Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

astromauh 02-09-18 16:53

Re: Estrazioni casuali
 
B=3 N=1 T= 4 : 2
B=6 N=3 T= 9 : 3
B=10 N=6 T= 16 : 4
B=15 N=10 T= 25 : 5
B=21 N=15 T= 36 : 6
B=28 N=21 T= 49 : 7
B=36 N=28 T= 64 : 8
B=45 N=36 T= 81 : 9
B=55 N=45 T= 100 : 10
B=66 N=55 T= 121 : 11
B=78 N=66 T= 144 : 12
B=91 N=78 T= 169 : 13
B=105 N=91 T= 196 : 14
B=120 N=105 T= 225 : 15
B=136 N=120 T= 256 : 16
B=153 N=136 T= 289 : 17
B=171 N=153 T= 324 : 18
B=190 N=171 T= 361 : 19
B=210 N=190 T= 400 : 20
B=231 N=210 T= 441 : 21
B=253 N=231 T= 484 : 22
B=276 N=253 T= 529 : 23
B=300 N=276 T= 576 : 24
B=325 N=300 T= 625 : 25
B=351 N=325 T= 676 : 26
B=378 N=351 T= 729 : 27
B=406 N=378 T= 784 : 28
B=435 N=406 T= 841 : 29
B=465 N=435 T= 900 : 30
B=496 N=465 T= 961 : 31

Modificando un po' il programma che avevo fatto ottengo questo output.

Ma adesso mi ่ venuta fame...

:hello:

astromauh 02-09-18 17:44

Re: Estrazioni casuali
 
La regola di questi numeri ่ che la differenza tra B e N elevata al quadrato ่ uguale alla somma di B con N.

(B - N)^2 = B + N

Resta da capire perch้. :mmh:

:hello:

Erasmus 02-09-18 17:51

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 823458)
Procedimento?

Fondamentale ่ il ricordarsi che il numero C(N, 2) di coppie distinte di N oggetti ่
C(N, 2) = N(N – 1)/2.

Detto b il numero di palline bianche ed n quello di palline nere:
1) Le palline sono in tutto b+n con 800 < b+n < 900 ed ่ b > n.
2) Il numero D di coppie di palline di colore diverso ่ [accoppiando ciascuna delle b palline bianche con ciascuna delle n palline nere]:
D = nb.
3) Il numero E di coppie di palline dello stesso colore ่ evidentemente:
E = C(b, 2) + C(n, 2) = b(b –1)/2 + n(n-1)/2 = [b^2 + n^2 – (b+n)]/2.
Controllo: Deve essere D + E = C(b+n, 2). Infatti:
E + D = (b^2 – b + n^2 – n)/2 + nb = [(b^2 + n^2 + 2nb) – (b+n)]/2 = [(n+b)^2 – (n+b)]/2 =
= [(n+b)(n+b–1]/2 = C(b+n, 2). OK!

Siccome la probabilitเ di estrarre due palline di colore uguale ่ la stessa di estrarre due palline di colore diverso, vuol dire che:
E = B
ossia
b^2 –b + n^2 – n = 2nb <=> (b^2 + n^2 - 2nb) = (b+n) <=> (b – n)^2 = b+n.
L'unico quadrato [di unnaturale] maggiore 800 e minore di 900 ่ 841 = 29^2
Dunque
b + n = 841 e b – n = 29
Da cui
b = 435 e n = 406.
–––
:hello:

astromauh 02-09-18 17:56

Re: Estrazioni casuali
 
Senza guardare l'output.

se B - N = 20

seguendo la regola appena trovata, allora

B + N = 400

E risolvendo il sistema abbiamo

2 B = 420

B = 210

e quindi N = 190

E' giusto! :ok:

:hello:

aspesi 02-09-18 18:59

Re: Estrazioni casuali
 
:ok: Erasmus e astromauh

Pongo T = B + N

Se la probabilitเ di estrarre due palline dello stesso colore ่ 0,5
BB + NN
anche la probabilitเ di estrarre le due palline con colori diversi sarเ 0,5
BN + NB

Quindi:
2 * B * N = (1/2) * T * (T-1)

Sostituisco B = T - N

2 * (T - N) * N = (1/2) * (T^2 - T)

T * N - N^2 = (1/4) * (T^2 - T)

N^2 - T * N + (1/4) * (T^2 - T) = 0

N = (T - RADQ(T^2 - T^2 + T)) / 2 = (T - RADQ(T)) / 2

e

B = (T + RADQ(T)) / 2

La somma delle palline T = B + N deve essere un quadrato (e fra 800 e 899 l'unico ่ 841)

B e N sono i numeri triangolari:
https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_triangolare
http://oeis.org/A000217

:hello:

Erasmus 03-09-18 04:02

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 823458)
Procedimento?

