Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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Erasmus 01-12-14 13:59

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741752)
Quindi possiamo dedurre che le probabilità, da 1/8, 3/8, 3/8, 1/8 iniziali, sono diventate a posteriori:
a) P(tre bianche) = 1/4
b) P(due bianche e una nera) = 1/2
c) P(due nere e una bianca) = 1/4

Questi numeri li ho detti in risposta ad astromauh (in corrispondenza via MP).
Salterebbero fuori, secondo lui, dal considerare che nelle "combinazioni" (dice lui, ma io dicevo "disposizioni") ci sono in tutto 12 B di cui:
3B sono in BBB (e quindi, secondo lui, P(BBB) = 3/12 = 1/4)
2B sono in NBB, in BNB e in BBN (e quindi, secondo, P(una nera e due bianche) = 3·2/12= 1/2)
1B sta in BNN, in NBN e in NNB (e quindi, secondo lui, P(una bianca e due nere) = 3·1/12 = 1/4)

Sfortunatamente lo stesso schema risulta ancor prima di estrarre la pallina bianca, quando invece mi dite che a priori le probabilità sono
P(BBB) = 1/8
P(una nera e due bianche) = 3/8
P(una bianca e due nere) = 3/8
P(NNN) = 1/8


Non vuoi capire che per fare qualsiasi computo aggiungi un'ulteriore ipotesi che è insita nel metodo stesso che adotti per fare il conticino.

Sei di coccio!
––––
A parte gli scherzi, prova a leggere più "criticamente" quanto ho scritto.
Ciao ciao
––––––
:hello:

astromauh 01-12-14 14:05

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741792)
Ed io mi sento sicuro che, a quel livello, senza un'ulteriore ipotesi la probabilità che le tre palline fossero tutte bianche non la puoi calcolare.

Ma come no?

Ma se l'ha calcolata anche Mizarino e senza considerare la pallina estratta.

La probabilità che le due palline non estratte siano entrambe bianche è chiaramente 1/4.

Perché deve essere bianca la prima pallina e deve essere bianca la seconda pallina,
e quindi 1/2 * 1/2 = 1/4


:hello:


In realtà Mizarino considera anche la pallina già estratta, ma lo fa indirettamente. Perché per calcolare la probabilità di BBB, tiene conto anche della pallina che è stata estratta, nel momento in cui dice che le altre due palline debbono essere bianche, per far si che le tre palline siano bianche.

Se invece fosse stata estratta una pallina nera, Mizarino non direbbe più che la probabilità che nel sacchetto ci siano tre palline bianche sia 1/4, ma direbbe che è zero.

Perché anche se le due palline che non sono uscite dal sacchetto fossero entrambe bianche, le tre palline non possono essere tutte e tre bianche.

astromauh 01-12-14 15:07

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741796)
Sfortunatamente lo stesso schema risulta ancor prima di estrarre la pallina bianca, quando invece mi dite che a priori le probabilità sono
P(BBB) = 1/8
P(una nera e due bianche) = 3/8
P(una bianca e due nere) = 3/8
P(NNN) = 1/8

Ma non sei convinto nemmeno di questo?

:confused:

Bisogna spiegarti perché le probabilità sono proprio queste e non si tratta di assunzione arbitraria?

La combinazione BBB è meno probabile delle combinazioni che contengono due palline bianche o due palline nere.

Perché per realizzarsi BBB occorre che la prima pallina (presa da un recipiente immaginario contenente infinite palline bianche ed infinite palline nere in uguale misura) sia necessariamente una pallina bianca P=1/2 , che la seconda sia anch'essa bianca P= 1/2 e che lo sia pure la terza P=1/2.

Per cui la probabilità complessiva che si realizzino questi tre eventi è (1/2)^3 = 1/8

Nel caso invece delle serie di tre contenenti due palline bianche e una nera, le probabilità sono maggiori.

Perché si ottengono due palline bianche ed una nera, in modi diversi.

Prendendo le palline dal serbatoio immaginario si ottengo due palline bianche e una nera, sia se vengono estratte nell'ordine BBN sia se vengono estratte nell'ordine BNB e sia se vengono estratte nell'ordine NBB.

