Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

Erasmus 04-12-12 17:08

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi
[n*(n-1) + m*(m-1)]/[(n+m)*(n+m-1)] [...]
La formula ่ quella classica della probabilitเ senza reimbussolamento! [...]

OK: ancora il linquaggio della "casta degli iniziati"!
Ma forse ci sono.
C'่ una scatola (urna o "bussola"? :D) con n palline nere ed m palline marron.
Ne pesco una a caso. La probabilitเ che sia nera ่ n/(n + m).
Adesso le palline sono in tutto n + m – 1; e di queste, se quella estratta ่ nera, n – 1 sono nere.
Ne estraggo un'altra. Se la pallina giเ estratta era nera, ho la probabilitเ (n – 1/(n + m – 1) di estrarre un'altra pallina nera.
La probabilitเ di estrarre due palline nere ่ dunque
Pn = [n/(n + m)]ท[(n – 1)/(n + m – 1)] = n(n – 1)/[(n + m)(n + m – 1)].
Analogamente, la probabilitเ di estrarre due palline marron (senza ... "reimbussolare" la prima estratta) ่
Pm = m(m – 1)/[(n + m)(n + m – 1)].
La probabilitเ P di estrarre due palline nere o due palline marron ่ allora Pn + Pm, cio่
P = [n(n – 1) + m(m – 1)]/[(n + m)(n + m – 1)].

Ma ci sarebbe da obiettare (dato che qui conta solo il colore e non l'identitเ individuale del singolo elemento, come ่ invece nel quiz):
Siamo sicuri che 'sta formula va bene anche per sapere la probabilitเ che due precisi elementi appartengano entrambi all'uno o all'altro insieme di tutti i possibili insiemi formati uno da m elementi e l'altro da n elementi, tutti distinti uno da ogni altro per le rispettive [individuali] identitเ?
Ecco che allora si ritorna ... al metodo di Erasmus! :rolleyes:
Dalla cui formula, per pura semplificazioine, si ricava questa qua (della doppia estrazione "senza reimbussolamento" – come sto imparando a dire ora!].

Quindi le due diversissime situazioni sono tuttavia "equivalenti".

Ma l'Illustrissimo Mizarino mi contesterebbe e mi direbbe che le due situazioni sono equivalenti "a priori" (con un ragionamento di carattere ... "universale" che ha tentato di spiegare altre volte, e sempre con estrema taccagneria nel risparmiare parole).
[Mi viene in mente quel che diceva un mio collega di laboratorio quando (nel fare la relazione del lavoro del proprio gruppo) io faticavo a capire quel che diceva lui e lui faticava a capire quel che dicevo io:
Facile ่ quello che si conosce molto bene, difficile quello che si conosce molto poco!ป]. Tranne, of course, l'Illustrissimo per il quale ่ tutto facile, purch้ lui si degni di spenderci qualche minuto! :mad:
E siccome Erasmus, invece di essere "taccagno" di tempo e parole, ่ "prodigo", si permette di mostrare quella semplificazione che, dalla sua formula, arriva a quella della doppia estrazione "senza reimbussolamento"

Partiamo dunque con
P = [C(m + n – 2, m – 2) + C(m + n – 2, n – 2)]/C(m + n, m)
e sostituiamo ogni simbolo del tipo di C(h, k) con la sua definizione, cio่ con (h!)/[k!ท(h – k)!].
Codice:

          (m + n – 2)!    (m + n – 2)!              1                    1
          –––––––––– + ––––––––––          –––––––––  +  –––––––––
          n! (m – 2)!      m! (n – 2)!          n! (m – 2)!      m! (n – 2)! 
P =  ——————————————  =  —————————————— =
                    (m + n)!                            (m + n)(m + n – 1)
                    —————                          ———————––—
                      m! n!                                        m! n!

            m!            n!
      ––––––– + –––––––
      (m – 2)!      (n – 2)!        m(m – 1)  + n(n – 1)
=  ———————————– =  ——————————  .                [C. D. D. ]
        (n + m)(m + n – 1)        (n + m)(m + n – 1)

Ora imponiamo che questa probabilitเ P valga 1/2.
Codice:


m(m – 1)  + n(n – 1)      1         
–––––––––––––––––– = –––  –––> 2[m^2 – m + n^2 – n] = (m + n)^2 – (m + n) –––>
 (m + n)(m + n – 1)        2

––> 2(m^2 + n^2) – 2(m + n) = m^2 + n^2 + 2mn  – (m + n) ––> m^2 + n^2 – (m+n) = 2mn ––>

–––> m^2 + n^2 – 2mn =  m+n  –––> (n – m)^2 = n + m.

