Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 03-01-12 17:10

Re: Estrazioni casuali
 
Simile a questo:
#702

Abbiamo un sacchetto contenente N palline numerate da 1 a N.
Estraiamo una pallina, riportiamo il suo numero su un foglio di carta e poi rimettiamo la pallina nel sacchetto.
Mescoliamo e poi ripetiamo questa operazione per altre due volte, reimbussolando sempre la pallina che era stata precedentemente estratta.

Qual è la probabilità che i tre numeri estratti siano le misure dei lati di un triangolo?

:hello:

astromauh 04-01-12 06:48

Re: Estrazioni casuali
 
Soluzione:

P= (0.5 * N^3 + 0.5 * N) / N^3

:hello:

aspesi 04-01-12 08:17

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 552702)
Soluzione:

P= (0.5 * N^3 + 0.5 * N) / N^3

:hello:

:ok:

Contando per N piccoli, es. N=2
Casi totali = 2^3 = 8
di cui validi:
1 - 1 - 1
1 - 2 - 2
2 - 1 - 2
2 - 2 - 1
2 - 2 - 2
e non validi:
2 - 1 - 1
1 - 2 - 1
1 - 1 - 2
p= 5/8

Per N = 3
p= 15/27 = 5/9

ecc..

si osserva che la probabilità tende velocemente a 1/2.

I numeri al numeratore (1 - 5 - 15 - 34 - 65 - .....) sono una successione con interessanti caratteristiche.

:hello:

astromauh 04-01-12 15:27

Re: Estrazioni casuali
 
Voglio precisare che questo quiz l'ho risolto con il metodo Erasmus.

Prima ho calcolato la probabilità per dei valori piccoli di N, e poi ho risolto un sistema di equazioni. Mi sa che dalla volta precedente che avevo risolto un sistema di equazioni sono passati 45 anni.

:)

Erasmus 04-01-12 16:12

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 552591)
Abbiamo un sacchetto contenente N palline numerate da 1 a N.
Estraiamo una pallina, riportiamo il suo numero su un foglio di carta e poi rimettiamo la pallina nel sacchetto.
Mescoliamo e poi ripetiamo questa operazione per altre due volte, reimbussolando sempre la pallina che era stata precedentemente estratta.

Qual è la probabilità che i tre numeri estratti siano le misure dei lati di un triangolo?:

Si può risolvere per via "euristica".
La probabilità che esca un qualsiasi numero tra 1 e N compresi è 1/N ad ogni estrazione.
La probabilità che esca per tre volte un certo prefissato numero è 1/N^3.

Per la probabilità richiesta dal quiz ipotizzo allora una funzione razionale con numeratore polinomio di 3° grado e denominatore N^3, ossia
P(N) = (A + B·N + C·N^2 + D·N^3)/N^3

Le 4 costanti A, B, C e D le calcolo con un sistema lineare dopo aver "contato" i casi favorevoli per N = 1, 2, 3, 4; ossia dopo aver valutato con analisi diretta i valori di P(1), P(2), P(3) e P(4).

P(1) = 1 perchè può uscire solo la terna [1, 1, 1].

P(2) ?
Favorevoli, oltre a [1, 1, 1] e [2, 2, 2], ci sono le 3 terne con due 2 ed un 1:
5 in tutto su 2^3 = 8 casi. Quindi P(2) = 5/8.

P(3) ?
Le terne favorevoli sono:
a) quelle ... "equilatere" (del tipo [a, a, a]) che sono 3;
b) quelle con due 2 ed un 1 (tipo [2, 2, 1]) che sono 3;
c) quelle con due 2 ed un 3 (tipo [2, 2, 3]) che sono 3;
d) quelle con due 3 ed un 1 (tipo [3, 3, 1]) che sono 3;
d) quelle con due 3 ed un 2 (tipo [3, 3, 2]) che sono 3.
15 in tutto su 3^3 = 27: quindi P(3) = 15/27 = 5/9.

P(4) ?
Le terne favorevoli sono:
a) quelle ... "equilatere" (del tipo [a, a, a]) che sono 4:
b) quelle con due 2 ed un 1 o un 3 (tipo [2, 2, 1] o [2, 2, 3]) che sono 3·2 = 6;
c) quelle con due 3 ed un 1 o un 2 o un 4 (tipo [3, 3, 1] o [3, 3, 2] o [3, 3. 4]) che sono 3·3 = 9;
d) quelle con due 4 ed un 1 o un 2 o un 3 (tipo [4, 4, 1] o [4, 4, 2] o [4, 4, 3]) che sono 3·3 = 9;
e) quelle con un 2, un 3 ed un 4 (tipo [2, 3, 4]) che sono 3! = 6.
34 in tutto su 4^3 = 64: quindi P(4) = 34/64 = 17/32.

Risolvo il sistema lineare nelle incognite A, B, C e D:
[A + 1·B + (1^2)·C + (1^3)·D]/1^3 = P(1) = 1 => A + B + C + D = 1;
[A + 2·B + (2^2)·C + (2^3)·D]/2^3 = P(2) = 5/8 => A + 2·B + 4·C + 8·D = 5;
[A + 3·B + (3^2)·C + (3^3)·D]/3^3 = P(3) = 15/27 => A + 3·B + 9·C + 27·D = 15;
[A + 4·B + (4^2)·C + (4^3)·D]/4^3 = P(3) = 34/64 => A + 4·B + 16·C + 64·D = 34.

