Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 29-01-12 16:54

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 561127)
B(n) = [√(2)/8]·{[3+2√(2)]^n – [3 – 2√(2)]^n} = √(2)·{[√(2)+1]^(2n) – [√(2)–1[^(2n)}/8.

Ciao ciao

Formidabile!

Io non ci sarei mai arrivato... :o, però, sono andato qui:
http://oeis.org/search?q=1%2C6%2C35%...nguage=english
e, senza fatica (nè merito :D), ho trovato (e verificato) la stessa tua formula:

a(n) = circa 1/8*RADQ(2)*(RADQ(2)+1)^(2n)

a(n) = [(3+RADQ(8))^n-(3-RADQ(8))^n]/(2*RADQ(8))

a(n) = [(3 +2*RADQ(2))^n-(3-2*RADQ(2))^n]/(4*RADQ(2))

:hello:

Erasmus 29-01-12 21:12

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 561143)
Formidabile!

Io non ci sarei mai arrivato... :o

Non è vero.
Non ci arrivi quando non vuoi, quando decidi tu di non imboccare questa strada (che ho appena descritto).

Una volta beccata una equazione diofantina, astraiamo un momento dall'origine di essa (cioè dal'essere uscita da quel particolare contesto).

Per esempio, da questo quiz abbiamo trovato l'equazione –metto x ed y al posto di R e B– :
x(x–1)– y(y–1) = 2xy. (1)
[che nel piano cartesiano è l'equazione di un'iperbole].
Esplicitando la (1) rispetto ad x si ha di colpo:
x = [(2y+1) + √(8·y^2 + 1)]/2.
Per tentativi si trovano facilmente diverse coppie [x, y] di interi che soddisfano l'equazione.
Ma non è necessario che sia x> 0 e y > 0.

Per esempio, per y = 0 viene subito x =1.
E se x è intero per certo y intero, lo è anche per l'opposto –y.
Cercando y intero tale che √(8·y^2 + 1) sia intero, troviamo presto y = 6.
Abbiamo allora già 5 coppie di interi [x, y] che soddisfano l'equazione: (1)
[3, –6], [1, –1], [1, 0], [3, 1], [15, 6]

A questo punto facciamo l'ipotesi di una ricorrenza lineare.
Non può essere di ordine 1 perché i numeri trovati non sono in progressione geometrica.

Vediamo se potrebbe andar bene l'ordine 2.
Per y , supposto y(n) = A·y(n–1) + B·y(n–2), avremmo:
6 = 1·A + 0·B ––> A = 6
1 = 0·A –1·B ––> B = –1
Controlliamo se queste costanti vanno bene un passo più indietro.
–1·A –6·B = –1·6 –6·(–1) = –6 + 6 = 0 ––>OK
Calcoliamo con queste costanti altre coppie e controlliamo se soddisfano l'equazione.
Beh: smetto perché sappiamo che sì!
Allora, per la sequenza y(n) il polinomio caratteristico P(z) è:
z^2 – 6·z + 1 = [z – 3 – 2√(2)]·[z – 3 + 2√(2)]
e quindi y sarà del tipo
y(n) = H·[3 +2√(2)]^n + K·[3 – 2√(2)]^n.
Per n = 0 ho y(0) = 0 = H + K –-> K = – H –> H–K = 2·H.
Per n =1 ho y(1) = 1 = 3(H+K) + 2√(2)·(H – K) = 0 + 4√(2)·H.
Cioè: 4√(2)·H = 1 ––> H = √(2)/8; K = –√(2)/8.
Pertanto:
y(n) = √(2)·{[3 +2√(2)]^n – [3 – 2√(2)]^n}/8
--------------
Adesso provo se è di ordine 2 anche x(n). Tralascio i conti ma si trova subito che no.
La prova è facile usando le coppie con numeri piccoli, (anche negativi).
Comodissima la coppia [x, y] = [1, 0].
Allora provo se x è di ordine 3 (tentando con tre costanti A, B e C). Vedo che è vero.
Trovo A = 7, B = –7, C = 1, ossia:
«Per ogni n x(n) = 7·x(n–1) – 7·x(n–2) + 1·x(n – 3)»
Perciò il polinomio caratteristico per x è:
P(z) = z^3 – 7·z^2 + 7·z – 1.
Siccome è "antimetrico", si annulla per z = 1.
Divido per z–1 e trovo
P(z) = (z – 1)·(z^2 – 6·z + 1) = (z–1)· [z – 3 – 2√(2)]·[z – 3 + 2√(2)].
Quindi avrò x(n) del tipo
x(n) = H·1^n + K·[3 + 2√(2)]^n + L·[3 – 2√(2)]^n.