A questo punto, tu aspesi hai rilevato che, se m ed n devono essere entrambi interi, m + n deve essere il quadrato di un intero; e questo, dovendo essere compreso tra 30 e 60, non poteva essere che 49; e infine, (con l'ipotesi m ≤ n) doveva essere:
n + m = 49
n – m = 7.
Io, invece, da m^2 + n^2 – 2mn = m+n passo a m^2 – (2n + 1)ทm + (n^2 – n) = 0 che risolvo rispetto ad m.
E siccome ho assunto per ipotesi m ≤ n, delle due soluzioni scarto quella con il segno + davanti alla radice del discriminante perch้ mi darebbe m > n.
Codice:

        2n + 1 – √[(2n+1)^2 – 4ท(n^2 – n)]    2n + 1 – √(8n + 1)
m =  –––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––– .
                                2                                          2

Adesso osservo che se n ่ intero 8n + 1 ่ intero dispari; e se si vuole che anche m sia intero ่ necessario (ma ... chissเ se sarเ anche sufficiente) che 8n + 1 sia quadrato di un intero (il quale dovrเ essere dispari, diciamolo 2p + 1, con p intero). Da ci๒ mi viene subito:
Codice:

                                                                                                pท(p + 1)
8n + 1 = (2p+1)^2 = 4p^2 +4p +1 ––> 8n = 4ทpท(p +1) ––> n = –––––––– –––> 2n + 1 = p^2 + p + 1.
                                                                                                      2

Sostituendo allora 2n + 1 con p(p+1) + 1 e √[8n + 1] con 2p +1 nell'espressione di m in funzione di n, trovo:
Codice:

      p(p+1) + 1 – (2p + 1)      (p – 1)ทp
m = –––––––––––––––––– =  ––––––––.
                    2                          2

Siccome, nello specifico problema (pure generalizzato), m deve essere almeno 1, l'intero p deve essere almeno 2. Posto allora
p = k + 2,
la soluzione generale del problema (prescindendo dagli estremi del range!] ่ dunque:
Codice:

                                        (k + 1)(k + 2)                (k + 2)(k + 3)
Per ogni intero k ≥ 0:  m = ––––––––––––  ∧  n = –––––––––––– .
                                                  2                                  2

Ed infatti allora:
Codice:

            (k + 2)(k + 3 + k + 1)    (k + 2)(2k +4)
n + m = –––––––––––––––––– = –––––––––––– = (k + 2)^2;
                          2                            2

            (k + 2)(k + 3 – k – 1)    (k + 2)ท2
n – m = ––––––––––––––––––  = –––––––– =  k + 2.
                          2                          2 

(n – m)^2 = n + m ––>(k + 2)^2 = (k + 2)^2. [Identitเ!]

---------

Ciao, ciao

aspesi 05-12-12 09:21

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 637907)
C'่ una scatola (urna o "bussola"? :D)

Bussolotto

Quote:

Erasmus (Scrivi 637907)
La probabilitเ di estrarre due palline nere ่ dunque
Pn = [n/(n + m)]ท[(n – 1)/(n + m – 1)] = n(n – 1)/[(n + m)(n + m – 1)].
Analogamente, la probabilitเ di estrarre due palline marron (senza ... "reimbussolare" la prima estratta) ่
Pm = m(m – 1)/[(n + m)(n + m – 1)].
La probabilitเ P di estrarre due palline nere o due palline marron ่ allora Pn + Pm, cio่
P = [n(n – 1) + m(m – 1)]/[(n + m)(n + m – 1)].