Altro procedimento. :)
Sia b il numero di palline bianche, sia n il numero di palline nere, con
b > n ∧ 800 < b+n < 900;
e la probabilitเ di estrarre due palline dello stesso colore sia 1/2.

Estraiamo due palline una pallina alla volta.
La probabilitเ che la prima pallina sia bianca ่:
Codice:

    b
  ––––– .
  b + n

Se la prima pallina ่ uscita bianca, la probabilitเ che anche la seconda esca bianca ่:
Codice:

    b – 1
  –––––––– .
  b + n – 1

La probabilitเ B che escano bianche entrambe le due palline ่:
Codice:

        b          b – 1              b^2 – b
B = –––– ท ––––––––– = ––––––––––––––– .    (*)
      b + n    b + n – 1      (b+n)^2 – (b+n)

Analogamente, la probabilitเ N che escaqno nere entrambe le due palline ่:
Codice:

        n          n – 1              n^2 – n
N = –––– ท ––––––––– = ––––––––––––––– .    (**)
      b + n    b + n – 1      (b+n)^2 – (b+n)

La probabilitเ che le due palline escano dello stesso colore ่ B + N cio่::
Codice:

                    b^2 –b                    n^2 – n                b^2 + n^2 – (b+n)
B + N =  ––––––––––––––  +  ––––––––––––––– = –––––––––––––––––––––      (***)
              (b+n)^2 – (b+n)      (b+n)^2 – (b+n)    b^2 +n^2 + 2bn – (b+n)

e questa deve valere 1/2.
Uguagliando allora B + N ad 1/2 si ha:
Codice:

    b^2 + n^2 – (b+n)        1
––––––––––––––––––––  = –––  ⇔ 2b^2 + 2n^2 – 2(b+n) = b^2 + n^2 +2bn –(b+n)  ⇔
b^2 +n^2 +2bn –(b+n)      2

⇔ b^2 + n^2 – 2nb = b+n ⇔ (b – n)^2 = b + n.  (****)

Proprio come col precedente procedimento!
Ricordiamo ora che b ่ maggiore di n e che il numero totale di palline b+n ่ maggiore di 800 e minore di 900.

@ nino280
Questo numero b+n deve essere un quadrato perfetto perch้ ่ il quadrato di b – n. Ma l'unico quadrato perfetto maggiore di 800 e minore di 900 ่ 841 che ่ il quadrato di 29,
Dunque deve essere b + n = 841 e b – n = 29. Fa' sistema e trovi:
Codice:

                b + n = 841                          b + n = 841
                b – n =  29                            b – n  = 29
                –––––––––                          –––––––––––
Sommando  2b = 870          Sottraendo    2n =  812          –––> b = 435;  n = 406.

–––––
:hello:

nino280 04-09-18 07:38

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 823480)
L'unico quadrato di naturale maggiore di 800 e minore di 900 ่ 841 = 29^2 per cui si ha il sistema:
b – n = 29 ∧ b+ n = 841 ⇔ 2b= 870 ∧ 2n = 812 ⇔ b= 435 ∧ n = 406.
–––
:hello:

Io questa bella vicenda delle palline non l'ho seguita o meglio l'ho seguita ma come tutte le vicende delle combinazioni probabili non ci ho capito un'acca, perch้ non mi entra e non capisco neanche la miliardesima parte.
Per๒ ad una lettura molto ma molto superficiale, che vuol dire quel segno di elevazione ^ a livello stradale che io nemmeno riesco a scrivere (non ce l'ho sulla tastiera) e se lo prendo dal segno di elevazione lui o lei la tastiera me lo mette ad apice?
Ciao

astromauh 04-09-18 09:38

Re: Estrazioni casuali
 
Ʌ

Digita charmap nella barra di ricerca veloce di window(in basso a sinistra), e seleziona i caratteri che ti servono.

