Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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Erasmus 03-12-12 15:15

Re: Estrazioni casuali
 
L'equazione diofantina (**) nelle incognite (m, n) si semplifica parecchio, restando appena di 2° grado.
2[m(m – 1) + n(n – 1)] – (m + m)·(m + n – 1) = 0.
Ho trovato ... una extra soluzione (fuori dei margini 20 ≤ m ≤ n ≤30) che è
(m, n) = (13, 21)
Ti va bene (m, n) = (21, 28) ?
:fis:

---------
:rolleyes:

aspesi 03-12-12 15:25

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 637502)
Ho trovato ... una extra soluzione (fuori dei margini 20 ≤ m ≤ n ≤30) che è
(m, n) = (13, 21)
Ti va bene (m, n) = (21, 28) ?
:fis:

---------
:rolleyes:

Mi fai venire il dubbio.... di aver sbagliato io, semplificando troppo...
Ma a me questa tua soluzione (13, 21)* non pare corretta. Mi viene una probabilità = 0,51336898...:mmh:

:hello:

Scusa, ho visto solo ora quello che avevi nascosto. Certo che mi va bene!
E' anche la soluzione che ho trovato io, poi dirò come, prima spiegalo tu....

--------------
* Certamente intendevi 15, 21, che va bene anche a me....

Erasmus 03-12-12 20:32

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 637506)
... a me questa tua soluzione (13, 21) non pare corretta. Mi viene una probabilità = 0,51336898...:mmh:

Hai ragione.
Trattasi evidentemente di un "errore di sbaglio" ;)
Corretto è (m, n) = (15, 21).
[Dopo vado ad editare per correggere]
-------------
Ho scritto che l'equazione diofantina generale si semplifica in
2[m(m –1) + n(n – 1)] – (m + n)(m + n – 1) = 0.
Ma, sviluppando i prodotti, si può semplificare ancora arrivando a
(m – n)^2 = (m + n) (***)
Si può allora esprimere una variabile in funzione dell'altra.
Per esempio (evitando doppioni con l'imporre m < n):
m^2 + n^2 – 2mn = (m + n) ––> m^2 – m·(2n+ 1) + n^2 – n = 0 ––> m = [2n+1 – √(8n + 1)]/2.

Per avere m ed n entrambi interi occorre che 8n + 1 (che è dispari) sia quadrato di un intero [dispari], diciamolo 2p + 1:
8n + 1 = (2p +1)^2 = 4p^2 + 4p + 1 ––> 8n = 4p·(p + 1) ––> n = p(p+1)/2.
Con tale valore di n allora viene
m = [2n+1 – √(8n + 1)]/2 = [p(p + 1) – (2p + 1)]/2 = (p–1)·p/2.

Se vogliamo che almeno uno di dati due elementi possa stare nell'insieme di cardinalità minore, questa deve essere maggiore di 0, ossia m minimo è 1 e quindi il p minimo è 2.

Posto allora p = k + 2, in conclusione abbiamo:
Per ogni k naturale: m = (k + 1)(k + 2)/2 e n = (k + 2)·(k + 3)/2.

La soluzione generale prescindendo dai margini (min, max) = (20, 30), è dunque addirittura banale!
Si tratta infatti, tanto per m quanto per n, della stessa sequenza di interi del tipo p(p +1)/2 (per p intero creascente):
..., 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, ...
ossia, ricorrentemente:
a(0) = 0; per ogni k naturale a(k + 1) = a(k) + k + 1.
Ne tabulo un po'. :)
Codice:

  k      m        n   
  0        1        3
  1        3        6
  2        6      10
  3      10      15
  4      15      21
  5      21      28
  6    28      36
  7    36      45
  8    45      55
  9    55      66
10    66      78
11    78      91
12    91    105
13    105    120
...

[Ho evidenziato in blu e grassetto la soluzione del quiz]
--------
:hello:

aspesi 03-12-12 21:31

Re: Estrazioni casuali
 
Questo è il mio procedimento (praticamente lo stesso di Erasmus, ma esposto in modo più semplice...:D)

Indico, come ha fatto Erasmus, con m e con n il numero di allievi delle due sezioni (n>m).
La relazione che indica la probabilità per i due amici di essere estratti nella medesima sezione è:
[n*(n-1) + m*(m-1)]/[(n+m)*(n+m-1)] = 1/2

D'altronde, anche la probabilità di essere assegnati alle due diverse sezioni è ancora 1/2:
(n*m + m*n)/[(n+m)*(n+m-1)] = 1/2

Si deduce quindi che:
n*(n-1) + m*(m-1) = 2nm

e risolvendo:
n^2 - n + m^2 - m = 2nm
n^2 + m^2 - 2nm = n + m
(n - m)^2 = (n+m)

e anche:
(n - m) = RADQ(n + m) ................. *

Dalla * si vede che la somma degli allievi deve essere un quadrato.
E siccome il range ammesso è 40 - 60 , l'unico quadrato di un intero presente è 49.
Pertanto:
n + m = 49
n - m = 7
le cui soluzioni sono:
n = 28
m = 21


:hello:

Erasmus 03-12-12 22:48

uesti
 
Quote:

aspesi (Scrivi 637492)
Fai ragionamenti complicati (e un po' tortuosi) ...

:mad:
'Sta volta non è affatto vero.
Al massimo ti concedo che mi sono dilungato un po'. Ma l'ho fatto proprio per essere ... "didascalico" al massimo, in modo da dar tempo di seguire il ragionamento anche a chi non fosse veloce come l'Illustrissimo.

[Eh, eh, aspesi: è dura arrancare trascinando venticinque\trenta chili in più di Lui, specie ad una età non proprio all'apice della parabola vitale!]

Ma di "tortuoso" (= a tornanti!) e/o "complicato" (= difficile da districare perché pieno di "pieghe", come un percorso "a zig-zag" ... peggio di "tortuoso") non ci sta nulla.
Anzi: ho fatto un ragionamento di una linearità ... perfetta! :rolleyes:

[Ma non sei stato tu a farmi coraggio quando ... ero depresso e rassegnato a venire a Canossa in cinere et cilicio?
E adesso ... tu mi butti giù come fossi una bombola! ]

Ti ripeto in sintesi il percorso risolutivo del quiz.

Ho n + m elementi (con m ≤ n) smistati in due insiemi di rispettive cardinalità m ed n.
1. Conto in quanti modi posso fabbricarli.
I modi sono evidentemente
C(m + n, m) = C(m + n, n) = [(n + m)!]/[(m!)·(n!)]. (I)
Tengo d'occhio due precisi elementi.
Questi possono stare entrambi in un solo insieme oppure uno in uno e l'altro nell'altro.
2. Conto i casi in cui i due elementi stanno entrambi nell'insieme di cardinalità m.
Questi sono evidentemente
C(m + n – 2, m – 2). (II)
3. Conto i casi in cui i due elementi stanno entrambi nell'insieme di cardinalità n.
Questi sono evidentemente
C(m + n – 2, n – 2). (III)
4. I casi in cui i due elementi stanno nello stesso insieme sono dunque:
C(m + n – 2, m – 2) + C(m + n, n – 2) (IV)
5. Impongo che questo numero sia metà di tutti i casi, ossia (equivalentemente) che il suo doppio sia uguale al numero totale di casi.
2[C(m + n – 2, m – 2) + C(m + n, n – 2)] = C(m + n, m). (V)
6) Ricordando che C(h, k) (con h ≥ k) vale h!/[(k!)·(h – k)!], semplifico al massimo questa equazione che mi diventa
(n – m)^2 = (m + n) = 0. (VI)
7) Risolvendo l'equazione rispetto ad una delle due incognite m ed n ed imponendo che queste siano entrambe intere, si scopre che essa è risolta (come si può verificare direttamente), per ogni k naturale, da
m = [(k+1)(k+2)]/2 ∧ n = [(k + 2)(k + 3]/2. (VII)


NB. Le (VII) sono da considerare le equazioni parametriche della forma quadratica (VI).
Infatti, tramite le (VII) la (VI) diventa una identità. Controllare, please:
(n – m)^2 ––> {(k+2)[(k + 3) – (k + 1)]/2}^2 = [(k + 2)(3 – 1))/2]^2 = = (k + 2)^2;
n + m = (k+2)·[(k + 1) + (k + 3)]/2 = (k + 2)·(2k + 4)/2 = (k + 2)^2;
(n – m)^2 – (m + n) ––> (k+2)^2 – (k + 2)^2 = 0.