Ho (ri)detto tutto questo perché, se si va anche indietro (invece che in avanti – memento: le "sequenze" non hanno inizio!) si trovano un numero di coppie di numeri interi piccolini comodissimi per risolvere "a mano" 'sto quiz (e anche per trattare le faccende delle terne pitagoriche con scarto costante tra i cateti), senza bisogno di programmare un bel niente!

Adesso non mi dire che "non ci saresti mai arrivato".
Ovvio: "Nessuno nasce imparato"!.
Ma la faccenda delle sequenze linearmente dipendenti risulta facile da applicare sistematicamente.
Io la trovo elegante, anche "estetica"! ;)

[Diverso il discorso a riguardo del dimostrarne le proprietà, cosa che ho fatto a suo tempo in tutta autonomia ... traendone alla fine – con un pizzico di orgoglio – anche una certa soddisfazione.
Se poi arriva un Satomi che mi viene a dire che l'occuparsi di matematica astraendo dal reale non è altro che masturbazione della mente (e me lo viene a dire con le consuete scurrilità), non solo non mi trova d'accordo, ma ... consentimi di avere il diritto di sentirmi un tantino offeso al di là delle sue intenzioni, che erano certamente scherzose.
(E ci mancherebbe anche che qui venisse uno ad offendere di proposito!)

Ma perché mai sarebbe "umanistica" la pittura, la poesia, la musica e non la matematica?
Anzi: umanistica è proprio la facoltà di "astrarre". Guai se la poesia fosse solo rendere elegante la cronaca di qualcosa di concreto, senza il vero apporto creativo del poeta! E lo stesso vale per ogni arte. La musica non è solo una collezione di suoni gradevoli presi dalla realtà. La pittura non è tanto più bella quanto più assomiglia ad un'ottima fotografia. Insomma: il bello dell'attività umanistica è il contributo personale. E se capita che, in autonomia o con poco aiuto – più di stimolo che di pappa già fatta – ti pare di essere riuscito a fare una buona escursione logica (fosse anche nel solo "dominare" un quiz) è giusto che ti senta soddisfatto come quando torni da un'ottima escursione alpina, o da qualsiasi "impresa" che ti ha impegnato personalmente non solo a livello corporale!

Mi scuso di questa digressione finale.
Ma ormai ... non la cancello!

Ciao ciao.

aspesi 29-01-12 22:19

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 561205)
Quindi avrò x(n) del tipo
x(n) = H·1^n + K·[3 + 2√(2)]^n + L·[3 – 2√(2)]^n.

a(n) = (((1+RADQ(2))^(2n+1)-(1-RADQ(2))^(2n+1))/RADQ(8)+1)/2


Quote:

Io la trovo elegante, anche "estetica"! ;)

E se capita che, in autonomia o con poco aiuto – più di stimolo che di pappa già fatta – ti pare di essere riuscito a fare una buona escursione logica (fosse anche nel solo "dominare" un quiz) è giusto che ti senta soddisfatto come quando torni da un'ottima escursione alpina, o da qualsiasi "impresa" che ti ha impegnato personalmente non solo a livello corporale!

Ciao ciao.
Condivido pienamente :ok:

:hello:

aspesi 01-02-12 15:46

Re: Estrazioni casuali
 
Quando in un problema si chiede di prendere dei punti a caso, il risultato può essere differente a seconda di come definiamo ed intendiamo la casualità.

