Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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Erasmus 06-06-18 09:28

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 819475)
La risposta corretta alla domanda:
Qual è la probabilità che l'urna conteneva 4 palline bianche (e 2 palline nere)?
è invece proprio 1/6

Questo si deduce applicando il teorema di Bayes:

No!
Da un evento (e neanche da mille) non si può indsurre una probabilità!
Si può, a volte , "stimare".
Eviderntemente – anche se mi pare impossibile! – stai considerando in modo sbagliato il teorema di Bayes.
––––––
:hello:

aspesi 06-06-18 09:50

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 819509)
Eviderntemente – anche se mi pare impossibile! – stai considerando in modo sbagliato il teorema di Bayes.
––––––
:hello:

Infatti!!! :spaf:
Mica hai guardato il quiz di esempio su wikipedia... :D

:hello:

aspesi 06-06-18 11:57

Re: Estrazioni casuali
 
Non sempre vale la relazione transitiva:
se A>B e B>C allora A>C


Questa deduzione è falsa ad es. alla morra cinese: "sasso, forbice, carta"

Ma anche se ci sono 3 dadi, sulle cui facce ci sono i numeri:
1) 2 , 2 , 4 , 4 , 9 , 9
2) 1 , 1 , 6 , 6 , 8 , 8
3) 3 , 3 , 5 , 5 , 7 , 7

Dove è meglio scegliere il primo dado se l'avversario ha il secondo, il secondo dado se l'avversario ha il terzo e il terzo dado se l'avversario ha il primo

Chi vuole giocare (e perdere :D) con me a testa o croce?


Tu scegli la successione che vuoi tra quelle di 3 lanci di una moneta, cioè:
TTT , TTC , TCT , CTT , CCT , CTC , TCC , CCC
e dopo che hai fatto la tua scelta, io scelgo la mia successione.

Poi, tu o io o alternativamente, non è importante, cominciamo a lanciare la moneta equilibrata e a segnare le facce che escono mano a mano.
Non appena le ultime tre facce corrispondono alla successione scelta da me o da te, chi l'ha scelta segna un punto a suo favore e chi ne fa di più vince.

Ci vorrebbe astromauh con una simulazione; in assenza, credete a me, sul gioco lungo, vincerei sempre io (cioè il secondo che sceglie la tripletta) ;)

:hello:

Lagoon 06-06-18 12:13

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 818869)
Un'urna contiene 6 palline che possono essere bianche o nere, l'unica cosa che si sa è che non tutte sono dello stesso colore.
Facciamo 4 estrazioni di una pallina (per volta) senza reimmettere la pallina di volta in volta estratta e otteniamo 4 palline bianche.

Qual è la probabilità che l'urna conteneva 4 palline bianche (e 2 palline nere)?

:hello:

Siccome sono un po' occupato in questi giorni, non posso rispondere istantaneamente.
Provo a dare la mia soluzione.

I casi sono due:

5b e 1n e 4b e 2n

Nel primo caso la P1(4 bianche)=5/6·4/5·3/4·2/3=0.3333
Nel secondo caso la P2(4 bianche)=4/6·3/5·2/4·1/3=0.0666

Ora, noi sappiamo che dopo averne estratte 4 bianche o sei in un caso o nell'altro. Da lì non si scappa, quindi:

[P1(4 bianche)+P2(4 bianche)]x=1 x=2.5 => P2(4 bianche)=0.166

aspesi 06-06-18 13:35

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Lagoon (Scrivi 819526)
Ora, noi sappiamo che dopo averne estratte 4 bianche o sei in un caso o nell'altro. Da lì non si scappa, quindi:

[P1(4 bianche)+P2(4 bianche)]x=1 x=2.5 => P2(4 bianche)=0.166

:ok: Perfetto.
Prova anche tu a cercare di convincere Erasmus... :D

:hello:

Lagoon 06-06-18 13:48

Re: Estrazioni casuali
 
Basterebbe fare una simulazione :fis:

Erasmus 06-06-18 21:14

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Lagoon (Scrivi 819532)
Basterebbe fare una simulazione :fis:

Di cosa?
Per fare una simulazione devi avere moltissimi (teoricamente infiniti) casi .
Qui ne hai uno solo.
Nota che anch'io e anche Mizzarino siamo arrivati a dire "un caso contro cinque". Ma io ho precisato che non si tratta di un caso in cui le palline erano 4 bianche e due nere contro 5 casi in cui le palline sono 5 bianche e una nera, bensì della probabilità che escano di fila quattro palline bianche se inizialmente delle 6 palline 4 sono bianche e due sono nere contro la probabilità che escano di fila quattro palline bianche se inizialmente delle 6 palline 5 sono bianche e una sola è nera.
____________
Vediamo se riesco a incrinare la certezza di aspesi con un esempio tanto chiaro che di più non si può! :D

Ho 10 sacchetti indistinguibili.
In 5 di essi metto 4 palline bianche e 2 nere,
negli altri 5 metto 5 palline bianche e una nera.
Tu, Lagoon, hai assistito all'operazione ma aspesi no.

Metto i 10 sacchetti in cerchio su un vassoio circolare, alla tua presenza chiamo aspesi e lo invito – quando però io mi sarò voltato dall'altra parte – a scegliere un sacchetto; e lui accetta.
Mentre io non guardo ma guardi tu, aspesi sceglie un sacchetto a caso.
Dopo che lui ha scelto, io mi giro e gli dico che nel suo sacchetto (come in ogni altro che poteva scegliere) ci sono 6 palline, ciascuna delle quali o bianca o nera, ma le sei palline non sono tutte tutte dello stesso colore. E tu confermi!

Né aspesi nè io (e probabilmente nemmeno tu, a meno che non abbia avuto una memoria visiva sovrumana) sappiamo quante palline nere e quante bianche stanno nel sacchetto scelto da aspesi.
Ma tu ed io sappiamo che – avendo aspesi scelto a caso uno dei 10 sacchetti dei quali 5 avevano 4 palline bianche e due nere e 5 avevano invece 5 palline bianche e una nera – la probabilità che nel sacchetto che ha in mano aspesi ci siano 4 palline bianche e due nere è 1/2 = 50%.
Infine, alla tua presenza io chiedo ad easpesi:
«Per favore estrai 4 palline una alla volta senza rimettere nel sacchetto quelle estratte».
E aspesi il favore me lo fa; e diligentemente esegue le quattro estrazioni di una pallina per volta.
Ora succede che – guarda caso! – le quattro palline estratte da aspesi sono tutte bianche.
Allora io chiedo ad aspesi: «Qual è la probabilità che nel sacchetto che ti sei scelto ci fossero inizialmente 4 palline bianche e due nere?». E lui, sicuro di sè, dopo averci pensato un attimo, dice: «UN SESTO».
Dopo di che, io lo invito ad estrarre le palline rimanenti.
E lui esegue, estraendo due palline e constatando che effettivamente le sei palline del sacchetto non erano tutte bianche.
------------
Se fossimo inizialmente partiti con diversa distribuzione (per esempio: un solo sachetto con 5 palline bianche e una nera e 9 sacchetti con 4 palline bianche e 2 nere), siccome è casuale il sacchetto che aspesi sceglie, la probabilità dell'uno o dell'altro caso coinciderebbe comunque con la a noi nota distribuziione (a lu ignotai).