Oh..... ;)

Quote:

Erasmus (Scrivi 637907)
Siamo sicuri che 'sta formula va bene anche per sapere la probabilitเ che due precisi elementi appartengano entrambi all'uno o all'altro insieme di tutti i possibili insiemi formati uno da m elementi e l'altro da n elementi, tutti distinti uno da ogni altro per le rispettive [individuali] identitเ?

S์.
Supponi di colorare 21 elementi (m) in marrone e 28 elementi in nero (n): i tuoi due precisi elementi iniziali sono indistinguibili, perch้ gli elementi si distinguono (e vengono assegnati alle rispettive sezioni) solo in base al loro colore.

Quote:

Erasmus (Scrivi 637907)
E siccome Erasmus, invece di essere "taccagno" di tempo e parole, ่ "prodigo", si permette di mostrare quella semplificazione che, dalla sua formula, arriva a quella della doppia estrazione "senza reimbussolamento"

Perch้ tu vuoi sempre approfondire....:)

:hello:

aspesi 08-12-12 11:37

Re: Estrazioni casuali
 
Perch้ aspettare la fine di una partita per sapere se una scommessa ่ vincente o no?:)
Ovviamente, per vincente si deve intendere che si guadagna sempre qualcosa, a prescindere dall'esito effettivo della gara.

Esaminiamo l'arbitraggio delle scommesse sportive.
Che ่ utilizzabile in talune (rare) circostanze, in particolare scegliendo le quote pi๙ favorevoli (e scommettere tutti i possibili risultati per quell'evento!) fra diversi bookmaker.
Occorre disporre di capitali notevoli per avere ritorni apprezzabili, e ove possibile ่ un investimento sicuro (ammessa l'affidabilitเ di pagatore dei gestori).



Consideriamo una partita di calcio, il cui esito pu๒ essere 1 o X o 2.
Ad ogni esito dobbiamo associare una giocata (somma da scommettere per ciascun esito).
La determinazione dell'importo che si vince ่ decisa dai bookmaker (quota associata ad ogni esito, supponiamo Q1, Q2, Q3).

Qual ่ il vincolo da rispettare affinch้ ci sia convenienza a scommettere (su tutti i possibili esiti 1, 2, 3)?
E come va suddivisa la giocata (S) in S1, S2 e S3 onde ottimizzare la vincita?

:hello:

aspesi 10-12-12 09:17

Re: Estrazioni casuali
 
Il quiz precedente ่ troppo facile o non interessa nessuno? :mmh:

Eppure, tanta gente si rovina con i vari bingo e gratta o vinci...

:hello:

nino280 10-12-12 09:27

Re: Estrazioni casuali
 


Io non l'ho scaricato:D
Ciao
Spiego:
mentre Aspesi parlava di previsioni di incontri di calcio ่ comparsa questa publicitเ.:hello:

aspesi 10-12-12 11:55

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

nino280 (Scrivi 639545)

Spiego:
mentre Aspesi parlava di previsioni di incontri di calcio ่ comparsa questa pubblicitเ.:hello:

Strano, molto strano... :D Dici che qualcuno ci controlla?:rolleyes:

Comunque, penso che quella pubblicitเ esamini la possibilitเ di migliorare le previsioni sugli eventi futuri (che invece sono chiaramente impossibili per i giochi casuali!); invece, il mio quiz parla di arbitraggio
http://www.sportytrader.it/sure-bet.htm
che ่ matematicamente sempre vincente e applicabile anche nei mercati finanziari, ad esempio sulle valute, con un guadagno sicuro (ovviamente, solo quando ่ possibile!), in quanto non si tratta di pronostici, ma di scommesse su TUTTI gli esiti possibili.

:hello:

aspesi 11-12-12 09:53

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 639158)
Consideriamo una partita di calcio, il cui esito pu๒ essere 1 o X o 2.
Ad ogni esito dobbiamo associare una giocata (somma da scommettere per ciascun esito).
La determinazione dell'importo che si vince ่ decisa dai bookmaker (quota associata ad ogni esito, supponiamo Q1, Q2, Q3).
Qual ่ il vincolo da rispettare affinch้ ci sia convenienza a scommettere (su tutti i possibili esiti 1, 2, 3)?
E come va suddivisa la giocata (S) in S1, S2 e S3 onde ottimizzare la vincita?