Siccome ognuna di queste tre permutazioni ha una probabilità P=1/8 la probabilità complessiva di trovare due palline bianche e una nera è data dalla loro somma, ed è quindi pari a 3/8.

Sei o non sei d'accordo su questo?

Quanto ho appena esposto, sono i mattoncini fondamentali su cui si basano le probabilità.

Ti consiglio di studiarli, ma non ora, forse è meglio se ti distrai un po', perché a furia di parlare di palline, mi sa che sei finito nel pallone. :D

:hello:

aspesi 01-12-14 15:15

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 741802)
Sei o non sei d'accordo su questo?

:hello:

Ho una vaga idea che Erasmus ci stia prendendo in giro... :D

:hello:

Erasmus 01-12-14 15:25

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 741773)
Le combinazioni ordinate di palline sono le seguenti:
BBB
BBN
BNB
NBB
BNN
NBN
NNB
NNN
[ ..., ecc. ecc.]
... ricapitolando:
3 palline bianche 1/8
2 palline bianche 3/8
1 pallina bianca 3/8
0 palline bianche 1/8

Tutto già scritto anche da Erasmus :fis:
Quote:

astromauh (Scrivi 741773)
A questo punto viene estratta una pallina, che risulta essere bianca.
Questa informazione ci permette di ricalcolare le probabilità delle 8 combinazioni possibili.
BBB
BBN
BNB
NBB
BNN
NBN
NNB
NNN
Quante sono le palline bianche presenti in ciascuna delle 8 combinazioni possibili?
Sono...
BBB 3
BBN 2
BNB 2
NBB 2
BNN 1
NBN 1
NNB 1
NNN 0

Me l'hai già spiegato questa notte.
E ti ho risposto che, appunto, aggiungi una informazione nuova, insita nel metodo con cui calcoli le nuove probabilità dei tre casi residui.
Assumi (arbitrariamente) che la probabilità di una "disposizione" (che non è una "combinazione" perché è una terna "ordinata") sia il rapporto tra quanti B contiene e tutti i B. Ti ripeto, come t'ho detto per MP stanotte, che questa assunzione è una ulteriore ipotesi arbitraria (anche se sembra ragionevole).
Quote:

astromauh (Scrivi 741773)
BBB 3
BBN 2
BNB 2
NBB 2
BNN 1
NBN 1
NNB 1
NNN 0

Come ho già detto ad aspesi, gli stessi numeri (con 0 per la NNN) ti risultano anche prima di aver estratto la pallina bianca. Ma prima le probabilità non erano queste, e in particolare non era P(NNN) = 0 bensì P(NNN) = 1/8.
Quote:

astromauh (Scrivi 741773)
Quindi non è vero come dice Erasmus che ci si è limitati ad escludere la combinazione NNN

Mai detto questo! Ho detto (segnandolo anche come lapalissiano) che il sapere che una pallina è bianca implica P(NNN) = 0 [= le tre palline NON sono tutte nere].
Quote:

astromauh (Scrivi 741773)
La somma di queste probabilità è 4/4, e quindi i conti tornano.

I conti tornano anche in ciascuna delle varie ipotesi considerate da Erasmus. Ci mancherebbe che non tornassero!
Per esevmpio, avevo immaginato [sbagliando!] che voi arrivaste a P(BBB) = 1/4 supponendo ancora
P(una bianca e due nere) = P(una nera e due bianche)
[uguaglianza che resta necessaria si continua a ritenere, anche dopo l'esclusione di NNN, che la probabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera è rimasta la stessa, cioè 1/2).
E vedi che anche con questa ipotesi (che vi avvevo ERRONEAMENTE attribuito) i conti tornano
Codice:

  P(BBB)  +  P(2B 2 1N)  +  P(1B e 2N) + P(BBB)  = 1
    1/4      +      3/8      +      3/8      +      0    = 1

––––
:hello:

astromauh 01-12-14 16:53

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741806)
Tutto già scritto anche da Erasmus :fis:
Me l'hai già spiegato questa notte.
E ti ho risposto che, appunto, aggiungi una informazione nuova, insita nel metodo con cui calcoli le nuove probabilità dei tre casi residui.
Assumi (arbitrariamente) che la probabilità di una "disposizione" (che non è una "combinazione" perché è una terna "ordinata") sia il rapporto tra quanti B contiene e tutti i B. Ti ripeto, come t'ho detto per MP stanotte, che questa assunzione è una ulteriore ipotesi arbitraria (anche se sembra ragionevole).

