutto merito tuo, sei stato aiutato dagli astri.:D:D
Comunque se escludiamo i cervelloni, nessuno avrebbe detto che allontanando o avvicinando i pali l'altezza dell'incrocio sarebbe rimasta immutata.
Ciao

Erasmus 22-07-15 08:50

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Quote:

aleph (Scrivi 757687)
Il motivo per cui dicevo dovrebbe essere comunque empirico il metodo di calcolo, immagino dipenda dal fatto che Pi greco non solo è irrazionale, ma perché è trascendente, ossia non ricavabile tramite una formula algebrica.

a) Archimede, che poveraccio non solo non disponeva di alcuna calcolatrice, ma non disponeva nemmeno della rappresentazione numerica di cui disponiamo comodamente noi, ha usato un metodo teorico, tuttora validissimo: partire da un poligono regolare di cui è noto il perimetro in funzione del raggio (o dell'apotema) e calcolare quello del poligono con un numero doppio di lati. Archimede è partito dall'esagono e ha raddoppiato quattro volte arrivando a calcolare il perimetro del poligono regolare di 96 lati.
Non so come ha fatto a massimizzare e minimizzare l'errore passando dai due poligoni di 96 lati uno circoscritto e l'altro inscritto [allo stesso cerchio] alle due ben note frazioni
223/71 < π < 22/7

b) I metodi distinti con cui calcolare π sono ... innumerevoli.
E' la loro efficienza che li contraddistingue!
Quello impiegato da me (ormai più di 25 anni fa) era particolarmente efficiente.
Si parte da quadrato e si continua a raddoppiare, registrando i perimetri trovati. Quando si arriva d N cifre esatte (per difetto)di PI-greco, con una opportrunba combinazione lineare (da me trovata autonomamente) si estraggono circa N^2 cifre esatte (sempre per difetto).
Mi ero fermato a 5400 (un pò di più, ma non ricordo più il numero esatto) perché allora il mio Turbo_Pascal per il mio Macintosh non poteva trattare strutture più grandi.
Per avere N cifre esatte si deve operare acon almeno qualche cifra in più di N.
E mi son dovuto fare anche le routine delle operazioni (radice quadrata compresa) su numeri di oltre 5400 cifre decimali.
Ma in sé il metodo poteva fare molto di più.

c) Un banalissimo metodo è quello di calcolare e registrare la serie
arctan(1)= 1 -1/3 + 1/5 –1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
con un numero enorme di termini, e poi fare la medie successive, trovando serie con minor numero di termini ma convergenti sempre a π/4 con maggiore velocità.
Con i numeri standar floating point a 80 bit si trova facilmente il π con la migliore precisione possibile (con 64 cifre binarie esatte).

d) Un meccanismo banale che già è passato diverse volte su questo forum è quello di partire con un numero arbitrario compreso tra –2 e 2 esclusi, aggingere 2, fare la radice quadrata, aggiungere due e rifare la radice quadrata .... e continuare così per N volte. Un'ultima volata, invece di aggiungere due si sottrae il numero da 2, si fa la radice quadrata e si moltiplica per 2^(N+1).
–2 < a < 2
π ≈ [√(2 – √/2 + V(2 + √(2 + ... <N radici una dentro l'altra> √(2+a)))))]·(2^(N+1)]
Se non ricordo male, per avere k cifre buone occorre usare numeri ad almeno 2k cifre.
–––––
:hello:

Cocco Bill 22-07-15 09:15

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Scusa Erasmus ma usare la radice quadrata non va bene per calcolare pigreco, perchè è un numero reale anch'essa.

aleph 22-07-15 09:32

Re: Irrazionalità del pi greco.
 
Beh, gli irrazionali algebrici e quelli trascendenti sono comunque tutti numeri "reali", non capisco che vuoi dire...

In ogni caso anche i metodi algebrici di approssimazione a Pi sono delle serie tutto sommato empiriche...


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 06:16.

Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2020, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it