Abbiamo già esaminato problemi simili a questo:
Si scelgono tre punti a caso A, B e C nell'ordine, e si uniscono a formare un triangolo.
Qual è la probabilità che l'angolo in A sia maggiore di 90 gradi?
Il fatto che due punti siano esattamente sovrapposti o che i tre punti siano sullo stesso prolungamento è così improbabile, che possiamo escluderlo.
Io il risultato non lo so. O, più precisamente, non so se le mie conclusioni sono esatte.

1) Scelti due punti, si possono unire con un segmento (linea AB)
Ciò fatto, si può costruire un cerchio, con raggio AB/2
Se il terzo punto è all'interno del cerchio, il triangolo che si forma unendolo agli estremi di AB sarà ottusangolo; se è sul cerchio è rettangolo, se è sopra o sotto è acutangolo. Però, potrebbe anche essere ottusangolo, e precisamente quando AB non è il lato maggiore.

2) Un altro approccio potrebbe essere quello di porre il primo punto sullo zero degli assi cartesiani. Il secondo punto può essere indifferentemente in qualsiasi quadrante.
Il terzo può essere nello stesso quadrante del secondo (p=1/4) o in un altro (p=3/4).
Unendo i tre punti si ha un triangolo. La probabilità che tale triangolo sia ottuso, con qualche ragionamento mi verrebbe un po' minore di 3/4, e dovrebbe essere in funzione dell'estensione del campo cartesiano.
Ci vorrebbe una simulazione con un programma, per verificare se il valore di tale probabilità tende a un asintoto.

3) Stabiliamo quest'altra regola.
Un cerchio può sempre essere costruito in modo che passa su 3 punti, così che possiamo supporre che i 3 punti scelti casualmentesiano posti sulla circonferenza di un cerchio.
Ruotiamo ora la circonferenza in modo da far corrispondereuno dei punti (A) ad una posizione prefissata. In tal modo, solo i due punti B e C saranno scelti a caso.
Tagliando la circonferenza nel punto A e "stirandola", otteniamo un segmento su cui sono localizzati i punti B e C:
._________________._________._____________.
A ........................... B ............ C .....................A

Perché vi sia un angolo ottuso, è sufficiente che uno degli archi AB, BC, o AC, sia maggiore del semicerchio.
Mi pare che in questo caso ci si possa ricondurre al problema del bastoncino spezzato in 3 pezzi
http://www.trekportal.it/coelestis/s...&postcount=178
Quando c'è un triangolo ottuso, i tre pezzi di questo segmento "stirato" non possono formare un triangolo.
O no?

:hello:

aspesi 04-02-12 12:37

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 562110)
Si scelgono tre punti a caso A, B e C nell'ordine, e si uniscono a formare un triangolo.
Qual è la probabilità che l'angolo in A sia maggiore di 90 gradi?

:hello:

Astromauh, se hai tempo (hai detto che, a causa della neve, sei rimasto in casa...:)), perché non provi a fare la simulazione ad es. che ho indicato al punto 2 del messaggio precedente?

Puoi scegliere ad es. un campo cartesiano (20,20), (-20,20), (20,-20), (-20,-20) per i 4 quadranti. (Magari, poi, aumentando questa estensione, per vedere se la probabilità tende ad un asintoto). I punti devono essere rappresentati da interi.
Un punto sarà, per ogni tentativo, all'origine (0,0); randomizzi le posizioni per gli altri due punti.
Poi, calcoli con Pitagora la lunghezza dei lati a, b, c, del triangolo che si ha unendo i 3 punti.
Infine, verifichi se tale triangolo è ottusangolo calcolando
a^2>b^2+c^2 or b^2>a^2+c^2 or c^2>a^2+b^2
e determini tale probabilità rispetto ai casi totali.

