Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

Erasmus 18-09-12 20:51

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 621413)
Infatti, le simulazioni confermano le mie valutazioni ed i risultati che avevo riportato (in precedenza avevo sbagliato il programmino, non ho nessuna esperienza di programmazione...)

Non mi meraviglia che la tua simulazione confermi le tua idea!
Tu simuli anche quello stesso errore che fai nel calcolo diretto! :D
--------------
Veniamo al pratico.
I tuoi numeri – diciamoli p(n) – sono inversamente proporzionali ad n.
n·p(n) = K (costante) per ogni n.
Tutto qui!

Per esempio, (prendendo due dei tuoi numeri):
p(930) = 0,0102110 ––> 930 0,0102110 = 9,496230
p(940) = 0,0101024 ––> 940·0,0101024= 9,496256

Siccome i tuoi numeri non sono espressi esattamente, i due numeri di sopra non sono esattamente uguali.
[Ma si assomigliano molto!]

La vera tua costante K è:
K = 1/(1/901 + 1/902 + ... + 1/999 + 1/1000) ≈ 9,4962270856 ≈ ln(1000,5/900,5) = 9,496226...
Con ciò, i tuoi numeri (un po' allungati), che valgono K/n, diventano:
Codice:

  n          p(n) = 9,4962270856/n
————————————
  901      0,0105396527
  910      0,0104354144
  920      0,0103219860
  930      0,0102109969
  940      0,0101023692
  950      0,0099960285
  960      0,0098919032
  970      0,0097899248
  980      0,0096900276
  990      0,0095921486
1000      0,0094962271

----------------------------------

Se ancora non ti sei disincantato dal fascino del tuo Giulio ... rileggiti un po' la mirabolante finale del suo ragionamento:
«Quindi se qualcuno mi dice che c'è almeno la pallina numero 1 nell'urna, se lo poteva pure risparmiare; se invece mi dice che da un buchetto dell'urna ha intravisto il numero 1, è pacifico che io scommetto sulla presenza di un'unica pallina.»
T'è capì?
Dirgli «Guarda che la pallina nr. 1 c'è» non gli dà informazione: lo sa già anche lui che c'e! L'amico può risparmiarsi di dirgli una cosa scontata!
Ma vuoi mettere, invece, che bella notizia gli dà l'amico spione che gli dice d'aver visto con i suoi occhi dentro l'urna la pallina nr. 1, quella che c'è sempre di sicuro?
Ma pensa: gli fa aumentare la probabilità di vincere puntando sull'1 :eek:
Chel chì a l'è mej del profe Bagnai!

--------
:hello:

aspesi 18-09-12 21:02

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 621465)
Chel chì a l'è mej del profe Bagnai!

--------
:hello:

Erasmus, non scherzare!:mad:
Silvio (Sergio), non Giulio, è uno dei massimi esperti di probabilistica.

Sforzati di leggere e capire.
Non ci sono dubbi, e non è difficile.
Ho presentato anche il programmino che ho fatto e i risultati ottenuti....
Mi pare impossibile che insisti nel tuo errore...:(

:hello:

aspesi 18-09-12 21:20

Re: Estrazioni casuali
 
DIM a(10)
CLS
FOR i = 1 TO 10
a(i) = 0
NEXT i
somma = 0
RANDOMIZE TIMER
FOR i = 1 TO 500000000
n = INT(RND*100) + 1
IF n < 91 THEN GOTO 20
m = INT(RND*n) + 1
IF m = 91 THEN a(n - 90) = a(n - 90) + 1
IF m = 91 THEN somma = somma + 1
20 NEXT i
FOR i = 1 to 10
PRINT a(i)/somma;
NEXT i
END

Ti va bene questo programmino?

