Re: Estrazioni casuali
 

:ok::ok:
Tutto perfetto. Niente da aggiungere.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Questo è un altro quiz sul lancio dei dadi.
A me pare piuttosto complesso, (anche se il risultato è intuitivo), se si cerca di risolverlo con il classico modo di calcolare i casi favorevoli e metterli in relazione con tutti i casi possibili.

Supponiamo che si possa vincere una certa cifra nel seguente gioco.
Il banco lancia contemporaneamente un determinato numero K di dadi; ad ogni lancio si confrontano i valori di tutte le facce che compaiono e vengono pagati tanti euro quanti sono i valori che si presentano una volta sola.
Se ad esempio K=8 dadi ed il risultato del lancio è 1, 5, 3, 4, 3, 1, 6, 1, la vincita è di 3 euro (perché il 4, 5 e 6 compare una volta, mentre l'1 e il 3 sono ripetuti e quindi annullati).

Che valore di K è meglio scegliere, cioè quanti dadi è preferibile lanciare per massimizzare la vincita?

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

"A occhio" direi che conviene lanciare 6 dadi ...

Ma veniamo al "metodo".
Suggerirei di vedere il problema in questo modo:
Supponiamo che i 6 numeri di un dado siano 6 caselle (o scatole), e che i dadi da lanciare siano altrettante palline da mettere a caso nelle caselle.
1) Se lancio una pallina i casi possibili sono 6 e naturalmente tutti mi fanno vincere 1€
2) Se lancio due palline i casi possibili sono 6*6 = 36, 6*5=30 sono quelli che mi fanno vincere 2€ e 6 non mi fanno vincere nulla.
3) Se lancio 3 palline, i casi possibili sono 6*6*6=216. Di questi 6*5*4=120 mi fanno vincere 3€, 6 non mi fanno vincere nulla (tre palline nella stessa casella fanno 6 casi "totalmente sfavorevoli) e i restanti 90 mi fanno vincere 1€. Questo è un 90 ottenuto "per differenza", ma vediamo da che ragionamento potrebbe venir fuori:
Una coppia di palline può occupare una delle sei caselle, ma può essere formata in 3 modi diversi (palline 1-2, 1-3, e 2-3): fanno 18 modi possibili, per ognuno dei quali restano 5 modi di disporre la terza pallina. In tutto fa 18*5=90.

Beh, io ho dato lo spunto, adesso continuate voi ... :D

Re: Estrazioni casuali
 

E' tutto giusto...;)
Certo, adesso bisogna andare avanti :D

Però... c'è qualcosa di incompleto nel risultato...

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Di incompleto c'è che non ho "pesato" le probabilità per ricavare la "vincita media attesa"
Nel caso 3, abbiamo per esempio una "vincita media attesa" di (3*120+1*90)/216 = 2.08€ ...

Re: Estrazioni casuali
 

Sì, ma il quiz chiede il valore K, cioè il numero dei dadi, che massimizzano la vincita.

Tu hai detto "a occhio" 6: a questo mi riferivo circa la risposta incompleta... che, come hai scritto, si deduce calcolando le vincite medie attese per i vari valori di K (che hai indicato per K=1, K=2 e K=3.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Anche in questo quiz si può applicare una "ricorsività" ...
Partendo dalle possibili configurazioni ottenute per K=3, si aggiunge una pallina (un dado) e si va a vedere cosa può succedere ...
Risultato, con K=4 la vincita media attesa è 3.415€ ...;)

P.S. Correggo un errore da "distastia": il numero giusto è 2.315

Re: Estrazioni casuali
 

Non vorrei che Erasmus, che mi ha confessato di essersi stufato con i quiz sulle probabilità, cambiasse idea e venisse a vedere.... perché, a conferma delle sue affermazioni sull'"alieno che non sbaglia (quasi) mai," questa volta hai probabilmente fatto un errore di sbaglio...:D

La vincita attesa con K=4 è molto più bassa, più di un euro in meno.
E il massimo della vincita viene dopo.

Calcolare i casi favorevoli (da dividere per 6^K per trovare la probabilità) è, secondo me, una faticaccia, ed è facilissimo sbagliarsi.
Molto più semplice è arrivare al risultato corretto da considerazioni dirette sulla probabilità, calcolando l'uscita di una sola volta di un numero e poi estendendo il ragionamento per i 6 numeri del dado.

Magari, tu o Astromauh, se ne avete voglia, potete dare una conferma con una simulazione.;)

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Oops, più che un "errore di sbaglio", è un "errore di tasto" ... :D
Si tratta di 2,3148... Ovvero 3000/1296 ...
E naturalmente non è ancora il massimo... ;)

Ma lo sai che con questo quiz stiamo facendo il conto dei microstati di una configurazione elettronica, nella ipotesi che non valga il Principio di Esclusione di Pauli ?... :D

Re: Estrazioni casuali
 

:ok: Il massimo si raggiunge subito dopo e rimane uguale per il K successivo. Per poi calare a poco a poco....

Purtroppo no, sono assolutamente ignorante sulla fisica teorica e la meccanica quantistica.

:hello: