Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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Erasmus 27-10-18 16:28

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 825559)
[...] Un mazzo di 52 carte francesi [...]

Francesi? :mmh:
Ma non ha importanza ...
Quote:

aspesi (Scrivi 825559)
[...] Un mazzo di 52 carte [...] è distribuito fra 4 giocatori in modo tale che ciascun giocatore ne riceva 13.
Calcolare la probabilità che almeno 2 dei 4 giocatori non ricevano assi.

L'importante è che 4 di 52 oggetti distinti sono "marcati", (o "marchiati"? :mmh: )
––––––––
Tento un approccio (ma sai bene che i quiz di probabilità non sono il mio forte).

Me ne frego delle 52 carte e considero solo i modi in cui i 4 assi possono essere assegnati ai 4 giocatori 1, 2, 3 e 4. :)
Tra questi conto quanti sono i casi in cui a due giocatori non capita neancher un asso.
[aspesi, mago (o drago?) del calcolo combinatorio, sa già in quanti modi i 4 assi possono uscire così o cosà! Io non lo so a priori e li debbo contare (sperando di non perdermene qualcuno, come m'è successo con i "rettangoli" della "piramide" di quadratini).
Codice:

1  2  3  4  ←  Giocatori
––––––––
0  0  0  4    ↓ Numero di assi ricevuti
0  0  4  0
0  4  0  0
4  0  0  0
0  0  1  3
0  1  0  3
1  0  0  3
0  0  3  1
0  1  3  0
1  0  3  0
0  3  0  1
0  3  1  0
1  3  0  0
3  0  0  1
3  0  1  0
3  1  0  0
0  0  2  2
0  2  0  2
2  0  0  2
0  2  2  0
2  0  2  0
2  2  0  0

22 casi favorevoli
Codice:

0  1  1  2
0  1  2  1
0  2  1  1
1  0  1  2
1  0  2  1
2  0  1  1
1  1  0  2
1  2  0  1
2  1  0  1
1  1  2  0
1  2  1  0
2  1  1  0
1  1  1  1

13 casi "sfavorevoli", 22+13 = 35 casi in tutto.

Ergo, - salvo errori o omissioni – la richiesta probabilità dovrebbe essere
22/35 = 0,6(285714) ≈ 62,86%
–––
:hello:

aspesi 27-10-18 17:45

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 825572)
Francesi? :mmh:

Le carte francesi sono formate da 2 mazzi: il rosso da 52 (dall'asso al K) e il blu sempre da 52; e poi ci sono le matte o jolly: 2 rosse e 2 blu


Quote:

Erasmus (Scrivi 825572)
Tento un approccio (ma sai bene che i quiz di probabilità non sono il mio forte).

... = 35 casi in tutto.

Ergo, - salvo errori o omissioni – la richiesta probabilità dovrebbe essere
22/35 = 0,6(285714) ≈ 62,86%
–––
:hello:

Mi spiace... NO!
I casi che hai esaminato non sono equiprobabili

:hello:

astromauh 27-10-18 17:50

Re: Estrazioni casuali
 
Una soluzione ce l'avrei...

Ma non so se è quella giusta. :D

Ci debbo pensare un altro po'.

:hello:

PS

Ne ho trovata un'altra ma non so decidere qual è quella buona. :spaf:


OK ho deciso P = 0,331332533013205 Ho indovinato?

aspesi 27-10-18 18:34

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 825575)

OK ho deciso P = 0,331332533013205 Ho indovinato?

:ok: Ottima scelta!
:ok:

:hello:

astromauh 27-10-18 18:51

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 825559)
Un altro sulla probabilità. Poi basta (per un po') :D

Un mazzo di 52 carte francesi è distribuito fra 4 giocatori in modo tale che ciascun giocatore ne riceva 13.
Calcolare la probabilità che almeno 2 dei 4 giocatori non ricevano assi.

:hello:


Il trucco consiste nell'eliminare le 52 carte per trasformarle mentalmente in "posizioni".