Ma se escono 4 palline bianche di fila, quell'intuitivo di aspesi direbbe comunque: «UN SESTO!» .
E lo direbbe a ragione, se solo, invece di essere sicuro, precisasse che la sua risposta è PIU' PPROBABILMENTE quella giusta (ma non CERTAMENTE quella giusta).
–––
Proviamo a pensare ora alla simulazione!
Un numero arbitrario di persone potrebbe ripetere quanto ha fatto aspesi.
Se la persona di turno sceglie a caso uno dei dieci sacchetti in 5 dei quali ci stanno 4 palline bianche e 2 nere e negli altri 5 ci stanno 5 palline bianche e una sola pallina nera poi si esaminassero solo i casi in cui sono uscite di seguito 4 palline bianche, si scoprirebbe che nel 50% dei casi le ultime due palline sono entrambe nere e nel 50% dei casi sono una bianca e una nera (dato che la probabilità di ciascuno dei due soli possibili casi è 50%).
–––––
Spero di aver convinto Lagoon, aspesi e ogni altro lettore che – nel quiz originale di aspesiil rapporto "1 a 5" non è tra la probabilità che delle 6 palline 4 siano bianche e 2 nere e la probabilità che invece 5 palline siano bianche e una sola nera, bensì tra la probabilità che escano di seguito 4 palline bianche se nel sacchetto ci stavano inizialmente 4 palline bianche e 2 nere e la probabilità che [ancora] escano di seguito 4 palline bianche se, invece, nel sacchetto ci stavano 5 palline bianche e una sola nera.
–––
:hello:
P.S
Ho editato. Ma solo per correggere qualche [brutto] errore di battitura.

aspesi 06-06-18 21:32

Re: Estrazioni casuali
 
Sei incredibile Erasmus, non riesco a seguirti, anche perché della soluzione che ho (abbiamo, io, Mizarino e Lagoon) dato, per il quiz come è stato esposto, ho una certezza assoluta.

Non hai voluto guardare l'esempio indicato su Wikipedia?
Te lo copio:

Si consideri una scuola che ha il 60% di studenti maschi e il 40% di studentesse femmine.
Le studentesse indossano in egual numero gonne o pantaloni; gli studenti indossano tutti quanti i pantaloni. Un osservatore, da lontano, nota un generico studente coi pantaloni. Qual è la probabilità che quello studente sia una femmina?

Il problema può essere risolto con il teorema di Bayes, ponendo l'evento A che lo studente osservato sia femmina, e l'evento B che lo studente osservato indossi i pantaloni.

Per calcolare P(A|B), dovremo sapere:

P(A), ovvero la probabilità che lo studente sia femmina senza nessun'altra informazione. Dato che l'osservatore vede uno studente a caso, ciò significa che tutti gli studenti hanno la stessa probabilità di essere osservati. Essendo le studentesse il 40% del totale, la probabilità risulterà 2/5.
P(A'), ovvero la probabilità che lo studente sia maschio senza nessun'altra informazione. Essendo A' l'evento complementare di A, risulta 3/5.
P(B|A), ovvero la probabilità che uno studente femmina indossi i pantaloni (ossia la probabilità che, verificato l'evento che lo studente sia femmina, si verifichi l'evento che indossi i pantaloni). Poiché indossano gonne e pantaloni in egual numero, la probabilità sarà di 1/2.
P(B|A'), ovvero la probabilità che uno studente indossi i pantaloni, noto che lo studente è maschio. Tutti gli studenti maschi indossano i pantaloni, quindi vale 1.
P(B), ovvero la probabilità che uno studente qualsiasi (maschio o femmina) indossi i pantaloni. Poiché il numero di coloro che indossa i pantaloni è di 80 (60 maschi + 20 femmine) su 100 studenti fra maschi e femmine, la probabilità P(B) è di 80/100 = 4/5.
Ciò detto, possiamo applicare il teorema:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = (1/2) * (2/5) / (4/5) = 1/4

C'è pertanto 1/4 di probabilità che lo studente sia femmina cioè 25%

La verifica dell'esattezza del risultato, in questo semplice esempio, è immediata se si ricorre alla semplice definizione di "probabilità di un evento" = "numero dei casi favorevoli all'evento/numero dei casi possibili". Il numero dei casi possibili, indossando lo studente (o studentessa) osservato i pantaloni, è di 80 (60 maschi + 20 femmine) mentre quello dei casi favorevoli (cioè le femmine che indossano pantaloni) è 20, quindi la probabilità che si tratti di una femmina è 20/80 cioè 1/4 c.v.d.