Se mi trovi ancora complicato e tortuoso ... la colpa è tua! E probabilmente perché sai cotivare bene (molto bene, ottimamente direi!) il solo tuo orticello! :D

[Cos'hai capito? Intendo quel campetto che tieni là in collina, che ti ostini a vangare anche con l'ernia al disco, nel quale ... «Vietato entrare a chi usa La trigonometria e chi ragiona diversamente da Nino!»]

[Son sicuro di non averti fatto inc ... avolare!]

Ciao ciao.
[Ma dove sono finiti Rob77 e Astromauh?]
---------
:hello:

aspesi 03-12-12 23:22

Re: uesti
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 637599)

Se mi trovi ancora complicato e tortuoso ... la colpa è tua! E probabilmente perché sai coltivare bene (molto bene, ottimamente direi!) il solo tuo orticello! :D

[Cos'hai capito? Intendo quel campetto che tieni là in collina, che ti ostini a vangare anche con l'ernia al disco, nel quale ... «Vietato entrare a chi usa La trigonometria e chi ragiona diversamente da Nino!»]

Non avevo detto che non avevo capito; ma che il mio procedimento mi pare più "diretto" alla soluzione del quiz... :)
E di "campetti", ne ho due... uno in pianura e l'altro in mezza montagna... tutti e due ora gelati, e uno coperto da neve fresca...
L'unico movimento, in questi giorni, è la cyclette...:D

Quote:

Erasmus (Scrivi 637599)
[Son sicuro di non averti fatto inc ... avolare!]

Ciao ciao.
[Ma dove sono finiti Rob77 e Astromauh?]
---------

Assolutamente, no.
Con te c'è sempre qualcosa da imparare...

Aspetto anch'io il ritorno di Rob77 e Astromauh, e magari di qualcun altro nuovo e fresco.

:hello:

Erasmus 03-12-12 23:28

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 637581)
[...]La relazione che indica la probabilità per i due amici di essere estratti nella medesima sezione è:
[n*(n-1) + m*(m-1)]/[(n+m)*(n+m-1)] = 1/2

E questo lo chiamii "modo più semplice"? :eek:
Da dove lo ricavi? Te l'ha rivelato la Madonna o è stato Ciro Diascepolo?
Lo so: tu sei quello ... prestigiatore, che sa estrarre il coniglio dal cappello!
Io, invece, onesto travet, sono arrivato a questa stessa espressione percorrendo davvero un percorso "logico" (contando tutti i T casi equiprobabili, contanto tra essi gli F casi "favorevoli", rapportando F a T ed imponendo che F/T valga la richiesta probabilità 1/2).
Quote:

aspesi (Scrivi 637581)
D'altronde, anche la probabilità di essere assegnati alle due diverse sezioni è ancora 1/2:
(n*m + m*n)/[(n+m)*(n+m-1)] = 1/2

Idem: uguaglianza "gratuita". Per giunta ... inutile (equivalente alla precedente, che non dice nulla di nuovo venendo dopo quella [che basta da sola, è cioè "sufficiente"] :mad:)
Quote:

aspesi (Scrivi 637581)
Si deduce quindi che:
n*(n-1) + m*(m-1) = 2nm

Da cosa si deduce? Dal sistema delle due uguaglianze?
Guarda che quest'ultima equivale pari pari alla sola prima (da cui si ricava semplificando quel che si può).
Quote:

aspesi (Scrivi 637581)
(n - m) = RADQ(n + m) ................. *

Dalla * si vede che la somma degli allievi deve essere un quadrato.

Ah così? Perché non si vedeva già prima quando la somma (m + n) era espressamente uguagliata ad un quadrato ?
Non avevi già scritto (n - m)^2 = (n+m) ???
Quote:

aspesi (Scrivi 637581)
E siccome il range ammesso è 40 - 60 , l'unico quadrato di un intero presente è 49.
Pertanto:
n + m = 49
n - m = 7
le cui soluzioni sono:
n = 28
m = 21

