Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

Erasmus 23-12-14 17:43

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 743168)
[...] perché mai dovrebbe essere vero quello che scrivi al punto d) ?

Ripeto che in questi argomenti sono una frana!
Detto questo, rispondo alla tua domanda.
Quando si dice che un evento si verifica [mediamente] una volta su venti, si intende – suppogo ... ma non sono nemmeno sicuro di questo :lipssealed: – che la probabilità che succeda è 5% = 1/20. O no?
Allora, se la probabilità di un evento E è p = 5%, posso dire che l'evento E si verifica [mediamente] una volta su 1/p volte = una volta su 20?
---------
Ho preso come probabilità che in 18 estrazioni escano tutti i numeri la probabilità P(f=1) che un qualsiasi numero [e quindi ciascun numero] esca una sola volta.

Non so se quella P(f=1)= (17/18)^17 che ho trovato è davvero la la probabilità di qualsiasi numero di uscire una sola volta.

Supponiamo che sia così.
Allora non sono nemmeno sicuro che quella probabilità sia anche quella che escano (in 18 estrazioni) tutti i numeri.

Ma se fosse vero, – in generale, se fosse p la probabilità che escano tutti i numeri in k ≥ 18 estrazioni, – direi che mediamente occorrono k·(1/p) estrazioni perchè esacano tutti i numeri.
Oh: ho scritto "direi" e non "dico" perché, essendo una frana in questa materia, non sono sicuro di niente.
Anzi: non credo di aver capito bene cosa intendete per "tempo medio di attesa" (che sarebbe appunto il numero medio di estrazioni tra due estrazioni che completano l'uscita di tutti i numeri).
Insomma: qui si continua a fidarsi della probabilità frequentistica: proviamo moltissime volte con il postulato che più numerose sono le volte più la frequenza relativa delle uscite approssima la probabilità.
Ma è appunto nella teoria frequentistica della probabilità che io sono una frana!
Torniamo all'evento binario con uscite A o B equiprobabili (come sarebe T o C per la tua moneta equilibrata).

In un grande numero di sorteggi , siccome ho 50% di probabilità che esca A e 50% che esca B, accettando la teoria frequentistica, a lungo andare ho 50% delle volte con uscita A e 50% con uscita B.
ancora non ho capito perche occorrono mediamente tre lanci e non due perché escano sia A che B.
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Azzero la crapa e riparto "tabula rasa".
Vediamo se mi viene di azzeccare il tuo ragionamento.

E' uscito A.
Al prossimo lancio ho p(E = B) = 1/2.
Se non esce B (il che ha ancora probabilità 1/2), faccio ancora un sorteggio
Quindi ho probabilità 1/2 di fare A e B al secondo lancio e probabilità 1/4 di fare A e B al terzo lancio.
Se ancora non è uscito B (e questo ha probabilità 1/4), faccio un quarto lancio (ancora con probabilità 1/2 che esca B). E quindi ho probabilità 1/8 di fare A e B al 4° lancio.
Continuando, mi viene che la probabilità di fare A e B all'n-esimo lancio è 1/2^(n–1).

Adesso bisogna fare il valor medio di questa distribuzione discreta in progressione geometrica calante (ossia: esponenziale con esponente negativo).
Questo valor medio è – se non ricordo male – la media pesata con pesi pari alla probabilità, cioè [siccome 1/2 + 1/4 +1/8 +1/16 + ecc ecc. = 1]
<Valore atteso di "numero di lanci"> = <Somma, per n da 2 a ∞, di n/2^(n–1) >.

Ma guarda che coincidenza!
Un quiz lanciato da tal Pachisi sul forum «Scervelliamoci un po'» di Matematicamente.it è:
<Somma, per n da 1 a ∞, di n/2^n> ?

In generale, per x > 1, si trova <Somma, per n da 1 a ∞, di n/x^n> = x/(x–1)^2.
E per x = 2 viene 2.
Se la moltiplico per 2 ottengo:
<Somma, per n da 1 a ∞ di n/2^(n–1)> = 4

Infine, siccome n/2^(n–1) per n = 1 fa 1/2^0 = 1, ricavo quel che vuoi sapere tu:

<Somma, per n da 2 a ∞ di n/2^(n–1)> = <Somma, per n da 1 a ∞ di n/2^(n–1)> –1 = 4 – 1 = 3.

Mi dirai "Bravo!" ?
============================

Domanda ad aspesi:
Ma questa sezione di Coelestis è ancora "Rudi Mathematici" o è diventata "Raffinati Probabilisti?" :mmh:
–––––
:D
––––––––––
:hello:

aspesi 23-12-14 19:18

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 743184)
In un grande numero di sorteggi , siccome ho 50% di probabilità che esca A e 50% che esca B, accettando la teoria frequentistica, a lungo andare ho 50% delle volte con uscita A e 50% con uscita B.
ancora non ho capito perche occorrono mediamente tre lanci e non due perché escano sia A che B.