Andando come al solito per sottrazioni membro a membro si trova:
B + 3·C + 7·D = 4;
B + 5·C + 19·D = 10;
B + 7·C + 37·D = 19.

2·C + 12 D = 6;
2·C + 18·D = 9.

6 ·D = 3 => D = 1/2.
Risalendo a sostituire le incognite risolte col loro valore si trova:
2·C + 12·D = 6 ––> 2 C + 12·(1/2) = 6 ––> C = 0.

B + 3·C + 7·D = 4 ––> B + 2·0 + 7·(1/2) = 4 ––> B = 4 – 7/2 ––> B = 1/2.

A + B + C + D = 1 ––> 4 + 1/2 + 0 + 1/2 = 1 ––> A + 1 = 1 ––> A =0.

In definitiva
P(N) = (A + B·N + C·N^2 + D·N^3)/N^3 = [0 + (1/2)·N + 0·N^2 + (1/2)—N^3]/N^3 ;
P(N) = [N/2 + (N^3)/2]/N^3 = [1+1/N^2]/2.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Naturalmente, gli esperti di probabilità troveranno questa formula anche applicando le nozioni di probabilità cumulativa (che individualmente – ossia per un numero alla volta – è la probabilità che il numero estratto X sia minore di un prefissato numero k) e la convoluzione di due estrazioni in modo da applicare poi la condizione che, detti X, Y e Z i tre numeri estratti :
X < Y + Z ∧ Y < Z + X ∧ Z < X + Y.
Può anche darsi che stia dicendo bestialità, dato che in questo campo mi sento molto ignorane :o
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
@ Astromauh

Tu come hai fatto a trovare la formula? :mmh:
Ormai, in fatto di probabilità e statistica sei un drago [o preferisci essere un mago? :D]

Ciao, ciao
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
:hello:

aspesi 04-01-12 16:54

Re: Estrazioni casuali
 
Quello che, secondo me, è interessante nel numeratore della formula:
(N*(N^2+1)/2) / N^3
cioè:
1 ; 5 ; 15 ; 34 ; 65 ; 111 .....

è che è la somma dei numeri naturali presi a gruppi n+1:
(1) ; (2+3) ; (4+5+6) ; (7+8+9+10) ; .........

Inoltre, rappresentano anche la sequenza delle costanti dei quadrati magici, numerati da 1 a N^2, iniziando da N=3
Cioè, in una griglia N*N con i numeri da inserire da 1 a N^2, scelti in qualsiasi modo senza ripetizioni, nè mancanza, un numero per ogni casella, la somma è l'ennesimo numero di questa sequenza.

Es.
8 ... 3 ... 4
1 ... 5 ... 9
6 ... 7 ... 2
La somma di ogni riga, colonna e diagonale è 15.

1 .. 15 .. 14 .. 4
12 .. 6 ... 7 ... 9
8 .. 10 .. 11 .. 5
13 .. 3 ... 2 .. 16
La somma di ogni riga, colonna e diagonale è 34

Ecc...

:hello:

astromauh 04-01-12 17:12

Re: Estrazioni casuali
 
@ Erasmus, te l'ho detto, ho fatto come hai fatto tu. ;)

L'unica differenza è che tranne che per N=1, che ho visto subito che ha una probabilità uguale a 1, per gli altri (piccoli) valori di N ho lasciato che fosse il PC a calcolare la probabilità, verificando tra tutte le combinazioni possibili di tre elementi, quante soddisfano la condizione posta.

Non ho ben capito quando è possibile trovare una formula con il tuo sistema, e quando non è possibile, perchè mi sembra di capire che non sempre c'è una formula risolutiva.

Quote:

Erasmus (Scrivi 552880)
Ormai, in fatto di probabilità e statistica sei un drago [o preferisci essere un mago?

Non ho preferenze, basta che non mi dici che sono bravo per essere un astrologo, come hai scritto una volta :mad:,
perchè io sono bravo in assoluto! :D

:hello:

aspesi 07-01-12 11:02

Re: Estrazioni casuali
 
Questo è un problema noto da tempo, non so se ne è già discusso in Rudi Mathematici.

Abbiamo un bastoncino di lunghezza L.
Supponiamo di scegliere a caso due punti sul bastoncino e poi di spezzarlo, ottenendo così tre bastoncini di lunghezza a, b, c.
Qual è la probabilità che con i tre bastoncini così ricavati si possa costruire un triangolo?

:hello:

astromauh 07-01-12 15:23

Re: Estrazioni casuali
 
P=0.50000 ;

L'ho trovato con una simulazione...
il quiz mi sembrava fatto apposta. :D

:hello:

aspesi 07-01-12 15:52

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 553857)
P=0.50000 ;

L'ho trovato con una simulazione...
il quiz mi sembrava fatto apposta. :D

:hello:

Ti conviene ricontrollare la tua simulazione....:D

:hello:


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