Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 02-12-14 19:28

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741898)

«Sapendo invece come Tizio ha preparato il sacchetto – sia nel caso a) che nel caso b) – quali sono (alla luce di queste conoscenze) le dette due distribuzioni di probabilità [una prima dell'estrazione di una pallina bianca e l'altra dopo] in ciascuno dei due casi a) e b)? »

––––
:hello:

Erasmus, sforzati di essere un pochino meno prolisso, è faticoso leggere tutto quello che scrivi e seguirti nei ragionamenti! :(:D

caso a)
Tizio ha tolto a caso una delle possibili 8 terne di palline e poi ne sorteggia una delle 7 che sono rimaste. Non cambia nulla dal sorteggiare una terna dalle 8 possibili.
Questa operazione non dà alcuna informazione utile ad Aspesi al fine di stimare in modo più preciso rispetto alla casualità la probabilità delle 3 palline che sono contenute nel sacchetto che gli viene presentato.
A priori, per Aspesi la distribuzione di probabilità è quindi:
p(BBB) = 1/8
p(BBN) = 3/8
p(BNN) = 3/8
p(NNN) = 1/8
e diventa 1/4 per (BBB) dopo l'estrazione di una pallina che si vede che è bianca.

caso b)
La situazione è ben diversa, perché Aspesi sa che Tizio ha agito non in modo casuale e a seguito delle sue manipolazioni nel sacchetto che ha davanti può esserci o una terna con 2 palline bianche e 1 nera o una terna con 1 pallina bianca e 2 palline nere.
Deduce quindi semplicemente che:
p(BBB) = 0
p(BBN) = 1/2
p(BNN) = 1/2
p(NNN) = 0
A questo punto viene estratta una pallina, che è bianca. Dei 6 casi inizialmente possibili, ne rimangono solo 3 e precisamente:
B | BN
B | NB
B | NN
e quindi le probabilità diventano:
p(BBN) = 2/3
p(BNN) = 1/3
Se si dovesse proseguire, dopo la reintroduzione della pallina bianca estratta, e si estraesse ancora una pallina bianca, dopo due estrazioni di palline entrambe bianche, le probabilità diventerebbero:
p(BBN) = 4/5
p(BNN) = 1/5

:hello:

maucarlino 02-12-14 20:05

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741841)
Secondo la logica che mi pare di aver capito, immagino che almeno il secondo di questi due esercizi per Erasmus sia assurdo...


Vi sono due monete, A equa e B che da' testa con una probabilità pari a 1/4.
Non si sa quale moneta si stia lanciando.

(a) Calcolare la probabilità che esca testa al primo lancio.
(b) Se nei primi due lanci è uscita testa, qual è la probabilità che si stia lanciando
la moneta A?

:hello:

Ci provo io: chiedo venia ad Erasmus, ma a me non sembrano due esercizi assurdi, meno che mai il secondo. :rolleyes:

Cominciamo col definire un po' di eventi:
Ma = "Si sta lanciando la moneta A"
Mb = "Si sta lanciando la moneta B"
T1 = "Esce testa al primo lancio"
T2 = "Esce testa al secondo lancio"

Nel seguito assumo che l'affermazione "non si sa quale moneta si stia lanciando" equivalga a dire che entrambe le monete possono essere scelte con la stessa probabilità ossia,

P(Ma)=P(Mb)=1/2

Si tratta di un'assunzione dal momento che non sapere quale moneta si sta usando non significa necessariamente che le monete possano essere scelte con la medesima probabilità. Assumo inoltre che una volta fatta la scelta si continui ad usare la stessa moneta.

Sotto queste assunzioni passiamo a risolvere la prima parte (a) dell'esercizio ossia calcolare la probabilità che esca testa al primo lancio. L'evento testa al primo lancio dipende dalla moneta scelta, ovvero dai due eventi "esce testa al primo lancio dato che ho scelto la moneta A" o "esce testa al primo lancio dato che ho scelto la moneta B".

In altri termini:

P(T1) = P(T1|Ma)*P(Ma) + P(T1|Mb)*P(Mb) = 1/2*1/2 + 1/4*1/2 = 1/4 + 1/8 = 3/8

Si noti che se la moneta B fosse equa, allora P(T1) = 1/2 come atteso (ossia la scelta delle monete da lanciare sarebbe ininfluente).

Per la seconda parte (b) dell'esercizio, rispunta il celebre teorema, pubblicato postumo, del reverendo Bayes.

