Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Quiz per Erasmus (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=59474)

Lagoon 04-04-18 02:01

Quiz per Erasmus
 
Erasmus secondo me in questo tipo di problemi ci sguazza :)

Dati tre punti nello spazio P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) e P3(x3, y3, z3) calcolare il centro della circonferenza che passa per loro 3.

:hello:

nino280 04-04-18 23:13

Re: Quiz per Erasmus
 
In attesa di Erasmus
Io non sono in grado di risolvere questo quiz.
Allora faccio le cose che so fare io.
Naturalmente sapete già come. Con un disegno.
https://s9.postimg.org/498qz6dm7/Tre_Punti_Spazio.png (questo link non si apre)

https://s9.postimg.cc/498qz6dm7/Tre_Punti_Spazio.png

Avendo tre punti non allineati nello spazio disegnare la circonferenza passante per quei tre punti (con il CAD e anche con GeoGebra) il tempo occorrente sono 10 secondi.
C'è il comando: Circonferenza per tre punti.
Eccolo li disegnato.

La circonferenza che vedete è diciamo così sbilenca rispetto ai tre piani cartesiani.
Ne do conferma:
parto con un punto da me scelto a caso di coordinate:
B = 5 ; 6 ; 7
poi siccome non mi voglio sforzare più di tanto mantengo gli stessi valori però scambiandoli di posizione:
C = 6 ; 7 ; 5
D = 7 ; 5 ; 6
e li vedete li in figura.
Come dicevo traccio la circonferenza passante per essi.
E' qui che incominciano le sorprese.
Senza volerlo e non so come il centro di detta circonferenza ha coordinate X 6 ; Y 6 ; Z 6
:mmh:
Non ci posso credere.
Nel senso che quel 6;6;6 mi viene restituito dal sistema.
Allora siccome sono incredulo metto un punto nel disegno di coordinate 6;6;6 e vedo dove va finire. Va a finire in E
Ma ancora non ci credo.
Da E traccio tre segmenti che vanno a B a C e a D (il mio volante)
Vado a leggere la lunghezza dei tre segmenti e sono tutti lunghi radice di 2 cioè 1,414213
Si ora ci credo.:D
Poi là dove mi dava le coordinate del centro mi da anche valori che sinceramente non capisco:
(6,6,6)+(-0,57735 cos(t)-sin(t);1,1547 cos(t);-0,57735cos(t)+sin(t)
Ripeto, di questa formula non ci capisco un accidente anche se riconosco subito quel 0,577 . . essere la tangente di 30° e quel 1,1547 il suo doppio.
di t non ho idea, che siano i coseni direttori del centro o le coordinate polari, non zo.
Ciao

nino280 05-04-18 05:59

Re: Quiz per Erasmus
 
Penso tuttavia che questo quiz si possa risolvere con la geometria analitica. Solo io non me la ricordo più.
E immagino come si potrebbe procedere.
Trovare le equazioni delle tre rette con i punti dati a due a due.
Trovare le tre intersezioni di queste tre rette.
Trovare le rette "normali" o perpendicolari alle rette e passanti per un punto a loro esterno.
L'incontro di almeno due di queste normali sarà il circocentro del triangolo ed anche il centro della circonferenza e quindi la soluzione del quiz. Una cosa lunga direi.
Detto questo andrò ancora a lavorare sul mio disegno e dire le cose che non ho ancora detto, per esempio costruire il triangolo per i miei tre punti per conoscerlo meglio (sarà una cosa semplice)
Il bello di tutta la storiella é:
se Erasmus risolverà il quiz letterale, o chi per lui, si potrà inserire i miei valori e verificare la correttezza sia della mia soluzione grafica sia la sua soluzione analitica.
Ciao ci vediamo dopo.