Ogni giocatore ha a disposizione 13 posizioni, ma siccome il quiz riguarda un paio di giocatori possiamo mettere 26 carte rovesciate da un lato che chiameremo settore A e 26 carte rovesciate da un altro lato che chiameremo settore B, e prendere 4 assi da un altro mazzo di carte. ;)

Prendiamo il primo asso, quante sono le probabilità che finisca nel settore A?

Sono 1/2 o meglio 26/52

Prendiamo il secondo asso, questa volta c'è una posizione in meno, sia intesa come posizione del settore A e sia come posizione in meno del totale.

Le probabilità che anche questo asso finisca nel settore A

Sono quindi 25/51

e quindi la probabilità che anche il terzo e il quarto asso finiscano in questo settore sono rispettivamente 24/50 e 23/49.

Però fin qui abbiamo considerato specificatamente due determinati giocatori, ma il quiz non specifica quale dei quattro giocatori debbano essere quelli che ricevono o non ricevano gli assi, per cui dobbiamo moltiplicare la probabilità per 6.

Perché si potrebbero trattare dei giocatori 1,2 o 1,3 o 1,4 o 2,3 o 2,4 o 3,4

E quindi

P = 6 * (26/52) * (25/51) * (24/50) * (23/49) = 0,331332533013205

PS

Perché poi basta? Ne voglio ancora!

:hello:

Erasmus 27-10-18 23:50

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 825574)
I casi che hai esaminato non sono equiprobabili

Hai ragione!
Per esempio, che i 4 assi capitino tutti ad un solo giocatore è molto meno probabile del caso di un asso a ciascun giocatore; e ancor meno probabile – lo dico a naso ricordandomi di quando, più di 60 anni fa, giocavo a poker – del caso che ad un giocatore ne capitrino due e a due altri giocatori ne capiti uno.
Il mio metodo andrebbe bene se si riuscisse a dare un peso ai casi di
• 4 assi ad un solo giocatore;
• 3 assi ad un giocatore e 1 ad un altro;
• 2 assi ad un giocatore e 2 ad un altro:
• 2 assi ad un giocatore e 1 asso ad due altri giocatori;
• 1 asso a ciascuno dei quattro giocatori.
Ci scommetterei che tu i pesi da dare a ciascuno di questi casi l,i sai! Invece io no. :o
Pendso che per rendere equiprobabili i singoli casi dovrei stinguere un asso da ciascun altro.
Per esempio, mentre i casi dei 4 assi tutti ad un solo giocatore sono 4, i casi di un asso per giocatore sono 4! = 24 (percfhé a ciascun giocatore può capitare ql'asso di un seme o quello di aun altro seme.
––––––––––
Astromauh o/e Miza potrebbe/ro fare una simulazione (sorteggiando casualmente tante volte la distribuzione delle 52 carte).
....
Provo se riesco ad assegnare un giusto peso a ciascuno dei 5 tipi di casi!
1) 4 casi con tutti gli assi ad un solo giocatore . Peso C(4, 4) = 1 per ciascun caso.
2) 12 casi con 3 assi ad un giocatore ed 1 ad un altro. Peso C(4, 1) = 4 per ciascun caso.
3) 6 casi con 2*assi ad un giocatore e 2 ad un altro. Peso C(4, 2) =6 per ciascun caso.
• Peso complessivo dei 22 casi "favorevoli" : 1·4 + 4·12 + 6·6 = 88
4) 12 casi con 2 assi ad un giocatore, 1 ad un secondo e 1 ad un 3°. Peso 4!/2 = 12 per ogni caso.
5) 1 caso con 1 asso a ciascuno dei 4 giocatori. Peso 4! = 24.
• • Peso complessivo dei 13 casi "sfavorevoli": 12·12 + 24·1 = 168,
• • • Peso totale: 88+168 = 256
Ergo: secondo il mio nuovo conto (che aspesi mi boccerà di nuovo :lipssealed:) la probabilità che almeno 2 dei 4 giocatori non ricevano assi è 88/256 = 0,34375 (solo 3,7% maggiore di quella calcolata da astromauh e approvata da aspesi)
–––
:hello:

astromauh 28-10-18 08:26

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 825587)

Il mio metodo andrebbe bene se si riuscisse a dare un peso ai casi di
• 4 assi ad un solo giocatore;
• 3 assi ad un giocatore e 1 ad un altro;
• 2 assi ad un giocatore e 2 ad un altro:
• 2 assi ad un giocatore e 1 asso ad due altri giocatori;
• 1 asso a ciascuno dei quattro giocatori.