:hello:

Facciamo un esempio relativo ad un incontro di calcio; la squadra di casa ่ tecnicamente pi๙ forte e messa meglio in classifica.
Le proposte (quote di vincita) di due bookmaker sono:
A : segno 1 = 1,9 ; segno X = 3,1 ; segno 2 = 4,2
B : segno 1 = 1,6 ; segno X = 3,4 ; segno 2 = 6

Perch้ ่ conveniente scommettere?
Come, dove e quanto bisogna scommettere (si hanno a disposizione 500 euro) per realizzare il miglior guadagno?

:hello:

Mizarino 11-12-12 11:24

Re: Estrazioni casuali
 
Adesso capisco come hai fatto a comprare le case che ti costano 3000 € di IMU!...

aspesi 11-12-12 12:16

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 639912)
Adesso capisco come hai fatto a comprare le case che ti costano 3000 € di IMU!...

Ma se fai il conto, con le scommesse sportive si guadagnano solo spiccioli... a meno di rischiare milioni di euro...

La casa in montagna l'ho comprata nel 2000, ero da poco andato in pensione e avevo ancora i figli all'universitเ... per๒, con la liquidazione, l'anno prima avevo "giocato" in borsa. In quel periodo, saliva tutto, anche le ciofeche :D in pochi mesi ho raddoppiato la liquidazione e ho avuto il c..o di ritirare la metเ per comprare la casa.
Appena pochi mesi prima del crollo dei mercati... l'altra parte ่ ancora l์, e pi๙ o meno ่ ancora allo stesso valore (forse anche qualcosa in meno...) :o

:hello:

aspesi 12-12-12 14:21

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 639158)
Consideriamo una partita di calcio, il cui esito pu๒ essere 1 o X o 2.
Ad ogni esito dobbiamo associare una giocata (somma da scommettere per ciascun esito).
La determinazione dell'importo che si vince ่ decisa dai bookmaker (quota associata ad ogni esito, supponiamo Q1, Q2, Q3).

Qual ่ il vincolo da rispettare affinch้ ci sia convenienza a scommettere (su tutti i possibili esiti 1, 2, 3)?
E come va suddivisa la giocata (S) in S1, S2 e S3 onde ottimizzare la vincita?

:hello:

Eh..eh... qui sono tutti signori, o signorini....
non interessano gli spiccioli.... (magari, ่ pi๙ semplice chiederli al babbo :rolleyes:)


Nelle scommesse con quote del picchetto (Q1 Q2 Q3...) di vincita prefissata al verificarsi dei determinati esiti (1 2 3 ...) dell'evento, quello da valutare ่ la somma degli inversi delle quote di vincita. Cio่:
1/Q1 + 1/Q2 + 1/Q3 + ...

Se tale somma ่ superiore a 1 si ha perdita certa (giocando tutti gli eventi possibili)
Viceversa, se tale somma ่ inferiore a 1 si avrเ un guadagno.

Nel caso di posta unitaria, questo guadagno ่:
= (Q1Q2Q3 - Q1Q2 - Q1Q3 - Q2Q3) / (Q1Q2 + Q1Q3 + Q2Q3)


Per facilitare i calcoli, si pu๒ porre:
R1 = 1/Q1
R2 = 1/Q2
R3 = 1/Q3
e in questo caso, giocando 1, la vincita totale sarเ:
= 1/(R1 + R2 + R3)


La suddivisione della giocata (S) nei tre eventi (S1 S2 S3), al fine di vincere lo stesso importo qualunque sia l'esito, ่:
S1 = S * R1/(R1 + R2 + R3)
S2 = S * R2/(R1 + R2 + R3)
S3 = S * R3/(R1 + R2 + R3)


Esempio:
Q1 = 2,53
Q2 = 3,65
Q3 = 4,90
Si voglia giocare complessivamente S=100 euro
R1= 0,3953
R2= 0,2740
R3= 0,2041
Si punteranno:
S1 = 45,26 euro
S2 = 31,37 euro
S3 = 23,37 euro
e qualunque sarเ l'esito fra 1 2 o 3, la vincita sarเ sempre di 114,5 euro (guadagno 14,5 euro)

:hello:


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