nino280 05-04-18 06:36

Re: Quiz per Erasmus
 
Continua:
https://s17.postimg.cc/mlxnd7eyn/Triangolo_Lambda.png

Allora vado a costruire come precedentemente detto il mio triangolo facendo passare tre rette per i miei punti.
Ecco che le sorprese continuano.
Ricordate che avevo messo tre punti nello spazio che nelle mie intenzioni volevano essere un pochino a caso. Ma caso vuole che il triangolo risultante è un triangolo equilatero.
Il lato è risultato essere 2 (radice di 2 * cos 30) = 2,44949 (ultima cifra arrotondata per eccesso)
E delle rette si può vedere la parte algebrica sulla sinistra in cui si nota un Lambda che moltiplica non so se moltiplica in modo matriciano:D si va matriciale i valori 1 e 2
Ciao
P.S. Mi sembra un romanzo giallo (poliziesco):)
Ultimo indizio per trovare il colpevole.
Sappiamo che per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza ma ci passa anche uno ed uno solo piano.
E allora vai, lo disegno, anche se piani nello spazio ne ho già visti, solo che mi sono domandato come me lo rappresenta algebricamente.
Me lo rappresenta così : x + y + z = 18
Naturalmente penso che non siano altro che la somma delle coordinate del centro della circonferenza nonchè del triangolo.
Le ormai famose x6 ; y6 ; z6

nino280 05-04-18 07:59

Re: Quiz per Erasmus
 
Ora lo faccio io il quiz. Non ne faccio mai.
Domanda.
La sfera che passa per i tre punti che ho messo nello spazio e sulla circonferenza e ai vertici del triangolo e sul piano che al mercato un topolino mio padre comprò:D
Si la domanda la sfera che passa per B C D è unica?
Ciao

meta 05-04-18 08:48

Re: Quiz per Erasmus
 
https://www.matematicamente.it/forum...ti-t87428.html

google toglie parecchio gusto ai quiz.

nino280 05-04-18 10:11

Re: Quiz per Erasmus
 
Quote:

meta (Scrivi 816493)
https://www.matematicamente.it/forum...ti-t87428.html

google toglie parecchio gusto ai quiz.

Vero. E sono andato a leggere qualcosina non tutto.
Prendiamo questo che ho copiato da li.
Re: Luogo dei centri delle sfere che passano per tre punti

da ale.b » 03/01/2012, 00:10
Innanzi tutto nota che per tre punti non allineati nello spazio passa una e una sola circonferenza e questa circonferenza giace su di un piano.
Ad occhio, il luogo dei centri di tutte le sfere passanti per questi tre punti è la retta perpendicolare a questo piano, passante per il centro della circonferenza da essi determinata.
La sfera di raggio minimo in tal caso sarebbe quella che ha per centro il centro della circonferenza determinata dai tre punti.
Ti quadra?
Ho colorato in blu quello che ho copiato.
Forte, perché è esattamente quello che ho trovato meno di due ore fa.
E lo anche fatto. Insomma le sfere sono infinite.
In parole povere:
Avevo tracciato il piano passante per la circonferenza, siccome avevo il centro della circonferenza, facevo passare la perpendicolare al piano passante per il centro. Questa perpendicolare nel mio caso aveva anche la particolarità che passava per l'origine dei miei assi cartesiani.
Centro nell'origine tracciavo una sfera passante per i tre punti.
Ma era evidente che qualsiasi punto messo su quella retta era centro di una data sfera purchè maggiore come lunghezza del raggio della circonferenza.
Quindi come prova ne ho disegnato almeno 2.
Metterò il disegno.
Ciao

nino280 05-04-18 10:23

Re: Quiz per Erasmus
 
https://s31.postimg.cc/xpffer7ln/Sfera_dentro_Sfera.png



Ecco le sfere del quesito.
Il disegno in pratica è sempre lo stesso iniziale da cui sono partito.
Si vedono i punti, la circonferenza e due sfere una dentro l'altra ma ambedue passanti per la circonferenza.
In teoria se cancello la circonferenza (devo provare ma non ho dubbi che sia così) e trovo l'intersezione delle due sfere ritorno ad avere la circonferenza di partenza.
Notevole è il fatto che si vede l'interno della circonferenza colorato di quel rosso cupo. In effetti è il vero colore della sfera piccola che sporge dalla grande mentre il resto ne resta coperto, anche se si intravede come mescolanza di colori fra il verde e il rosso.
Io posso all'occorrenza spegnere la sfera grande per vedere solo la piccola tutta in rosso.
Volendo posso dare un po' di numeri sulle sfere che sono secondo il mio punto di vista anche loro interessanti.
Per esempio prendiamo le coordinate di un punto, il B , che era 5;6;7
Li elevo al quadrato e li sommo.
Ottengo 110.
Ne faccio la radice e ottengo il raggio della sfera grande che è 10,48808848
Ciao

nino280 05-04-18 14:08

Re: Quiz per Erasmus
 
Ho detto tutto sul romanzo poliziesco della circonferenza comunque orientata nello spazio? Non penso, c'è sempre qualcosa da dire e da aggiungere.
Per esempio ho tracciato la retta che per una straordinaria coincidenza va dal centro della circonferenza e normale al suo piano di giacenza, passa per l'origine. Se l'avessi voluto fare apposta non ci sarei mai riuscito. Si che angolo ha? Anzi che angoli ha rispetto all'asse x, all'asse y e all'asse z?
Be secondo me quando ho detto angolo al singolare avevo detto bene perché sono si tre angoli ma tutti uguali. Quindi anche questa è una straordinarietà di quel disegno, nel senso che quella retta si posiziona esattamente a metà fra gli assi x e y fra gli assi x e z e fra gli assi y e z. Su due pedi non so quanto valga, calcolarlo? Non ne ho voglia, misurarlo si. Avrete notato la mia ultima tattica. Dico una cosa diciamo una parola grossa "faccio una congettura" e poi la verifico se è vera. E quando è vera mi soddisfa molto di più.
Allora vado. E' già la terza volta oggi che dico vado.
Dove vado ora? A si a controllare l'angolo.
Ciao
https://s17.postimg.cc/qutn7hhvz/Alfa_Beta_Gamma.png


L'angolo che sta perfettamente a metà per tutti e tre gli assi come vedete è Alfa = Beta = Gamma = 54.73561°
CVD
Ciao

Erasmus 05-04-18 16:35

Re: Quiz per Erasmus
 
Quote:

Lagoon (Scrivi 816423)
Dati tre punti nello spazio A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) C(x3, y3, z3) calcolare il centro della circonferenza che passa per loro tre.

Concettualmente la cosa è molto facile. Ma il ricavare simbolicamente le coordinate del circocentro di un triangolo in funzione delle coordinate dei vertici (in tre dimensioni) risulta piuttosto laborioso.
Conviene, comunque, trovara anzitutto li lati come segmenti orientati (ossia come vettori). Non sapendo come mettere qui la "freccia" sopra una coppia di lettere maiuscole, indico i lati-vettori con le lettere minuscole in grassetto dei vertici opposti e con l'orientamento da un vertice al successivo considerendo i vertici in senso ciclico. Ossia:
a = B → C ;
b = C → A ;
c = A → B .

Ovviamente risulta
a = [(x3 – x2), (y3 – y2), (z3 - z2)];
b = [(x1 – x3), (y1 – y3), (z1 - z3)];
c = [(x2 – x1), (y2 – y1), (z2 - z1)].

