Re: Estrazioni casuali
 

Proverò con parole mie a convincere quella "capatosta" ... :D
Scusa, ma non ho letto i tuoi argomenti e quindi la mia risposta sarà comunque "linearmente indipendente" (linguaggio dell'algebra) dalle tue ...

Mettiamo che il numero massimo di palline sia 3.
Mettiamo che l'amico abbia sbirciato un 2.
Il ragionamento "ovvio ma sbagliato" fa dire che la probabilità di azzeccarci puntando sul 2 è di 1/2, e sul 3 di 1/2.

Ragioniamo invece così:
Se le palline fossero 2, l'amico avrebbe probabilità 1/2 di sbirciare il 2.
Se le palline fossero 3, l'amico avrebbe probabilità 1/3 di sbirciare il 2.
Questo significa che la probabilità che le palline siano 2 è maggiore di quella che le palline siano 3, ed in particolare le due probabilità stanno fra loro nel rapporto 1/2 : 1/3, ovvero 3:2. Ovvero, la probabilità di azzeccarci puntando sul 2 è 0.6, mentre quella di azzeccarci puntando sul 3 è 0.4.

Che il risultato sia corretto è assolutamente certo, perché la simulazione su 10 milioni di "estrazioni" me lo riproduce perfettamente.
Può darsi che esista un ragionamento più valido e/o convincente del mio per giustificare il risultato, ma per il momento questo passa il convento ... ;)

Re: Estrazioni casuali
 

E esattamente una delle mie prime spiegazioni... #583

Ancora più semplice:
Supponiamo che il numero massimo di palline sia tre, e che l'amico abbia sbirciato una delle palline.
A questo punto le probabilita` sono le seguenti: le indico nella forma m(n) intendendo che ci sono n palline nell'urna e lui ha sbirciato la pallina m.

1(1) = 1/3
1(2) = 1/6
2(2) = 1/6
1(3) = 1/9
2(3) = 1/9
3(3) = 1/9

Posto che la pallina vista e` la 2, solo il terzo e il quinto caso sono possibili: rinormalizzando abbiamo

2(2) = 3/5
2(3) = 2/5

quindi conviene dire che ci sono due palline nell'urna.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Alla ricerca dell'apparente paradosso, aggiungerò qualcos'altro:

1) Se le palline sono al massimo 3, e l'amico sbircia un 1, la probabilità di azzeccarci dicendo che c'è una sola pallina nell'urna è 6/11 ... ;)

2) Se le palline sono al massimo 1000, e l'amico ancora sbircia un 1, la probabilità di azzeccarci dicendo che nell'urna c'è una sola pallina è ben del 13.3% ... :eek:
:D

Re: Estrazioni casuali
 

L'avevo calcolato anch'io.
Per quel che riguarda n al massimo 3 e m=1:
p = 1/3/(1/3+1/6+1/9) = 6/11

E' questo (l'aumento di probabilità quando si sbircia il numero 1) che ha sconvolto Erasmus :D; non lo riesce a digerire e lo giudica demenziale.

Re: Estrazioni casuali
 

L'avevo giudicato demenziale anch'io, quando ho guardato i risultati della simulazione, e avevo pensato ad un bug nel programma, ma poi ho capito ...
Dovrebbe piacere ad Erasmus, perché la probabilità si può calcolare attraverso la serie armonica!
P = 1/(1+1/2+1/3+...+1/N) ...
:D

Bello, non c'è che dire!... :ok:

Re: Estrazioni casuali
 

:mad:
Non mi dici nulla di nuovo. Guarda qua che dicevo ad aspesi:
E come ho fatto a calcolare in fretta la somma dei reciproci di molti interi in fila senza programmare?
Ho sfruttato il fatto che la somma H(n) = 1 + 1/2 + ...+ 1/n vale:
H(n) = ln(n) + "gamma" + 1/(2n) – <somma per k da 1 a oo di [(–1)^k]·Ak/[n^(2k)]>
dove "gamma"= 0,57721566490153286060... (arci-nota costante di Eulero-Masheroni)
e i coefficienti Ak (tutti razionali)... me li sono trovati io (molti anni fa); e ne bastano veramente pochi per avere accuratezze elevate (essendo la serie a segni alterni).
Ecco i primi 6:
A1= 1/12; A2 = 1/120; A3 = 1/252; A4 = 1/240; A5= 1/132; A6 = 691/32760; ...
[Miza: copiati questa approssimazione accurata di H(n). Un domani potrebbe venirti utile :D].
Quanto poi a quel ... "demenziale" 13,3% (che poi ... è meno accurato di 13.4%), guarda qua: ----------------------
@ Miza e aspesi
Ho rifiutato la spiegazione di aspesi (che è quella di Silvio Sergio:eek:) perché (e ho insistito molto su questo perché) nel testo del quiz non ci vedevo alcun indizio che l'aver visto il numero v di una delle palline (numerate) potesse dare la distribuzione di probabilità di v al variare di n.
Mi sono "slambiccato" [per capire] un'altra volta (subito prima di tornare qui e così vederei il primo intervento di Miza).

Devo fare pubblica anmenda :lipssealed:

Effettivamente l'indizio c'è.
Nel quiz si dice infatti che le n palline sono rimescolate per bene.
[Però ... non si dice se lo spione ha sbirciato prima o dopo la rimescolata].
Quindi ... occorreva aggiungere l'informazione che il numero visto v era un esito di una variabile casuale a distribuzione di probabilità unifornme tra 1 ed n.