:hello:

Bravo!:)

Questo è quello che avevi scritto tu (a proposito dello stesso quesito, dopo averlo digerito :D) tre anni fa
http://www.trekportal.it/coelestis/s...&postcount=255

La discussione sul numero medio di lanci di una moneta per avere l'uscita sia di testa che di croce era iniziata qui:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...=41889&page=23

Non ricordavo neppure io che ne avevamo già parlato e talvolta è anche difficile rintracciare le vecchie discussioni. Abbiamo bisogno di iniezioni di fosforo...

:hello:

aspesi 23-12-14 20:14

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 743184)
Ho preso come probabilità che in 18 estrazioni escano tutti i numeri la probabilità P(f=1) che un qualsiasi numero [e quindi ciascun numero] esca una sola volta.

––––––––––
:hello:

Vediamo come farei io questo calcolo.
Cioè come calcolare la probabilità che in 18 estrazioni escano tutti i 90 numeri del lotto (ciascuno una volta sola)

Combinazioni di 90 numeri in gruppi di 5 = C(90,5) = 90!/(85!*5!) = 43.949.268

Probabilità prima estrazione ---> p(1) = C(90,5)/C(90,5) = 1

Probabilità seconda estrazione ---> p(2) = p(1) * C(85,5)/C(90,5) = 0,7463...

Probabilità terza estrazione ---> p(3) = p(2) * C(80,5)/C(90,5) = 0,4082...

.......................................

Probabilità diciottesima estrazione ---> p(18) = p(17) * C(5,0)/C(90,5) = 1,49123E-37

Questo valore così piccolo è la probabilità che escano tutti i 90 numeri in 18 estrazioni!!!

In pratica:

Probabilità di avere tutti numeri diversi in 18 estrazioni = 90!/(C(90,5)^18*(5!)^18)

e semplificando:

Probabilità di avere tutti numeri diversi in 18 estrazioni = (85!)^18/(90!)^17

Per il calcolo con excel, a causa dei numeri troppo alti, si può fare:

=10^(18*LOG(FATTORIALE(85))-17*LOG(FATTORIALE(90)))

o anche:

=FATTORIALE(85)/(90*89*88*87*86)^17

:hello:

Erasmus 24-12-14 00:54

Re: Estrazioni casuali
 
??? Ho scritto io quella roba là??? :eek:
Di solito, di una cosa dimenticata (o meglio: alla quale non si pensa affatto) viene in mente qualcosina se si ha l'occasione di ripensarla ...
Ma questa volta non mi ricordo assolutamente di aver mai parlato di quel valore atteso 3.

Qua la cosa è preoccupante!
Lo stile è il mio, il procedimento – andare a vedere in quel modo là di quale funzione la serie è lo sviluppo – pure... ma anche dopo aver letto ... ed essermi "riconosciuto" non mi raccapezzo!
Giurerei ancora di non aver mai calcolato prima di oggi questo fottutissmo 3 come valore atteso del numero di lanci per fare due teste o due croci!
E giurerei anche di non essermi mai impelagato (o impegolato? :mmh:) in quel modo in una discussione sui lanci di una moneta equilibrata ...

La faccenda è davvero preoccupante!
Andrà a finire che crederò alle streghe e ai fantasmi. ... :lipssealed:
––––––––
:hello:

Erasmus 25-12-14 07:30

Re: Estrazioni casuali
 
Per numeri abbastanza grandi rispetto a 1 (come 90), meglio usare l'approssimazione di Stirling, magari corretta un tantino soltanto.
[Una volta ho scritto una procedura che, correggendo la formula di Stirling, simulava la Gamma(x) con oltre 16 cifre significative giuste. La Gamma(x) è una funzione continua che per x intero vale (x–1)!].

La formula di Sterling è St(x) = [(x^x)*e^(–x)]·√(2πx).

Proviamo x = 90.
90! ≈ 1,485715964...·10^138
St(90) = 1,48434094...·10^138 < 90! [Solo 3 cifre giuste]
(90!)/St(90) = 1,00092635... [errore di quasi 1‰]

Avevo trovato che al posto di e^(-x) bisognava mettere e^(–x)·e^f(x) dove f(x) è una serie di potenze (tutte dispari) di 1/x (con coefficienti a segno alterno) i cui primi termini sono:
f(x) = 1/(12·x) – 1/(360·x^3) + 1/(1260·x^5) – 1/(1680·x^7) + ...

Proviamo a mettere solo in primo termine di questa serie, cioè
e^[–90 + 1/(12·90)]
al posto di
e^(–90),
ossia a moltiplicare St(90) per e^(1/(1080)

St(90)· e^(1/1080) ≈ 1,4857159701... (8 cifre giuste).
(90!)/[St(90)·e^(1/1080) = 0,99999999961897... [errore di circa 4,1 per miliardo].

Il logaritmo ... è un gran compressore, OK. Ma che vantaggio c'è se devo passare ancora per numeri enormi?
[Vedo che metti Log(90!)].