:hello:

Erasmus 04-02-12 19:45

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 562110)
Quando in un problema si chiede di prendere dei punti a caso, il risultato può essere differente a seconda di come definiamo ed intendiamo la casualità.

E' vero.
Nel quiz che metti ... avrei da dire qualcosa a proposito.

[Ma praticamente non ho avuto tempo per farlo!
Dopo la "felice serata" de "I Pagliacci" al Filarmonico, ho avuto tre giorni un po' movimentati. Anche qui neve (poca) e freddo cane (– 11 °C stamattina alla 9 . Record assoluto nei 24 anni che abito qua). Ma il casino è stato che dovevo sostituire la polizza auto. La vecchia Opel Corsa – a dir il vero ex di mia figlia, da lei scelta contro il mio parere quando era ancora universitaria, naturalmente pagata da me (e a me intestata) e ... restituitami due anni fa quando lei, già coniugata da due anni, s'è fatta un'auto nuova – è defunta senza preavviso! Mi ha portato nel parcheggio del vicino supermercato ... e di là non ha più voluto ripartire! Proprio defunta! La sua salma è stata rimossa di là con un carro-attrezzi per essere trasportata in un cimitero di auto.
Mi sono presa una Panda nuova (2ª serie però, quella andata fuori produzione mi pare in gennaio). Martedì sera, tornato dal concerto, ho trovato l'e.mail del venditore: la Panda era arrivata e mi mandava copia della "Carta di Circolazione" allo scopo che, con quella, mi mettessi in regola con l'assicurazione.
Ho una assicurazione online. Tutto OK se non ci sono errori: i computer sono bravissimi ma anche privi di intelligenza. Non so cosa succedeva, fatto sta che ci ho messo tre giorni per riuscire a sostituire la polizza per cambio d'auto . Al numero verde risponde il computer dicendoti di schiacciare questo o quel tasto. Seguite le istruzioni, prima mi sento dire che il mio numero di polizza non esiste, lo rifaccio e mi si dice che esiste ma la polizza non è più coperta, (e mi invita a pigiare altro tasto), poi mi dice di attendere l'intervento di un operatore, poi il robot riprende e mi dice che non ci sono operatori disponibili e infine ricomincia la solfa iniziale come se avesse appena ricevuto la chiamata! Nella pagina in cui entro con user ID e password C'è la foto di una donna con scritto:"<name & cognome>: la tua consulente personale". C'è l'orario di ufficio, siamo in orario ... ma no che invece c'è anche scritto «Al momento non sono presente»
Allora clicco su "Scrivimi!".
Si apre un altro modulo, lo compilo, clicco "invia" ... ma ecco che mi risponde il computer: «Al momento il sito non è disponibile!».
Allora scrivo alla "mia consulente personale" per e.mail, con preghiera di rispondermi subito. Niente!
Provo e riprovo per telefono! Niente! Provo a reinviare il messaggio con "Scrivimi!". Niente! Riscrivo e.mail pittosto seccato. Niente! Così fino a stamattina.
Stamattina ... miracolo! Temevo che essendo sabato mi sarebbe andata buca. Macché! Tutto liscio come l'olio. Sono riuscito a parlare con una operatrice al primo tentativo. Alle 10 avevo già ricevuto per e.mail il "Certificato provvisorio", con sostituzione fatta da loro. [Io ero bloccato perché, arrivato al "campo" ALLESTIMENTO, dovevo scegliere una sigla su 8 proposte e nemmeno il venditore era in grado di dirmi quale era quella giusta]. Mi hanno anche rimborsato 49,91 euro; e hanno messo 11.050 euro come "valore assicurato" (dove la vecchia Opel Corsa aveva 1.200 euro).
-----------------

Venendo al quiz, la simulazione numerica non vale in quwesto caso.
Nessun generatore random può davvero scegliere un numero a caso tra i numeri che possono essere ... grandi a piacere!

In coordinate cartesiane, dire tre punti casuali in un piano vuol dire che si dovrebbero poter indicare coordinate cartesiane di valor assoluto grandi a piacere. Cosa impossibile.