Allora, dovresti credere anche ai risultati che dà facendolo girare...
Che sono quelli riportati nel messaggio #590

:hello:

Ma vuoi mettere, invece, che bella notizia gli dà l'amico spione che gli dice d'aver visto con i suoi occhi dentro l'urna la pallina nr. 1, quella che c'è sempre di sicuro?
Ma pensa: gli fa aumentare la probabilità di vincere puntando sull'1


Infatti, non è la stessa cosa. E' un'informazione utile.
Si sa già che la pallina n.1 è presente nell'urna, questa non è una notizia che serve.
Ma invece è importante che guardando nel sacchetto si sia vista la pallina n.1.
Se nel sacchetto c'erano molte palline, probabilmente se ne sarebbe vista un'altra.
La pallina n.1 è capitata sotto l'occhio dello spione per prima. Ha visto non la n. 2 o la n. 3, ecc..., ma la n.1.
C'è una ragione per cui con maggiore probabilità viene vista (o viene estratta dal sacchetto, è la stessa cosa!) la pallina n. 1.
E questa ragione fa presumere che verosimilmente nel sacchetto sia presente (con maggiore probabilità) una sola pallina.

Erasmus 19-09-12 12:02

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 621469)
Erasmus, non scherzare! :mad:

OK.
Non scherzo più.
Quote:

aspesi (Scrivi 621469)
Silvio (Sergio), non Giulio, è uno dei massimi esperti di probabilistica.

Giulio no. Ma allora Silvio o Sergio?
Quote:

aspesi (Scrivi 621469)
Sforzati di leggere e capire.

Già fatto. Ma non ho capito! (E non lo farò più).
Quote:

aspesi (Scrivi 621469)
Non ci sono dubbi, e non è difficile.

Appunto. Non ho dubbi! La formula di Bayes, nel ragionamento del tuo Sivio/Sergio è usata a sproposito.
Non ho capito in che modo (e a capire non ci provo più).
Per provare che il risultato non è corretto mi basta (e dovrebbe bastare anche a te) sapere che, se il numero visto è v (con 1 ≤ v ≤ n), le vostre probabilità p(m, v) per vm ≤ 1000 sono
p(m, v) = K(v)/m
dove K(v) = 1/[1/v + 1/(v+1) + ... + 1/999 + 1/1000].
Senza scomodare Bayes, questo andrebbe bene se, quando l'urna contiene n palline e lo spione ha letto la pallina nr. v, la probabilità di leggere questo o quel numero fosse uniforme (e quindi, dato n, pari a 1/n); e perciò, al variare di n, fosse inversamente proporzionale ad n la probabilità di leggere un certo v.
Ammettere questo vorrebbe dire assumere un dato:
a) Che nel quiz non c'è!
b) La cui assunzione è gratuita, non poggia su niente di niente!
c) Che porta a risultati "paradossali"!
Supponiamo, per esempio, che l'amico spione abbia letto 1.
Allora, mi dice Silvio, mi conviene puntare su 1.
Il risulati della vostra teoria per v = 1 sono:
K(1) = 1[1/1+1/2 + 1/3 + ... + 1/1000] = 1/7,4854708... ≈ 0,13359...
p(1,1) = K(1)/1 = 0,13359...
p(2,1) = K(1)/2 = (1/2)·p(1,1)
p)3,1) = K(1)/3 = (1/3)·p(1,1)
...
il che ... è demenziale!
[E guarda che non scherzo! Uno mi assicura di aver visto nell'urna il numero 1 ed io punterei su 1 convinto che questa informazione mi fa passare la probabilità di vincere da 1‰ a 13,36% ... Ancora meglio: ll'informazione mi darebbe la certezza che la probabilità che ci sia una sola pallina è esattamente il doppio di quella che ce ne siano 2, ed in generale n volte maggiore di quella che ce ne siano n. Se non è demenziale questa certezza ... non so cosa altro sia demenziale ...]
Quote:

aspesi (Scrivi 621469)
Ho presentato anche il programmino che ho fatto e i risultati ottenuti....
Mi pare impossibile che insisti nel tuo errore...

Non conosco i linguaggi di programmazione tranne il Pascal.
Ma a che scopo? Ho scritto la formula giusta della vostra distribuzione di probabilità.

Un quiz non ha l'obbligo di essere verosimile!
Io mi baso sulle informazioni che esso dà per dare le risposte (sempreché le domande siano giuste!)
Nel tuo quiz ho solo 2 informazioni
a) che il numero di palline n è stato sorteggiato con procedimento casuale a distribuzione di probabilità uniforme tra 1 e 1000;
b) che il numero n di palline è maggiore o uguale a 901, dato che la pallina nr. 901 nell'urna c'è.