Già, come sarebbero arbitrari i segni zodiacali. :D

Perché la mia sarebbe una assunzione arbitraria?

Io non definisco arbitrario qualcosa che mi da i risultati giusti. Non dimenticare che ho fatto anche una simulazione.

Ma simulazione a parte, mi sembra tutto corretto.

Siamo nel punto in cui è stata estratta la prima pallina bianca.

Da dove sarà uscita questa pallina bianca?

B

E' uscita necessariamente da una delle 8 terne ordinate, che sintetizzano in se stesse, tutto l'universo delle infinite palline bianche e delle infinite palline nere, equiprobabili.

Il totale delle palline bianche contenute nelle 8 terne ordinate è 12.

Quote:

BBB 3
BBN 2
BNB 2
NBB 2
BNN 1
NBN 1
NNB 1
NNN 0
Nella terna ordinata BBB ci sono tre palline bianche, qual è la probabilità, che la pallina bianca che è stata estratta, provenga proprio da questa terna?

Siccome la probabilità è data dal totale dei casi favorevoli sul totale degli eventi, la probabilità che la pallina bianca che abbiamo estratto provenga proprio dalla terna ordinata BBB è P= 3 / 12.

Vogliamo rimettere in discussione il concetto di probabilità?

Non ti sta bene che assumo che le 8 terne ordinate raffigurano l'intero universo delle possibili combinazioni?

Io non ci vedo proprio nulla di arbitrario.

Queste cose le ha stabilite il Padreterno, e anche se non si crede in Dio, bisogna accettarle.

Arbitrario una terna di palline! :mad: :D

Continuo a leggere il resto che hai scritto....

astromauh 01-12-14 16:54

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741806)
Per esevmpio, avevo immaginato [sbagliando!] che voi arrivaste a P(BBB) = 1/4 supponendo ancora
P(una bianca e due nere) = P(una nera e due bianche)
[uguaglianza che resta necessaria si continua a ritenere, anche dopo l'esclusione di NNN, che la probabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera è rimasta la stessa, cioè 1/2).
E vedi che anche con questa ipotesi (che vi avvevo ERRONEAMENTE attribuito) i conti tornano
Codice:

  P(BBB)  +  P(2B 2 1N)  +  P(1B e 2N) + P(BBB)  = 1
    1/4      +      3/8      +      3/8      +      0    = 1


Ma tu su che forum sei? Su Coelestis?

Perché ci attribuisci un calcolo delle probabilità errato e che nessuno ha mai fatto? :mmh:

E' ovvio che la probabilità delle palline 2B+N e 2N+B non rimangono invariate dopo che è stata estratta la prima pallina bianca. La probabilità di 2B+N aumenta e quella di 2N+B diminusce.

E il valore esatto si calcola come ho fatto per 3B.

due palline bianche
BBN = 2 / 12 = 1/6
BNB = 2 / 12 = 1/6
NBB = 2 / 12 = 1/6
Totale= 3/6 = 1/2


una pallina bianca
BNN = 1 / 12
NBN = 1 / 12
NNB = 1 / 12
Totale 3/12 = 1/4

1/4 + 1/2 + 1/4 = 4/4 E i conti tornano

Naturalmente non basta che il totale delle probabilità sia 1 per far tornare i conti. Questa è solo una elementare verifica, per far tornare i conti, le probabilità devono essere corrette.

:)

Erasmus 01-12-14 18:00

Re: Estrazioni casuali
 
@astromauh
Risparmio una citazione.
Stai pensando che Erasmus dubiti addirittura che a priori le probabilità siano 1/8, 3/8, 3/8, 1/8.
Sbagli: che è così l'ho già detto (più volte).
Aggiungo: Ho affermato che voi «mi dite che ...». Cioè: per voi va bene 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Non ho detto né lasciato intendere che per me non va bene!
Supponi che Tizio dica: «Il cielo è sereno» e Caio dica poi a Tizio: «Secondo te il cielo è sereno ...».
Questo non significa che per Caio il cielo NON è sereno!
In Logica, una aggiunta complementare al pensiero altrui si dice "abduzione" (cosa ben diversa da "deduzione").
Quote:

astromauh (Scrivi 741797)
Ma come no?
Ma se l'ha calcolata anche Mizarino e senza considerare la pallina estratta.
La probabilità che le due palline non estratte siano entrambe bianche è chiaramente 1/4.
Perché deve essere bianca la prima pallina e deve essere bianca la seconda pallina,
e quindi 1/2 * 1/2 = 1/4

Chiaramente?
Sì se fai l'ulteriore ipotesi che la probabilità di una pallina di essere bianca o nera è rimasta 1/2, ossia se fai l'ipotesi che siano equiprobabili i quattro possibili casi delle 2 palline rimaste:
BB, BN, NB, NN.

Siete di coccio!

a) A PRIORI (è detto nella aggiunta postuma) la probabilità di una pallina di essere bianca o nera in fase di formazione del sacchetto è 1/2.
[L'ipotesi è arbitraria: ma è giusto che sia così se fa parte del testo del quiz. Non sta bene invece se non fa parte del testo del quiz né si può da esso dederre].
Ciò comporta che ogni terna-disposizione sia A PRIORI equiprobabile [con probabilità (1/2)^3, in quanto composizione di tre eventi uguali ed indipendenti ciascuno con due soli esiti possibili equiprobabili.

b) A POSTERIORI (cioè: una volta formato il sacchetto e dopo aver scoperto che le palline NON sono tutte tre nere) non posso sapere le probabilità delle combinazioni
(tre bianche),
(due bianche e una nera),
(una bianca e due nere)
perché, il fatto di sapere che di sicuro le palline non sono tutte nere elimina il presupposto:
Probabilità di OGNI pallina di essere B o N = 1/2.
Lo elimina perché, se valesse ancora, varrebbe ancora P(NNN) = 1/8, mentre a posteriori si sa che P(NNN) = 0.
Dire che vale ancora per le palline rimaste nel sacchetto ... è molto ragionevole, non contraddice niente (né postulati né affermazioni già ammesse).
Ma è pur sempre una ULTERIORE IPOTESI, essendo caduta quella che "OGNI pallina ha probabilità 1/2 di essere bianca o nera" dal momento che la pallina estratta ha probabilità 1 di essere bianca e 0 di essere nera.
E' cambiato lo spazio degli eventi!
Sia A la pallina estratta e siano X e Y quelle ancora non estratte.
Il dire ora
P(A è bianca) = 1 [e quind P(A è nera) = 0] e
P(X è bianca) = P(X è nera) = P(Y è bianca) = P(Y è nera) = 1/2
è una assunzione EVIDENTEMENTE diversa dalla precedente
P(A è bianca) = P(A è nera) = P(X è nera) = P(Y è bianca) = P(Y è nera) = 1/2

Non è incoerente, certo; anzi: è molto ragionevole! :)
Ma pur sempre ULTERIORE, essendo diversa dalla precedente.

Insomma: quante volte ve lo devo dire che il risultato del calcolo dipende dal metodo adottato nel quale è inesorabilmente insita una ulteriore ipotesi?

––––––––––
@ aspesi
No, non sto prendendo in giro nessuno! :mad:

Torno un'attimo a Tizio che preparava il sacchetto per aspesi scegliendo un metodo che garantisse la distribuzione uniforme delle 8 disposizioni possibili ("disposizioni" perché Tizio sceglie "ordinatamente" (nel tempo), ossia una alla volta, le tre palline da infilare nel sacchetto dove esse, perdendo l'ordine, diventano una "combinazione" di quattro possibili).
Tizio sa la vera combinazione, sa quante B e quante N stanno nel sacchetto.
La combinazione a sacchetto formato lui la sa: questa per lui ha probabilità 1 e le alttre tre hanno ciascuna probabilità zero.
Ripeto: distinguere la fase di formazione del sacchetto (e allora è assumiboile l'ipotesi arbitraria che ogni pallina abbia probabilità 1/2 di essere B e ancora 1/2 di essere N) da quella di sacchetto già formato.

------------
Tagliamo corto!

La corretta teoria della probabilità è assiomatica. Lo stesso concetto di probabilità è un "concetto primitivo" (non definibile, come in geometria assiomatica i concetti di punto, retta e piano ).
In ogni teoria assiomatica ci sono degli assiomi (dati gratuitamente ma "coerentemente") che sono "predicati" sui concetti primitivi (ossia: enunciano proprietà dei concetti primitivi, e come tali perfezionano la conoscenza – inizialmente solo intuitiva – dei concetti primitivi). Gli assiomi sono dati "coerentemente" e lo sviluppo della teoria deve pure essere "coerente", ossia nel rispetto del principio di non contraddizione.

In astratto posso costruire, con una data teoria assiomatica, modelli a piacere di situazioni reali, purché siano rispettati gli assiomi e [purché] ogni successiva affermazione sia dedotta dagli assiomi e/o dalle precedenti affermazioni.
L'assioma principe della teoria della probabilità è che la somma delle probabilità dei possibili singoli esiti di ogni evento vale 1.
[E' verificando questo che ... «I conti tornano» mi ripeteva astromauh!]

Orbene:
Secondo me, dopo estratta una pallina uscita bianca, la situazione
P(tre bianche) = 1/4
P(due bianche e una nera) = 1/2
P(una bianca e due nere) = 1/4
NON E' L'UNICA che rispetta gli assiomi della teoria della probabolità.

Mi pare di aver fatto esempi di altre distribuzioni altrettanto rispettose degli assiomi della teoria della probabilità.

Il che equivale a dire che, secondo me, il fatto di venir a sapere che P(NNN) = 0 (mentre prima dell'estrazione era P(NNN) = 1/8) necessita di ulteriore ipotesi per il computo della distribuzione di probabilità.

Siccome sono un umano (e ... «errare humanum est»), ho detto «mi pare».
Per favore: qualcuno, invece di insistere sulla distribuzione (a posteriori)
P(3B) = 1/4
P(2B e 1N) = 1/2
P(!B e 2N) = 1/4
spiegandomi come ci è arrivato, mi faccia vedere che essa è davvero UNICA (per esempio mostrandomi che ogni altra distribuzione violerebbe qualche postulato della teoria o qualche informazione di quelle contenute nel testo del quiz ... incominciando magari dal falsificare le diverse distribuzioni offerte da me nelle precedenti mie "lungaggini").
Lo ringrazio in anticipo, passo e chiudo!
–––––––––
:hello:

Mizarino 01-12-14 18:47

Re: Estrazioni casuali
 
Mettiamola in un altro modo, più semplice e che forse ha qualche probabilità in più di risparmiarci un terrificante sproloqio di Erasmus... :D

Nel bussolotto ci sono due palline, il cui colore è stato deciso facendo lanciare due volte una moneta perfettamente equilibrata da un bambino bendato.
Se ne estrae una, ed è bianca.
A questo punto, secondo te, conviene scommettere alla pari che la seconda pallina sia nera oppure è perfettamente indifferente ?

Chi pensasse che conviene scommettere sul nero cadrebbe nella stessa fallacia statistica di chi pensa che un numero "ritardatario" al lotto o alla roulette abbia più probabilità di essere estratto di qualsiasi altro numero.
;)

aleph 01-12-14 18:59

Re: Estrazioni casuali
 
Effettivamente non capisco le perplessità di Erasmus...:eek:

Tra l'altro mi pare anche abbastanza evidente di per sé che ogni lancio di una moneta abbia sempre la stessa probabilità di fare testa o croce, pure dopo dieci o cento "teste" di seguito, la possibilità che il prossimo lancio sia testa è la stessa di croce.


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 20:18.

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