Per sapere se un triangolo è isoscele basta provare se si annula o no uno di questi tre prodotti scalari:
[ (ab) . c = 0 ] ∨ [ (bc) · a = 0 ] ∨ [ (c a) · b = 0 ].[*]
[E' equilatero se si annullano tutti tre i prodotti scalari[*]].
Ricordo che se [x, y, z] e [u, v, w] sono due vettori (tridimensionali) il prodotto vettoriale non è commutativo e:
[x, y, z] × [u, v, w] = [(yw – zv), (zu – xw), (xv – yu)].
Le componenti di[x, y, z] × [u, v, w] sono i cofattori della prima riga della matrice
Codice:

| i    j  k |
| x  y  z |
| u  v  w|

Per sapere se è rettangolo basta provare se si annula uno dei prodotti scalari tra due lati-vettori:
a · b = 0 ∨ b · c = 0 ∨ c · a = 0.
Ricordo che il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti (ed è quindi commuttivo).
[x, y, z] · [u, v, w] = xu + yv + zw.
Nel seguito si indicheranno con Xc, Yc e Zc le coordinate del circocentro.
---------------
a) Se per caso il triangolo è equilatero allora il circocentro coincide col baricentro e allora:
[Xc , Yc, Zc] = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3, (z1+x2+z3)/3].
b) Se per caso il triangolo è rettangolo allora il circocentro è il punto medio dell'ipotenusa.
Supponiamo, per esempio, che sia a · b = 0. Allora
[Xc, Yc, Zc] = [(x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2 ]
c) In generale (per triangolo qualsiasi) si può procedere in diversi modi, in particolare in uno dei due seguenti.
d) Con la consueta geometria analitica.
Se fossimo in due dimensioni, nel piano cartesiano il circocentro sarebbe l'intersezione di due dei tre assi (che sono le perpendicolari a ciascun lato per il suo punto medio).
In tre dimensioni il circocentro è l'intersezione di tre piani dei quali uno è lo stesso piano del triangolo e gli altri due sono due dei tre piani rispettivamente perpendicolari ad un lato per il suo punto medio.
e) Con il calcolo vettoriale
Sia P(x, y, z) un punto qualsiasi del piano per i tre dati vertici del triangolo. Allora il segmento orientato da un vertice a P è combinazione lineare dei due lati-vettori di origine quel vertice.
Per esempio
v = A → P = αc + β(–b) = αc – βb
(dove α e β sono due parametri realii dipendenti da P).
Se allora scriviamo la distanza da P dai vertici ed uguagliamo una di esse a ciascuna delle altre due otteniamo due equazioni nelle incognite α e β. Messa la soluzione nell'espressione di [b]v[/V], le componenti di v aggiunte alle coordinate di A danno le coordinate del circocentro.

E' superfluo usare proprio la distanza invece del suo quadrato.
Abbiamo in generale [esplicitamente].
AP^2 = [α(x2–x1)+β(x3–x1)]^2 + [α(y2–y1)+β(y3–y1)]^2 + [α(z2–z1)+β(z3–z1)]^2;
BP^2 = [(α–1)(x2–x1)+β(x3–x1)]^2 + [(α–1)(y2–y1)+β(y3–y1)]^2 + [(α–1)(z2–z1)+β(z3–z1)]^2;
CP^2 = [α(x2–x1)+(β–1)(x3–x1)]^2 + [α(y2–y11)+(β–1)(y3–y1)]^2 + [α(z2–z1)+(β–1)(z3–z1)]^2.

Beh: credo di aver soddisfatto le richieste di Lagoon! ;)[/code]
Ciao ciao
–––––
:hello:
--------
P. S. [Editando]
1) Ho corretto un fottìo di "errori" di battitura e/o ... "errori di sbaglio" :D.

2) Ricordo che , calcolando dapprima le lunghezze a, b e c dei lati del triangolo e posta S la sua area, il raggio R del cerchio circoscritto vale
Codice:

      abc                                    a·b·c                                                          a·b·c                           
R = –––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––------------------------------------––––.
        4S      √[2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 – (a^4 +b^4 +c^4)]    √[(a+b+c)(-a+b+c)(a–b+c)(a+b–c)]

In queste uguaglianze, ovviamente:
a = √[x3 – x2)^2 + (y3 – y2)^2 +*(z3 – z2)^2];
b = √[x1 – x3)^2 + (y1 – y3)^2 +*(z1 – z3)^2];
c = √[x2 – x1)^2 + (y2– y1)^2 +*(z2 – z1)^2].