Miza: come hai fatto a cogliere al volo (leggendo soltanto il testo del quiz, hai detto) che il numero visto v era l'uscita di una variabile casuale non già con distribuzione uniforme (per cui non avrebbe aggiunto nulla al sapere che gli n possibili sono quelli tra v+1 e 1000) e partire subito con l'ipotesi che distribuzione di probabilità di v fosse inversamente proporzionale ad n?
[Ma che domande sto a fargli? Ah: dimenticavo che l'Illustrissimo ... è un (po') alieno!]
----------
Ciao ciao

Re: Estrazioni casuali
 

EhEh, sono molto "terrestre", e per nulla "alieno", infatti:
Stadio 1) Io ho colto al volo un'altra cosa, ovvero che la soluzione non poteva essere quella apparentemente ovvia, perché altrimenti non vi sarebbe stata ragione di porre il problema ... ;)
Stadio 2) Ho scritto un programma di simulazione e ho tirato fuori "sperimentalmente" i risultati. In particolare, come variava la probabilità che il numero di palline immesse nell'urna coincidesse con il numero "sbirciato" al variare di quest'ultimo e del numero massimo ammesso.
Stadio 3) Ho fatto il mio mestiere: ottenuti dei risultati, cercare di capirne il perché.
In questo è anche vincente l'approccio "riduzionista": ridurre il problema ai minimi termini, ovvero a tre palline ... :D

Ti potrai chiedere quale sia il motivo di usare l'approccio induttivo piuttosto che quello deduttivo connaturato alla matematica.
Il vantaggio è psicologico-cognitivo: se sei certo dei risultati, il loro "perché" lo trovi molto più facilmente che se devi "pensarlo" a priori onde derivarne i risultati ... ;)

Re: Estrazioni casuali
 

Questo mi ha fatto perdere ore con carta e penna (ho trovato la soluzione più o meno a tentativi, anche se ho rintracciato poi le sequenze che ritengo giuste per n squadre)

Campionato di calcio

Ci sono 8 squadre.
Alla prima giornata le otto squadre si incontrano in quattro partite, e analogamente alla seconda giornata. Ovviamente, alla seconda giornata non accade che due squadre,
che hanno gia' giocato contro alla prima, si reincontrino.

Si supponga che le squadre abbiano tutte la stessa forza di giuoco.
Nelle 8 partite (delle prime due giornate di campionato) non si verifica nessun pareggio.

Con quale probabilita' alla fine della seconda giornata la classifica ha tutte le squadre a pari merito (con 1 vittoria e 1 sconfitta)?

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Sai che questi tipi di quiz non sono il mio forte ...
Strano, però, che non sia ancora intervenuto nessuno.
Io ero intervenuto ... ma poi avevo sospeso prima di inviare definitivamente ... e poi qualcuno (mio figlio? :mmh:) ha chiuso la finestra e ho perso la risposta.
No: non era la soluzione, ma solo una ... traccia sul come iniziare.
Provo a ripetere.

Numero a caso le squadre da 1 a 8:
S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8.

Nella prima giornata faccio questi accoppiamenti (messi in colonna).
S1 S2 S3 S4
S8 S7 S6 S5
Vedi che ho messo le squadre in ordine ciclico, ma quel che conta sono le coppie incolonnate.
[Una squadra "dispari" gioca con una squadra "pari"].
Nella seconda giornata ... faccio scorrere di un passo il ciclo, ottenendo (per esempio)
S8 S1 S2 S3
S7 S6 S5 S4
Ancora una squadra "dispari" gioca con una "pari": ma nessuna gioca con la squadra della precedente giornata.
Ogni permutazione della disposizione S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 è equivalente a questa. Per cui mi basta lavorare su questa per trovare quello che chiedi.
Qui occorre provare tutti i possibili risultati delle 8 partite (che, se considero anche i pareggi, sono 3^8, se invece li escludo sono 2^8).
Se si escludono i pareggi, è come avere i 256 numeri binari di 8 cifre.
Le cifre corrispondono alle partite, cioè alle coppie di squadre.
Allora ad ogni numero, esaminando le cifre, posso aggiungere +1 alla squadra "pari" e -1 alla squadra "dispari" se la cifra è 1 e viceversa se la cifra è 0.
Alla fine conto il numero d casi in cui ogni squadra è a 0 punti e lo rapporto al numero totale di casi (nei quali una squadra ha punteggio variabiile da –2 a +2).

Mi dirai: «Non hai mica risolto il quiz, ma solo abbozzato la via per risolverlo con la "forza bruta"».
[E magari ... la via è anche sbagliata].

E' vero. Ma ... sono scusabile: sono vecchio, lentissimo, mi perdo in un bicchier d'acqua se si tratta di acqua nuova ... Dovrei dedicarmi chissà quanto tempo per cercare se esiste una formula risolutiva ... e chissà se arriverei mai a concludere.

Aspettiamo qualcun altro ... per esempio degli sbarcati qui nel thread "Importante" :D
[No: quelli sono ... i verii "alieni" rispetto ai nostri argomenti!]

Ciao ciao
:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Questa non l'ho capita :eek:

Eh, eh.... quelli, degnano i loro sguardi solo se trovano scritto "Importante"
Magari, possiamo aspettare gli amici di facebook di Nino280 :rolleyes:

Ciao
(Se non interviene nessun altro, fra un paio di giorni provo a dire come ho affrontato io il quiz, un po' a tentativi e cercando su internet nell'enciclopedia delle sequenze)