Se usi i logaritmi sulla formula di Stirling [magari corretta] hai il vantaggio di non passare più per numeri grossi.
ln[St(n)·e^1/(12·n)] = n·ln(n) – n +1/(12 n) +(1/2)·ln(2πn)
------
:hello:

Mizarino 25-12-14 07:51

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 743256)
(90!)/St(90) = 1,00092635... [errore di quasi 1%]...

...quasi 1/1000...
Buon Natale!
:)

aspesi 25-12-14 09:24

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 743256)
Il logaritmo ... è un gra compressore, OK. Ma che vantaggio c'è se devo passare ancora per numeri enormi?
[Vedo che metti Log(90!)].

Se usi i logaritmi sulla formula di Stirling [magari corretta] hai il vantaggio di non passare più per numeri grossi.
ln[St(n)·e^1/(12·n)] = n·ln(n) – n +1/(12 n) +(1/2)·ln(2πn)
------
:hello:

Avrai certamente ragione.
Ma io ho il rapporto di numeri enormi, che con la calcolatrice non si riescono a calcolare.
Mentre con i logaritmi si può fare la differenza degli esponenti prima di fare l'antilogaritmo.

Infatti, se faccio:
(85!)^18 excel, ma penso qualsiasi calcolatrice, mi risponde "errore #NUM"

mentre se faccio:
18*LOG(85!) dà il valore 2312,096452
e analogamente:
17*LOG(90!) dà 2348,922908

La differenza (secondo meno il primo) è = -36,82645627
che è un numero sufficientemente piccolo per metterlo ad esponente di 10:
= 10^(-36,82645627) = 1,49123E-37

Non ho capito quanto verrebbe con la formula di Stirling; mi puoi dire se il risultato è un valore più o meno preciso di 1,49123E-37?

:hello:

nino280 25-12-14 13:37

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 743262)
Avrai certamente ragione.
Ma io ho il rapporto di numeri enormi, che con la calcolatrice non si riescono a calcolare.
Mentre con i logaritmi si può fare la differenza degli esponenti prima di fare l'antilogaritmo.

Infatti, se faccio:
(85!)^18 excel, ma penso qualsiasi calcolatrice, mi risponde "errore #NUM"

mentre se faccio:
18*LOG(85!) dà il valore 2312,096452
e analogamente:
17*LOG(90!) dà 2348,922908

La differenza (secondo meno il primo) è = -36,82645627
che è un numero sufficientemente piccolo per metterlo ad esponente di 10:
= 10^(-36,82645627) = 1,49123E-37

Non ho capito quanto verrebbe con la formula di Stirling; mi puoi dire se il risultato è un valore più o meno preciso di 1,49123E-37?

:hello:

Hai provato con la mia calcolatrice dei grandi numeri?
Io ho provato a fare 85!^18 ed ottengo:

1.248 682 894 573 757 602 375 093 243 975 025 548 042 685 133 116 092 250 996 890 516 003 954 471 871 527 846 820 110 883 226 389 298 269 497 531 990 743 197 576 799 614 191 438 617 978 130 480 026 366 585 884 905 719 326 322 856 992 795 335 153 952 382 541 758 197 147 167 384 374 624 885 978 150 728 090 058 333 447 294 784 028 211 724 767 648 051 559 873 715 096 600 538 301 164 395 015 394 580 725 672 509 588 274 640 698 799 363 827 374 827 698 744 799 687 036 213 257 916 573 334 001 610 671 011 329 431 411 611 235 622 771 529 047 046 573 864 269 507 443 583 835 733 785 161 742 089 304 580 809 899 004 317 685 412 683 830 622 563 633 908 049 605 512 589 984 4e+2312
Ciao

1,248682894573757602375093243975e+2312

e in rosso ottenuto con la calcolatrice di Window 8.1

aspesi 25-12-14 14:33

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

nino280 (Scrivi 743270)
Hai provato con la mia calcolatrice dei grandi numeri?
Io ho provato a fare 85!^18 ed ottengo:

1.248 682 894 573 757 602 375 093 243 975 025 548 042 685 133 116 092 250 996 890 516 e+2312
Ciao

Ciao e auguri.

Caspita! Che calcolatrice è?

Le prime cifre le ho anch'io e sono uguali...

Siccome:
18*LOG(85!) dà il valore 2312,096452

10 elevato alla parte decimale viene:
1,248682427 E+2312

ma vedo che già dalla settima cifra decimale sono diverse:
tu 894
io 427

:hello:

nino280 25-12-14 14:40

Re: Estrazioni casuali
 
E' li forse da dieci anni sotto tutti i miei messaggi, ma come, non l'avevi mai vista?
Ciao Grazie Auguri anche a te.
E' probabile che sia sbagliato il tuo calcolo, perché come vedi io ho poi fatto il calcolo con un'altra calcolatrice, come dicevo appunto quella di Window , a meno che una sia la copia dell'altra o perlomeno adoperano la stessa procedura perché mi sembra alquanto strano che si sono fermate tutte e due a elevato alla 2312:D


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