ɅȶɑʨʥɰʉψϡѼѲЮ۝ڻὭ†⅝Ɥꭆﮝﺞ



:hello:

Erasmus 04-09-18 11:43

Re: Estrazioni casuali
 
@ Nino280
Ho modificato l'ultimo mio intervento per renderlo di pi๙ facile lettura (e quindi di pi๙ immediata comprensione).
Quote:

nino280 (Scrivi 823494)
[...] che vuol dire quel segno di elevazione ^ a livello stradale [...]?

Questa specie di V capovolta ่ il simbolo logico di "e" (o, se preferisci l'inglese, di AND).
Un sistema di due equazioni dice che devono essere verificate entrambe.
Supponi, per esempio, che la somma di due numeri sia 10 ed il loro prodotto sia 24.
Ci sono due "proposizioni" distinte che devono essere verificate dai due numeri (dicamoli x ed y) per ora ancora sconosciti (detti appunto "incognite").
a) ซ La somma dei due numeri vale 10 ป ––> x + y = 10;
b) ซ Il prodotto dei due numeri vale 24 ป ––> xทy = 24.
Se diciamo con una sola frase le condizioni alle quali devono sottostare le incognite diciamo:
ซLa somma dei due numeri vale 10ป E ซil prodotto dei due numeri vale 24ป.
In formula:
(x + y = 10) ∧ (xทy = 24). [Il simbolo "∧" si legge "e" in italiano e "and" in inglese]
Un "sistema di equazioni" (che, ovviamente, devono essere verificate dai medesimi valori delle incognite), puoi scriverlo con le equazioni nella stessa riga (senza andare a capo) mettendo appunto tra una equazione e la successiva ol simbolo "∧".
Nel nostro esempio, il sistema
x+y = 10
xy = 24
scritto in riga ่:
(x + y = 10) ∧ (xทy = 24),
frase che naturalmente si legge cos์:
ซIcs pi๙ ipsilon uguale dieciป e ซics per ipsilon uguale ventiquattroป.
[Risolvendo (anche se non c'entra) hai due soluzioni Una ่
(x = 4) ∧ (y = 6).
L'altra ่
(x = 6) ∧ (y = 4).

Il simbolo logico di "o" (in inglese OR) ่ proprio una specie di V, precisamente "∨" (di cui la capovolta ่ appunto "∧").
Dire che due numeri x e y sono tali che la loro somma vale 10 ed il loro prodotto vale 24, alla fine della fiera equivale a dire che uno dei due vale 4 e l'altro vale 6, ossia che:
[(x = 4) e y = 6)] oppure [(x = 6) e (y = 4)] .
E se mettiamo le soluzioni in forma di "coppie ordinate" abbiamo:
[color="Blue"][(x, y] = [4, 6] oppure [x, y] = [6, 4]/COLOR] .
Il simbolo di "equivalenza logica" (che quindi si legge "equivale") ่ "⇔".
In formula possiamo scrivere cos์:
[(x + y = 10) ∧ (xทy = 24)] ⇔ [[(x = 4) ∧ (y = 6)] ∨ [(x = 6) ∧ (y = 4)].
In forma pi๙ compatta:
[(x + y = 10) ∧ (xทy = 24)] ⇔ [x, y] = [4. 6] ∧ [x, y] = [6, 5]
[Lettura: ซx+y = 10ป E ซxy = 24ป EQUIVALE [x, y] = [4, 6] OPPURE [x, y] = [8, 4]].
––––––––
:hello:

nino280 04-09-18 12:39

Re: Estrazioni casuali
 
Cio่ tu stai dando una dimostrazione matematica e all'improvviso passi alla logica simbolica o booleana, alla congiunzione logica senza colpo ferire? Ma quanti hanno capito che di punto in bianco ti sei messo a parlare della congiunzione logica?
Ma forse io sono leggermente ritardato.
Devo farmi regolare l'anticipo:D
Ciao
Tanto pi๙ che quel segno era confondibilissimo col segno di elevazione, solo che invece era messo al pian terreno.


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