Ma siccome è solo ala forma (e non l'estensione) che decide se il triangolo è ottusangolo o no, supponiamo [lasciando in un primo tempo da parte i numeri] di aver fissato tre punti a caso in un piano ... esteso fino all'infinito. i punti, invece che sul foglio di carta, potrebbero essere uno qua, uno su Andromeda e un altro sulla più lontana galassia dell'universo.
Ma non importa. Posso sempre pensare ad una unità di misura tale che la somma dei lati valga 1

E allora davvero si ricasca nel quiz del bastoncino spezzato in tre parti però con la condizione che senz'altro nessuna è più lunga della somma delle altri due (perché così succede per le mutue distanze dei tre punti a caso in un piano)

Ciao ciao

astromauh 04-02-12 21:57

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 562110)
Si scelgono tre punti a caso A, B e C nell'ordine, e si uniscono a formare un triangolo.
Qual è la probabilità che l'angolo in A sia maggiore di 90 gradi?

Non capisco questo problema, e non capisco perchè mi dici di sceglierli nell'ordine.
Se sono tre punti a caso, l'ordine con cui li scelgo non ha importanza.

Il punto A lo pongo al centro del sistema, e poi prendo due punti a caso con un angolo da 0° a 360° e distanza dal centro indefinita, la probabilità che l'angolo BAC sia maggiore di 90° è del 50%.

O no? :confused:

Quote:

aspesi (Scrivi 562796)
Puoi scegliere ad es. un campo cartesiano (20,20), (-20,20), (20,-20), (-20,-20)...

Se ai due punti B e C, dessi delle coppie di coordinate cartesiane casuali da -20 a 20, credo che otterrei una probabilità diversa, ma perchè dovrei farlo?

Qui si parlava di infinito, e secondo me l'infinito ha la forma di un cerchio, e non di un quadrato.

Quei brutti oroscopi quadrati, è da un pezzo che abbiamo smesso di farli. :D

:hello:

aspesi 04-02-12 23:00

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 562935)
Ma il casino è stato che dovevo sostituire la polizza auto. La vecchia Opel Corsa – a dir il vero ex di mia figlia, da lei scelta contro il mio parere quando era ancora universitaria, naturalmente pagata da me (e a me intestata) e ...

Venendo al quiz, la simulazione numerica non vale in quwesto caso.
Nessun generatore random può davvero scegliere un numero a caso tra i numeri che possono essere ... grandi a piacere!

E allora davvero si ricasca nel quiz del bastoncino spezzato in tre parti però con la condizione che senz'altro nessuna è più lunga della somma delle altri due (perché così succede per le mutue distanze dei tre punti a caso in un piano)

Ciao ciao

Anche le mie prime due auto erano Opel.
Poi, quando si è laureato il primo figlio, ho pensato di regalargli la Y-10 seminuova che usavo per andare al lavoro.
Non l'ha gradita, e l'ha dovuta riprendere mia moglie, che ha faticato non poco per convincermi a comprargli una Nissan Almera...

Non è che sei assicurato anche tu con la Linear?
Io da anni faccio tutto online, il premio da pagare è buono e finora non ho mai avuto problemi.

In merito al quiz.
E' venuto anche a me il sospetto che scegliere numeri a caso tra una serie infinita non ha molto senso (la probabilità è nulla).
Sul resto (analogia con il quiz del bastoncino spezzato in tre parti), concordo, anche se non ne sono pienamente convinto.

Fra l'altro, mi accorgo adesso che avevo chiesto la probabilità non di avere un triangolo ottusangolo, ma che l'angolo in A fosse quello ottuso (mi pare quindi corretto dividere quel risultato per 3, quindi sarebbe 1/4)

:hello:

aspesi 04-02-12 23:30

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 562977)
Se sono tre punti a caso, l'ordine con cui li scelgo non ha importanza.