Si chiede infatti di calcolare P(Ma|T1 ∩ T2), ossia la probabilità che si stia usando la moneta A dato che sono uscite due teste di seguito

Applicando il teorema di Bayes, detta probabilità risulta eguale a:

P(Ma)*P(T1 ∩ T2 | Ma) / [P(Ma)*P(T1 ∩ T2 | Ma) + P(Mb)*P(T1 ∩ T2 | Mb)] ossia:

1/2*1/4/[(1/2*1/4) + (1/2*1/16)] =

1/8/(1/8+1/32)=4/5

che risulta maggiore - come atteso - della probabilità che la moneta che si sta lanciando sia la B (quest'ultima è ovviamente =1/5).

:hello:

aspesi 02-12-14 20:39

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

maucarlino (Scrivi 741911)
1/8/(1/8+1/32)=4/5

che risulta maggiore - come atteso - della probabilità che la moneta che si sta lanciando sia la B (quest'ultima è ovviamente =1/5).

:hello:

:ok:
Anche nella formalizzazione ;)

:hello:

Erasmus 02-12-14 23:41

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741909)
... Deduce quindi semplicemente che:
p(BBB) = 0
p(BBN) = 1/2
p(BNN) = 1/2
p(NNN) = 0

:mmh:
@ aspesi
Hai sbagliato QUTERNA di TERNE :D
Non sei obbligato a leggermi.
Ma se ti va di farlo, sta' più attento. :mad:
Quote:

Erasmus (Scrivi 741898)
... sapendo che è indifferente mettere nel sacchetto questa o quella delle tre terne con due palline di un dato colore ed una dell'altro ...
[...]
Separa allora dalle 8 terne ordinate quella di
tre palline tutte bianche, quella di
tre palline tutte nere, una delle tre terne con
due palline bianche ed una nera ed una delle altre tre con
una pallina bianca e due nere;
e rimette le palline delle altre quattro terne nel mucchio da cui erano uscite..

-------
Insomma: volevo mostrarti una situazione in cui, a priori, ogni pallina ha il 50% di probabilità di essere bianca o nera – e infatti nevengono sorteggiate tre tra dodici di cui 6 bianche e 6 nere – ed inoltre sottolineare che è indifferente che la combinazione
"due bianche ed una nera"
provenga da questa o quella delle tre disposizioni
BBN, BNB, NBB.
Ovviamente prevedendo che avresti detto la distribuzione uniforme
P(3B) = P(2B & 1N) = P(1B & 2N) = P(3N) = 1/4.
[Riassumiamola semplicemente con
1/4, 1/4, 1/4, 1/4
sottintendendo l'ordine con cui la quaterna di probabilità è data].

Dunque: La distribuzione di probabilità
1/8, 3/8, 3/8, 1/8
delle quattro combinazioni possibili NON E' l'UNICA costruibile con l'ipotesi che ogni pallina ha il 50% di probabilità di essere bianca o nera.

Un'altra cosa che volevo farti notare – a te ... ma anche ad astromauh e a Miza – è il viceversa.
Se dalle 24 palline di cui 12 bianche e dodici nere sottraiamo una terna qualsiasi, nelle 21 palline rimaste non è più equiprobabile che una pallina sia bianca o nera.
E tuttavia è ancora possibile che la distribuzione di probabilità del colore di una combinazione di tre palline sia
1/8, 3/8, 3/8, 1/8

Anche se ti scandalizza al punto di supporre che stia prendendovi in giro, insisto.
La distribuzione di probabilità viene assunta (o dedotta per via logica) in base al modello che si sta studiando. Il modello è astratto ... ma lo scopo dello studio può essere invece molto concreto!
[Storicamente, la teoria della probabilità è nata sotto lo stimolo di imparare come giocar bene a carte o in altri giochi di azzardo]

Quello che è importante nella pratica (cioè: la massima aderenza possibile tra il reale ed il modello da esso astratto, pena l'inadeguatezza dei risultati desunti teoricamente dal modello) non è necessariamente importante in teoria!
Quel che è necessario in teoria è soltanto la "coerenza" con gli assiomi, ossia il mantenere valido il principio di non contraddizione.

[Inciso per astromauh (che si è... risentito al vedersi giudicato "ipotesi arbitraria" un suo modo di procedere).
Dire che una ipotesi è "arbitraria" non significa declassarla ad una affermazione sbagliata o estranea al tema sotto srtudio (e quindi senza senso). Significa invece che sono possibili più ipotesi "coerenti" con gli assiomi (detti anche "postulati") e con le precedenti deduzioni; ossia riconoscere che c'è una qualche libertà di scelta sul come procedere (e il scegliwere come procedere è appunto "arbitrio"]