Siccome nessun altro elemento mi è dato per sapere quale probabilità ha questo o quel numero tra 901 e 1000 di essere il numero n di palline, non ho elementi per spostarmi da 1/100; non ho niente di meglio della probabilità media (pari a quella che sarebbe nell'ipotesi di probabilità uniforme; allo stesso modo che tu, se toi chiedono che si faceva in un viaggio di 100 km durato 2 ore non hai niente di meglio da dire che 50 km/ora).

L'ipotesi che, dato n, la «probabilità che il numero visto sia questo o quello» è uniforme [con le conseguenze che sappiamo, ossia che la probabilità di indovinare verrebbe inversamente proporzionale al numero su cui si punta] è qualcosa di "gratuito" in quanto non contenuta nemmeno implicitamente nel testo del quiz.

Ciao ciao.
----------
:hello:

aspesi 19-09-12 12:53

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 621568)
Ma allora Silvio o Sergio?

Silvio è il nome e Sergio il cognome.

Quote:

Erasmus (Scrivi 621568)
Non ho dubbi! La formula di Bayes, nel ragionamento del tuo Sivio/Sergio è usata a sproposito.

E' corretta e pertinente.
Se questo fosse un forum serio (di matematica) sarebbero già intervenuti in una decina a confermartelo.

Mi spiace che, nonostante i miei inviti, ti rifiuti di leggere i miei messaggi precedenti.
Ed in particolare di esaminare il programmino, i cui risultati logicamente confermano i ragionamenti espressi ed i conseguenti calcoli.

Quote:

Erasmus (Scrivi 621568)
Il risulato della vostra teoria dò infatti (per v = 1) dànno:
K(1) = 1[1/1+1/2 + 1/3 + ... + 1/1000] = 1/7,4854708... ≈ 0,13359...
p(1,1) = K(1)/1 = 0,13359...
il che ... è demenziale!

E' assolutamente improbabile (rarissimo) che possa capitare che fra 1000 palline di un sacchetto l'occhio capiti proprio sulla pallina n.1.
Il tuo errore è di considerare che nel sacchetto ci siano sempre 1000 palline. Invece 1000 è il numero massimo che può essere sorteggiato (da 1 a 1000).

Però, se ad esempio le palline sono al massimo 10, e vedi l'1, la probabilità dicendo che ce n'è una sola, sale dal 10% al 34,14%; e se ce n'è al massimo 2, sale da 1/2 a 2/3*.

Tutto perfettamente logico.

(L'intuito, non si impara a scuola :D)

:hello:

*n<=2
50% di probabilità che nel sacchetto n=1 e 50% che n=2
Se vedi 2 palline (m=2) hai la certezza (100% di prob.) di indovinare:
e questo capita nel 25% dei casi (perché nell'altro 25% avresti potuto vedere m=1 con n=2)
Se vedi 1 pallina (m=1), questo capita in 3/4 dei casi (casi totali) e per 1/2 indovini (quando n=1) e questi sono i casi favorevoli:
Perciò:
p_1 = 1/2:3/4 = 1/2*4/3 = 2/3

aspesi 19-09-12 13:07

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 621568)
b) che il numero n di palline è maggiore o uguale a 901, dato che la pallina nr. 901 nell'urna c'è.

Ciao ciao.

No.
b) che è stata vista (anche questo casualmente, come fosse una seconda estrazione dal sacchetto riempito di n palline) la pallina n.901.
Possibile che non cogli la differenza?:mad:
Vedendo la n.901 ovviamente, il numero di palline presenti è maggiore o uguale a 901.
Ma non viceversa! Cioè, non è detto che se il numero delle palline presenti è maggiore o uguale a 901, per prima ti capita di vedere la n.901! Potrebbe essere qualsiasi altra pallina quella che ti capita sott'occhio...