Il punto A lo pongo al centro del sistema, e poi prendo due punti a caso con un angolo da 0° a 360° e distanza dal centro indefinita, la probabilità che l'angolo BAC sia maggiore di 90° è del 50%.

:hello:

Lasciamo perdere l'ordine dei 3 punti.

Se ho capito, tu dici che prendi il punto A come origine di un sistema di riferimento e B lo poni sull'asse delle X. A questo punto, si può affermare che l'angolo in A è ottuso solo se il punto C cade nei due quadranti opposti a B (ovvero nel semipiano in cui X<0) e da ciò deduci che la probabilità è il 50%.

Però, potresti fare anche questo ragionamento.
In un triangolo qualsiasi, affinché l'angolo in A sia ottuso, deve necessariamente essere il maggiore dei tre (e questa è una condizione necessaria, ma neppure sufficiente). Quindi, per simmetria, la probabilità richiesta non può essere superiore a 1/3. E questo invalida il risultato precedente.

Per quanto riguarda l'estensione cartesiana da me suggerita, è chiaro che la finitezza del campo (fra l'altro quadrato), comporta un effetto confine, che potrebbe essere significativo. Ma questo effetto dovrebbe diminuire all'aumentare delle dimensioni del campo, come potrebbe essere confermato ripetendo l'esperimento con campi sempre più grandi.

:hello:

astromauh 05-02-12 01:25

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 562996)
Lasciamo perdere l'ordine dei 3 punti.

Se ho capito, tu dici che prendi il punto A come origine di un sistema di riferimento e B lo poni sull'asse delle X. A questo punto, si può affermare che l'angolo in A è ottuso solo se il punto C cade nei due quadranti opposti a B (ovvero nel semipiano in cui X<0) e da ciò deduci che la probabilità è il 50%.

Il mio ragionamento non è esattamente quello che proponi tu, ma è equivalente.
Il punto A lo metto al centro degli assi cartesiani, ed i punti B e C dove capita.
Poi diciamo che costruisco un cerchio che ha per centro il punto A, se la distanza angolare tra i punti B1 e C1, che sono i punti di intersezione sul cerchio dei segmenti AB e AC, è maggiore di 90, l'angolo in A è maggiore di 90 gradi.

Questo si verifica nel 50% dei casi.


Quote:

Però, potresti fare anche questo ragionamento.
In un triangolo qualsiasi, affinché l'angolo in A sia ottuso, deve necessariamente essere il maggiore dei tre (e questa è una condizione necessaria, ma neppure sufficiente). Quindi, per simmetria, la probabilità richiesta non può essere superiore a 1/3. E questo invalida il risultato precedente.
Giusto, ma non capisco cosa ci sia di sbagliato nel mio ragionamento precedente. :confused:




Quote:

Per quanto riguarda l'estensione cartesiana da me suggerita, è chiaro che la finitezza del campo (fra l'altro quadrato), comporta un effetto confine, che potrebbe essere significativo. Ma questo effetto dovrebbe diminuire all'aumentare delle dimensioni del campo, come potrebbe essere confermato ripetendo l'esperimento con campi sempre più grandi.
Ho fatto pure la simulazione, sulla base del mio ragionamento precedente, ponendo sempre il punto A all'origine degli assi, mentre ai punti B e C ho attribuito dei valori casuali di ascisse e ordinate, nel range -20 +20.

Ottengo lo stesso risultato di prima, probabilità del 50%, non c'è un "effetto campo".

Non capisco dove sta l'inghippo, domani magari provo a fare una simulazione dando delle posizioni casuali a tutti e tre i punti (compreso A).

:hello:

PS

Il mio scooter l'ho assicurato con Genialloyd, le vostre compagnie assicurano gli scooter?

A proposito della mia capacità di pagare sempre di più, un paio d'anni fa sono rimasto in panne in autostrada è ho pagato oltre € 120 di carro-attrezzi, perchè ignoravo che ero coperto anche per questo dalla mia assicurazione. :o

E pensare che quelli della mia "categoria" dovrebbero essere "furbi". :D


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