Sto ancora aspettando che qualcuno mi mostri che [a proposito di quel quiz ... che sappiamo] "OGNI distribuzione diversa da
P(3B) = 1/4; P(2B & 1N) = 1/2; P(1B & 2N) = 1/4
viola un qualche assioma della teoria della probabilità
.
Tout le reste est litterature!
--------------
:hello:

astromauh 03-12-14 04:03

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

maucarlino (Scrivi 741911)
P(T1) = P(T1|Ma)*P(Ma) + P(T1|Mb)*P(Mb) = 1/2*1/2 + 1/4*1/2 = 1/4 + 1/8 = 3/8

Quote:

P(Ma)*P(T1 ∩ T2 | Ma) / [P(Ma)*P(T1 ∩ T2 | Ma) + P(Mb)*P(T1 ∩ T2 | Mb)] ossia:

1/2*1/4/[(1/2*1/4) + (1/2*1/16)] =

1/8/(1/8+1/32)=4/5

Guardando queste formule viene da pensare che il calcolo sia difficile.

A 1 1 0 0
B 1 0 0 0
P= 3/8

A= (1/2) * (1/2) = 1/4 = 4/16
B= (1/4) * (1/4) = 1/16
A= 4: B=1
A= 4/5 = 80%

:hello:

astromauh 03-12-14 04:28

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741916)
[Inciso per astromauh (che si è... risentito al vedersi giudicato "ipotesi arbitraria" un suo modo di procedere).
Dire che una ipotesi è "arbitraria" non significa declassarla ad una affermazione sbagliata o estranea al tema sotto srtudio (e quindi senza senso). Significa invece che sono possibili più ipotesi "coerenti" con gli assiomi (detti anche "postulati") e con le precedenti deduzioni; ossia riconoscere che c'è una qualche libertà di scelta sul come procedere (e il scegliwere come procedere è appunto "arbitrio"]

Ma secondo te ciò che dici è valido anche quando le alternative a quella che definisci una "ipotesi arbitraria" sono tutte errate?

Mi interessa poco, che gli assiomi non siano in contraddizione, se questo mi porta a dei risultati non aderenti alla realtà.

Una scelta obbligata non si può definire una scelta arbitraria.

Allora secondo il tuo modo di vedere le cose anche dire che 2 + 2 fa 4 è un arbitrio, perché io potrei anche dire che 2 + 2 fa 5, e chi me lo impedisce, la polizia?

Non lo dico perché 2 + 2 non fa 5.

Rimango dell'idea che ci vuoi prendere in giro. :mad: :D

:hello:

nino280 03-12-14 15:18

Re: Estrazioni casuali
 
Dedicato a voi estrattori e reimbussolatori.
http://www.lescienze.it/news/2014/11...nnato-2361052/
Ciao

astromauh 03-12-14 15:44

Re: Estrazioni casuali
 
Intuire la probabilità che si verifichino determinati eventi è essenziale per la sopravvivenza. In questo mondo di cose certe non ce ne sono, per cui per vivere bisogna imparare a valutare la probabilità degli eventi.

Comunque da quello che ho capito dall'articolo i test erano molto semplici, per cui dimostrebbe che non ci sono differenze significative tra istruiti e non istruiti ad un livello basso di intuizione delle probabilità.

Ma se le persone fossero in grado di capire le probabilità implicite nel gioco del lotto non credo che giocherebbero.

:hello:

Erasmus 03-12-14 15:46

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 741919)
Mi interessa poco, che gli assiomi non siano in contraddizione, se questo mi porta a dei risultati non aderenti alla realtà.

Questo non lo dovevi dire. :D
Il perché te lo dico dopo la terza citazione.
Quote:

astromauh (Scrivi 741919)
Una scelta obbligata non si può definire una scelta arbitraria.

Hai perfettamente ragione.
Non ho mai detto il contrario.
Ho detto che, implicitamente, nel tuo modo di procedere (che è diverso da quello di Mizarino), assumi una ULTERIORE ipotesi. Ho anche detto che, per procedere, era NECESSARIO assumere una ulteriore ipotesi. Ogni nuova ipotesi va bene in teoria se rispetta il principio di non contraddizione. Non così in pratica, ossia se è sotto studio un modello astratto dal reale.
[In tal caso, la nuova ipotesi è suggerita proprio dall'astrazione dal reale].
Che poi i risultati tuoi e e quelli di un altro (Miza nella attuale fattispecie) siano uguali o diversi ... è un altro paio di maniche!

Sottolineo il fatto che tu e Miza avete assunto una ulteriore ipotesi, la tua diversa da quella di Miza.

Tu hai calcolato
P(3B) = 1/4; P(2B e 1N) = 1/2; P(1B e 2N) = 1/4
con l'ipotesi che
P(BBB), P(BBN), P(BNB), P(NBB), P(BNN), P(NBN), P(NNB), P(NNN)
fossero i rapporti tra il numero di B delle rispettive combinazioni e il numero totale di B.