:hello:

Erasmus 19-09-12 13:28

Re: Estrazioni casuali
 
@aspesi.
Ero andato a pranzare.
Tornato, ho corretto.
Ma poco prima che inviassi, hai postato tu.
Tieni conto della versione corretta.
Io non ho altro da dire.
Potrei solo ripetere
a) Il fatto che tizio abbia visto (o estratto, non ha importanza) quel numero, non mi dice nulla di preciso, se non che le palline non sono di meno di quel numero.
In particolare, non mi dice affatto che la probabilità che il numero di palline sia pari al numero visto sia inversamente proporzionale ad esso. Ed invece è questo l'assunto che bisogna prendere per tirar fuori quella vostra distribuzione!
b) Pensare che la probabilità di vincere puntando sul 2 quando lo spione mi dice che ha visto il 2 sia la metà (esatta per giunta) di quella puntando su 1 quando lo spione mi dice che ha visto l'1 ... continua a sembrarmi demenziale.
---------
:hello:

Erasmus 19-09-12 18:15

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 621582)
Silvio è il nome e Sergio il cognome.

:eek:
O.T.
C'è (o c'è stato) un editore di nome e cognome "Armando Armando".
Che 'sto Armando fosse un editore l'ho scoperto da grandicello leggendo su un quotidiano la recensione di un libro edito appunto da "Armando Armando".
Ma questo "nome e cognome" lo ricordavo (appunto per la sua stranezza) fin da quando avevo 7 anni scarsi.
Infatti sul mio testo scolastico [unico, con tutte le materie] di 2ª elementare, uno dei ... discorsetti per bambini (di una sola frase o poco più) era firmato "Armando Armando", (ossia: sotto il testo, come nome dell'autore, c'era questo).

Non ricordo, però, quale fosse quel discorsetto.
Di quel testo scolastico ricordo però altre due cose. La copertina ed un altro breve discorsetto illustrato da un disegno.
La copertina riportava l'mmagine a tutta pagina di due moschetti in croce, una specie di X fatta appunto dai due moschetti.
Uno dei discorsetti diceva che i nostri soldati, quando non hanno più munizioni, vaanno all'assalto alla baionetta; e la figura mostrava un ... 'corpo a corpo' in cui a sinistra e voltati verso d'estra ci stavano soldati con la divisa italiana e a destra, voltati a sinistra i nemici con analoga ma diversa divisa. In primo piano si vedeve un soldato italiano che, tenendo con entrambe le mani il fucile a circa metà della sua lunghezza, (il calcio più in basso della canna), infilava la baionetta (montata sopra il fucile) nella pancia di un nemico.
[Questa era purtroppo l'educazione civica impartita allora ai bambini. Per non parlare delle canzoni che ci insegnavano al sabato – per esempio "Vincere!", "La Sagra di Giarabub", "Adesso viene il bello", "Nizza Savoia Corsica fatal", ecc. ecc.– Provare, per credere, a leggerne le parole cercando in rete.]

-----
:hello:

Mizarino 19-09-12 21:00

Re: Estrazioni casuali
 
Ho letto solo poco fa il quiz proposto al post #571, ma non ho letto le due pagine successive...
Naturalmente ho capito subito che la risposta non poteva essere quella ovvia, perché altrimenti non ci sarebbe stata ragione di proporlo.
Altrettanto naturalmente, ho deciso di non scervellarmi per capire il perché l'ovvio fosse invece sbagliato e ho programmato la soluzione di forza bruta ...
Devo però dire che il risultato non è clamoroso, per esempio se il numero massimo di palline è 100 e l'amico sbircia il numero 71, la probabilità "ovvia e sbagliata" che il numero totale sia proprio 71 è di 1/30 (3.33%), quella risultante dall'esperimento numerico è il 4.0%

aspesi 19-09-12 22:36

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 621710)
Devo però dire che il risultato non è clamoroso, per esempio se il numero massimo di palline è 100 e l'amico sbircia il numero 71, la probabilità "ovvia e sbagliata" che il numero totale sia proprio 71 è di 1/30 (3.33%), quella risultante dall'esperimento numerico è il 4.0%

Meno male che sei intervenuto, :ok:, forse adesso Erasmus ti crederà, capirà di aver sbagliato e si renderà conto che il ragionamento che ho cercato disperatamente di spiegargli è corretto...:D

Nell'esempio che hai esaminato (n da 1 a 100, m sbirciato=71), la probabilità calcolata per il 71 è, come hai trovato, il 3,9726%, e scende al 2,8206% per il numero 100.

Certo, non è molto diversa dal valore medio di 1/30; però, quello che è interessante (e sembra paradossale) è che i numeri superiori a quello sbirciato (che potrebbero quindi essere nell'urna) non sono tutti ugualmente probabili.

:hello:


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