Astromauh o/e Miza potrebbe/ro fare una simulazione (sorteggiando casualmente tante volte la distribuzione delle 52 carte).

Il mio ragionamento è tanto lineare e semplice, quanto il tuo è complicato e fumoso. :D

Ma che ti frega di sapere quanti assi riceve ciascun giocatore, il quiz parla di coppia di giocatori ed è su questo che devi concentrarti. Va bene, ammetto che anch'io avevo incominciato a ragionare alla tua maniera, ma quella è una strada che non porta da nessuna parte.

La simulazione non te la faccio, perché non ce ne bisogno. :mad:

:hello:

aspesi 28-10-18 11:10

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 825595)
La simulazione non te la faccio, perché non ce ne bisogno. :mad:

:hello:

M'è venuto qualche dubbio, per cui la simulazione potrebbe essere utile (sempre che tu ne abbia voglia... ;))

Poi spiego il perché

:hello:

aspesi 28-10-18 12:51

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 825587)
Hai ragione!
Per esempio, che i 4 assi capitino tutti ad un solo giocatore è molto meno probabile del caso di un asso a ciascun giocatore; e ancor meno probabile – lo dico a naso ricordandomi di quando, più di 60 anni fa, giocavo a poker – del caso che ad un giocatore ne capitrino due e a due altri giocatori ne capiti uno.
Il mio metodo andrebbe bene se si riuscisse a dare un peso ai casi di
• 4 assi ad un solo giocatore;
• 3 assi ad un giocatore e 1 ad un altro;
• 2 assi ad un giocatore e 2 ad un altro:
• 2 assi ad un giocatore e 1 asso ad due altri giocatori;
• 1 asso a ciascuno dei quattro giocatori.

–––
:hello:

Il tuo ragionamento andrebbe bene se tu avessi 4 assi da distribuire fra 4 persone. I modi totali sono 4^4 = 256 disposizioni, esattamente quelle che tu hai trovato ed esaminato.

Ma qui abbiamo 52 carte tra cui ci sono i 4 assi, e ogni giocatore riceve 13 carte, tra le quali ci possono essere da 0 a 4 assi. E' una situazione diversa.

Il procedimento di astromauh è geniale e la sua soluzione (p = 276/833 ----> 0,331332533) è analoga a quella che avevo ottenuto io in questo modo:

Calcolare la probabilità che due dei 4 giocatori abbiano esattamente zero assi....e non cercando di calcolare altro, include anche il fatto che uno dei due soggetti restanti abbia comunque zero assi:

Ho 4 giocatori A B C D : calcolo la probabilità che A abbia zero assi, poi moltiplico per la probabilità che anche B abbia zero assi (dato che A ne ha avuti zero, quindi a B rimangono 39 carte con 4 assi dentro) e infine moltiplico per tutte le coppie che si possono fare con 4 giocatori... (combinazioni(4,2) = 6).

[C(4,0) * C(48,13)] / C(52,13) * [(C(4,0) * C(35,13)] / C(39,13) * 6 = (2*23*6)/(17*49) = 276/833

Dopo la tua sollecitazione di esaminare tutti i 35 modi che hai elencato, mi sono messo a calcolarli (secondo il loro "peso").