E ha proceduto rispettando gli assiomi.

[Per esempio hai imposto che fosse:
P(2B e 1N) = P(BBN) + P(BNB) + P(NBB)
nel rispetto dell'assioma degli esiti incompatibili, ossia (dati A e B sottoinsiemi dello spazio Ω degli eventi):
«Se A intersecato B = insieme vuoto, allora P(A unito B) = P(A) + P(B)»]

Non ho alcun motivo di dire sbagliata questa ipotesi dato che con essa procedi correttamente (nel rispetto degli assiomi).

Mizarino, invece, ha assunto (implicitamente) quest'altra ipotesi di carattere generale: Dopo ogni estrazione, ciascuna delle possibili disposizioni delle palline rimaste nel sacchetto è equiprobabile.

Mizarino crede che questa assunzione non sia una ULTERIORE ipotesi ma che sia conseguenza NECESSARIA dell'assunzione iniziale che, prima di qualsiasi estrazione, ogni pallina ha probabilità 50% di essere bianca o nera.

Quello cui Miza non ha pensato (anzi: che ha decisamente escluso) è che ci possono essere situazioni in cui prima dii iniziare le estrazioni ogni pallina ha probabilità 50% di essere bianca o nera, ma che dopo la prima estrazione, le possibili disposizioni delle palline rimaste nel sacchetto non sono più equiprobabili.

Per confutare Mizarino occorrerà (e spero che basterà!) costruire un esempio (astratto dal reale come ha fatto lui col bambino bendato e la moneta equilibrata) in cui inizialmente ogni pallina ha probabilità 1/2 di essere bianca o nera, ma dopo l'estrazione di una pallina uscita bianca, le quattro disposizioni possibili delle due palline rimaste
BB, BN, NB, NN
non sono equiprobabili.

Dopo ... ve lo dimostrerò.
Quote:

astromauh (Scrivi 741919)
Allora secondo il tuo modo di vedere le cose anche dire che 2 + 2 fa 4 è un arbitrio, perché io potrei anche dire che 2 + 2 fa 5, e chi me lo impedisce, la polizia?

No.
Dire che 2+2 = 5 contraddice proprio qualche assioma della teoria dei numeri naturali!
Ergo: Non bisogna mai dire «Mi interessa poco, che gli assiomi non siano contraddetti» perché è sempre NECESSARIO che siano rispettarli (anche nella pratica).
Ma nella pratica il rispetto degli assiomi non è sempre SUFFICIENTE!
Infatti, il modello sotto studio deve essere aderente al reale da cui è astratto.

Per esempio, l'assunzione iniziale che ogni pallina sia bianca o nera con uguale probabilità Miza la costruisce con un modello astratto dal reale: quello del babinello bendato che lancia la moneta equilibrata.

In tal caso (ammesso cioè che le palline siano scelte bianche o nere in questo modo) ha ragione lui.

Ma in teoria (ossia: nel quiz iniziale e recependo l'aggiunta che ogni pallina sia o bianca o nera con uguale probabilità) il bambinello bendato non ci sta!

E non ci sta alcun particolare modo di astrazione con cui costruire l'equiprobabilità che una pallina sia bianca o nera!

Ho già portato un esempio INCONFUTABILE in cui, prima dell'estrazione, ogni pallina ha 50% di probabilità di essere bianca o nera, ma le probabilità delle 4 combinazioni possibili NON sono
Codice:

3B      2B e 1N  1B e 2N    3N
1/8        3/8        3/8      1/8

bensì
Codice:

3B      2B e 1N  1B e 2N    3N
1/4        1/4        1/4      1/4.

Porterò un altro esempio in cui, pur partendo dall'equiprobabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera, le quattro possibili disposizioni
BB, BN, NB, NN
delle due palline rimaste nel sacchetto dopo estratta una pallina che esce bianca NON sono equiprobabili.

E speriamo che questa volta Miza e aspesi smettano di di ridere sulle mie affermazioni (e in particolare che Miza la smetta di "appellare" SPROLOQUIO quel che dico nelle mie "formidabili" prolissità :D)
–––
:hello:

aspesi 03-12-14 15:55

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

nino280 (Scrivi 741968)
Dedicato a voi estrattori e reimbussolatori.
http://www.lescienze.it/news/2014/11...nnato-2361052/
Ciao

Interessante.
Sono perfettamente d'accordo, la probabilità secondo me non è un concetto astratto legato all'istruzione (come certa matematica!), ma attiene piuttosto alle scelte e decisioni di concretezza e buon senso.


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 14:06.

Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2021, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it