[Alla faccia della semplicità!]
Con questo tuo (s)ragionamento – il tuo "processo logico" è in realtà dapprima tautologico e poi sbagliato come sto per mostrarti! – se il range per m ed n fosse stato 23÷33 (invece di 20÷30) e quindi per la somma (m+n) fosse stato 46÷66 (invece di 40÷60), anziché concludere che non ci sono soluzioni in quel range avresti detto imperterrito:
«[color= navy]E siccome il range ammesso è 46 - 66, ci sono due quadrati di un intero presenti: 49 e 64.
Pertanto:
n + m = 49
n - m = 7
oppure
n + m = 64
n - m = 8
le cui soluzioni sono (rispettivamente):
n = 28=
m = 21

e
n = 36
m = 28

[/color]»
[Palesemente entrambe con uno dei due numeri fuori range!
Di "sbagliato c'è il fatto che "deduci" da qualcosa (la somma) che non è sufficiente a garantirti di restare nel range perché la stessa somma la puoi avere da coppie diverse di numeri (aumentando uno e diminuendo l'altro)]

-----------
:hello:

aspesi 04-12-12 08:50

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi
La relazione che indica la probabilità per i due amici di essere estratti nella medesima sezione è:
[n*(n-1) + m*(m-1)]/[(n+m)*(n+m-1)] = 1/2

Quote:

Erasmus (Scrivi 637610)
E questo lo chiamii "modo più semplice"? :eek:Da dove lo ricavi?

:eek: Lo dico io!
La formula è quella classica della probabilità senza reimbussolamento!
Es. con 4 palline rosse e 6 nere, la probabilità di estrazione di due rosse oppure di due nere con due sorteggi è:
p = (4*3 + 6*5)/[(4+6)*(4+6-1)]

Quote:

aspesi
(n*m + m*n)/[(n+m)*(n+m-1)] = 1/2
Quote:

Erasmus (Scrivi 637610)
: uguaglianza "gratuita". Per giunta ... inutile (equivalente alla precedente, che non dice nulla di nuovo venendo dopo quella [che basta da sola, è cioè "sufficiente"] )

E' molto più semplice con la probabilità opposta (1-p)

Quote:

Erasmus (Scrivi 637610)
se il range per m ed n fosse stato 23÷33 (invece di 20÷30) e quindi per la somma (m+n) fosse stato 46÷66 (invece di 40÷60),...
-----------
:hello:

Se il range fosse stato 23 - 33 (somma 46 - 66), avrei detto che le due soluzioni (28, 21) e (36, 28), avendo un numero fuori range, sono impossibili.

:hello:

Erasmus 04-12-12 09:59

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 637638)
Lo dico io!
La formula è quella classica della probabilità senza reimbussolamento!

:eek:
Sicché questo bel quiz (che io ho molto apprezzato) sarebbe rivolto a chi conosce già 'sta "formula dell'imbussolamento" (da me mai vista prima d'ora).
E se uno che 'sta formula ancora non conosce se la ricava da sé ... per te è uno che fa ragionamenti "complicati" e "tortuosi"!
Il tuo problema resta! «Da dove [ti] è venuta 'sta formula? Perché deve essere così?».
Ammetterai che non è affatto evidente!
Se in passato l'hai letta da qualche parte ed accettata acriticamente, mi resta il diritto di dire che è "gratuita" (per te, ovviamente: io me la son ricavata :p).
===================
Aspesi: come vedi continuo a provocarti con una certa ... "cattiveria"!
Sono ... ammirato dalla costante gentilezza con cui continui a rispondermi!
Chapeau!
Ma non mi rassegno al fatto che insisti nel vedere "tortuose" le mie argomentazioni :mad:
---------
:hello:

aspesi 04-12-12 10:23

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 637670)
:eek:
Sicché questo bel quiz (che io ho molto apprezzato) sarebbe rivolto a chi conosce già 'sta "formula dell'imbussolamento" (da me mai vista prima d'ora).
E se uno che 'sta formula ancora non conosce se la ricava da sé ... per te è uno che fa ragionamenti "complicati" e "tortuosi"!
Il tuo problema resta! «Da dove [ti] è venuta 'sta formula? Perché deve essere così?».
Ammetterai che non è affatto evidente!

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Maledizione!!!:cool: (Adesso, perdo la pazienza....:p)
La formula deriva semplicemente da quella che tutti intendono per probabilità (n. casi favorevoli/n. casi totali).

:hello:


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 20:50.

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