Un'applicazione del teorema di Bayes è il Problema di Monty Hall.

:hello:

Erasmus 07-06-18 00:12

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 819569)
Sei incredibile Erasmus, non riesco a seguirti, [...]:

Non ci credo [che non riesci a seguirmi]! E in questo caso Erasmus è credibile, anzi: bisogna credergli!
a) Torna indietro, rileggi attentamente il mio 'post' (antecedente a questo) e controlla se c'è qualcosa che non va!
Ho fabbricato apposta un caso in cui a priori la probabilità che inizialmente le palline bianche siano 4 o siano 5 è 50%.
Ammetterai che sia nel caso che le palline bianche inizialmente sono 5 che nel caso in cui le palline bianche inizialmente sono 4 è possibile che escano di seguito 4 p'alline bianche, Ovviamente è 5 volte più probabile che succeda ciò se le palline bianche inizialmente sono 5 su 6 che se sono 4 su 6.
b) L'esempio che mi porti (della scolaresca col 60% di maschi che indossano tutti pantaloni e con metò delle femmine che indossano pure pantaloni) non serve aaffatto ad avvalorare la tua tesi a proposito del quiz delle 6 palline o bianche o nere ma non tutte dello stesso colore.
Cioè: nell'esempio della scolaresca si sa a priori [prima del verificarsi di un evento qualunque] che 8 studenti su 10 indossano pantaloni e di questi otto sei sono maschi e due sono femmine. Si sa dunque a priori che, tra quelli che indossano pantaloni, un quarto sono femmine e tre quarti sono maschi. Invece nel tuo quiz a priori si sa che le sei palline sono o bianche o nere ma non tutte dello stesso colore.
Scusa se mi ripeto! Lo faccio nella speranza che, finalmente, tu legga compassatamente (e non da "prevenuto") quello che ho detto fin dal mio primo intervento:
Il rapporto "1 a 5" non è il rapporto tra (a) la probabilità che nel sacchetto ci fossero inizialmente 4 palline bianche e due nere e (b) la probabilità che invece nel sacchetto ci fossero inizialmente 5 palline bianche e una sola nera, bensì il rapporto tra (a) la probabilità che escano di seguito quattro palline bianche quando nel sacchetto ci stanno inizialmente 4 palline bianche e 2 nere e (b) la probabilità che escano di seguito quattro palline bianche quando nel sacchetto ci stanno inizialmente 5 bpalline bianche e una sola nera.

Insomma:
E' 5 volte più probabile che escano 4 palline bianche di seguito quando inizialmente ci sono (a) 5 palline bianche e una sola nera di quando inizialmente ci sono (b) 4 palline bianche e 2 nere.
[La probabilità che escano di seguito 4 palline bianche se nel sacchetto ci stanno inizialmente 5 palline bianche e una sola nera è 1/3. La probabilità che escano di seguito 4 palline bianche se nel sacchetto ci stanno inizialmente 4 palline bianche e 2 nere è 1/15.
NB: (1/15) : (1/3) = 1 : 5 ]

Ma questo non equivale a dire che è 5 volte più probabile che inizialmente le palline bianche siano 5 piuttosto che siano 4.
––––––
:herllo:

Mizarino 07-06-18 06:03

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 819578)
...
Ma questo non erquivale a dire che è 5 volte più probabile che inizialmente le palline bianche siano 5 piuttosto che siano 4.

Che inutile spreco di energie!...:D
Invece di perderci in leziosaggini, guardiamo l'altro lato della medaglia, che è liscio come un pezzo tornito da Nino:
La domanda di Aspesi equivale a chiedere qual è la probabilità che nell'urna siano rimaste due palline nere!
E su questa domanda non si possono sollevare cavilli. :)
:hello:


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