3) Non sarebbe male nemmeno portare il triangolo nel piano z = 0 mediante opportune affinità isometriche, calcolare quindi le coordinate del circocentro dell'ottenuto truìiangolo e poi riportare il triangolo e(col suo circocentro) dove stava con le affinità invewrse (e nell'ordine inverso.
Indico schematicamente il processo.
a) Calcolare un vettore perpendicolare al triangolo facendo il prodotto vettoriale di due lati-vettori.
Per esempio
p = b × c =[x1 – x3, y1 – y3, z1 – z3] × [x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1] = [px, py, pz].
b) Calcolare il versore perpendicolare al piano dell'asse z e del detto vettore p perpendicolare al triangolo.
Ossia: v = [px, py, pz] × [0, 0, 1] = [py, –px, 0];
vers(v) = n =[α, β, γ] {che nel caso presente vale [α, β, γ] =[1/√(px^2 + py^2)] [px, –py, 0]}.
c) Eseguire la rotazione attorno ad ndell'amgolo φ di inclinazione di p sull'asse z , cioè dell'angolo
φ = arccos[pz/√[px^2 + py^2 + pz^2]).
Questa rotazione è data dalla matrice:
Codice:

            | α^2 [i – cos(φ)]+cos(φ),  αβ[1 – cos(φ)] – γsin(φ),  αγ[1 – cos(φ)] +  βsin(φ) |
Rn(φ) = | βα[1 – cos(φ)] + γsin(φ),  β^2 [i – cos(φ)]+cos(φ),  βγ[1 – cos(φ)] –  αsin(φ) |.
            | γα[1 – cos(φ)] –  βsin(φ),  γβ[1 – cos(φ)] +  αsin(φ),  γ^2 [1 – cos(φ)]+cos(φ) |

Per eseguire la rotazione del triangolo si moltiplichi Rn(φ) per la seguente matrice quadrata nella quale le tre colonne sono le coordinate dei vertici:
Codice:

      | x1,  x2,  x3 |
T = | y1,  y2,  y3 |
      | z1,  z2,  z3 |

ottenendo una matrice del tipo:
Codice:

      | u1,  u2,  u3 |
T' = | v1,  y2,  v3 |
      | w1,  w2, w3 |

In questa,, siccome il nuovo triangolo T' è in un piano parallelo a quello degli assi x e y, la terza coordinata dei nuovi vertici deve venire la stessa (cioè: la terza riga del prodotto deve avere le componenti uguali: w1 = w2 = w3 ).
Ignorando questa terza comune coordinata (diciamola w) , si trovi il circocentro del nuovo triangolo T' (per esempio scrivendo le equazioni di due assi e trovando l'intersezione di questi).
Siano dunque [Uc, Vc, Wc] – dove Wc deve essere uguale a w – le coordinate del circocentro di T'.
Eseguendo la rotazione inversa della precedente si trovano le coordinate [Xc Yc, Zc] del circocentro del triangolo originario T. Ossia – osservando che Rn(–φ) si ottiene da Rn(φ) semplicemente cambiando sin(φ) in –sin(φ) – :
Codice:

| Xc |      | α^2 [i – cos(φ)]+cos(φ),  αβ[1 – cos(φ)] + γsin(φ),  αγ[1 – cos(φ)] -  βsin(φ) |  | Uc |
| Yc |  =  | βα[1 – cos(φ)] – γsin(φ),  β^2 [i – cos(φ)]+cos(φ),  βγ[1 – cos(φ)] + αsin(φ) | · | Vc |
| Zc |      | γα[1 – cos(φ)] + βsin(φ),  γβ[1 – cos(φ)] –  αsin(φ),  γ^2 [1 – cos(φ)]+cos(φ) |  | Wc |

A Ri–ciiaio :)


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 15:51.

Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it