I casi possibili sono tutti i possibili raggruppamenti delle 52 carte a 13 a 13, moltiplicato per i possibili raggruppamenti delle rimanenti 39 carte a 13 a 13, moltiplicato per i possibili raggruppamenti delle rimanenti 26 carte a 13 a 13, moltiplicato per 1, cioè le 13 rimanenti 13 carte per l'ultimo giocatore.
C(52,13) * C(39,13) * C(26,13) * C(13,13) = 5,36447E+28

Vediamo ora i vari casi:

1) 4 0 0 0 + 0 4 0 0 + 0 0 4 0 + 0 0 0 4
= C(4,1) * C(4,4) * C(48,9) * C(39,13) * C(26,13) * C(13,13) = 5,66715E+26 -----> p = 0,010564226

2) 3 1 0 0 + 3 0 1 0 + 3 0 0 1 + 1 3 0 0 + 0 3 1 0 + 0 3 0 1 + 1 0 3 0 + 0 1 3 0 + 0 0 3 1 + 1 0 0 3 + 0 1 0 3 + 0 0 1 3
= 12 * C(4,3) * C(48,10) * C(1,1) * C(38,12) * C(26,13) * C(13,13) = 8,84076E+27 -----> p = 0,164801921

3) 2 2 0 0 + 2 0 2 0 + 2 0 0 2 + 0 2 2 0 + 0 2 0 2 + 0 0 2 2
= 6 * C(4,2) * C(48,11) * C(2,2) * C(37,11) * C(26,13) * C(13,13) = 7,23335E+27 -----> p = 0,134837935

4) 2 1 1 0 + 2 1 0 1 + 2 0 1 1 + 1 2 1 0 + 1 2 0 1 + 0 2 1 1 + 1 1 2 0 + 1 0 2 1 + 0 1 2 1 + 1 1 0 2 + 1 0 1 2 + 0 1 1 2
= 12 * C(4,2) * C(48,11) * C(2,1) * C(37,12) * C(1,1) * C(25,12) * C(13,13) = 3,13445E+28 -----> p = 0,584297719

5) 1 1 1 1
= C(4,1) * C(48,12) * C(3,1) * C(36,12) * C(2,1) * C(24,12) * C(1,1) * C(12,12) = 5,65942E+27 -----> p = 0,105498199

La somma delle cinque probabilità precedenti è giustamente = 1
Però... sorpresa, la somma delle prime tre probabilità (che dovrebbe essere la risposta al quiz) è = 0,310204082 (che è un valore diverso rispetto al 0,331332533 trovato col precedente procedimento) .
La differenza è = 0,021128451 che corrisponde esattamente al doppio del caso 1) 4 0 0 0

Sono propenso a ritenere che il risultato giusto sia 0,310204082 = 76/245 (verifica con una simulazione?), ma non capisco perché e dove sia annidato l'errore...
Forse perché con il primo procedimento si è moltiplicato tutto per 6, mentre i modi in cui i 4 assi vanno tutti ad uno stesso giocatore sono solo 4.

:hello:

astromauh 28-10-18 13:55

Re: Estrazioni casuali
 
Non mi va di fare una simulazione.
  1. Perché non vedo che cosa ci possa essere di sbagliato nella procedura che ho adottato
  2. Perché l'ultima simulazione, nonostante Aspesi me l'abbia data per buona, non andava troppo bene, e dovrei vedere con calma perché.

Chiedete a Mizarino.

:hello:

PS

Praticamente nella mia procedura considero soltanto gli assi e ignoro tutte le altre carte.
Però non vedo chi me lo potrebbe impedire.

Ci sono da distribuire le 52 carte in due gruppi. Decido di distribuirle iniziando dai 4 assi, e subito dopo mi fermo, perché il problema non chiede nulla sulle altre carte.

I 4 assi distribuiti in un modo casuale hanno la probabilità che avevo calcolato di finire tutti e quattro in quello che avevo chiamato il gruppo A, o il settore A, adesso non ricordo bene.

Ma siccome il quiz non specificava quale dovessero essere la coppia di due giocatori che detiene la totalità degli assi, moltiplico la probabilità ottenuta per 6.

PPS

Mah? Certo ci potrebbe anche essere il caso che tutti e quattro gli assi finiscano nelle mani di un unico giocatore. Per cui in questo caso con chiunque facesse coppia questo giocatore, la coppia risulterebbe detenere la totalità degli assi.
Ma secondo me questo non fa la differenza.


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