Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia (http://www.trekportal.it/coelestis/index.php)
-   Rudi Mathematici (http://www.trekportal.it/coelestis/forumdisplay.php?f=11)
-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

Erasmus 01-12-14 00:35

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741643)
Quote:

Erasmus
Provo a riscrivere il quiz senza equivoci.
«In un sacchetto ci sono tre palline, ciascuna delle quali può essere (con probabilità del 50%)* bianca o nera.
Ne estraggo una a caso ed è bianca.
Qual è la probabilità che tutte tre le palline siano bianche?»

* E' una mia aggiunta

Allora riconosci di non spiegarti bene! :D

Prima – lapalissiano! – questa aggunta non c'era!
Quindi l'informazione era carente (E l'aggiunta è POSTUMA!)

La mia dichiarazione (che non puoi sapere la probabilità del caso «tutte tre bianche») è avvenuta PRIMA di questa tua postuma aggiunta.

Ed era una osservazione APPROPRIATA.

Adesso, se ti soffermi a ragionare un po' meglio, vedrai che anche DOPO l'aggiunta "postuma", dal fatto che hai estratto una pallina bianca non puoi sapere la probabilità di "tutte tre bianche" senza fare un'ulteriore ipotesi.
[Quella "implicita" vostra – di cui probabilmente non vi rendete conto – è il supporre che restino uguali una all'altra le probabilità di "due bianche e una nera" e di "due nere e una bianca").
L'unica osa certa per sola deduzione (senza ulteriori ipotesi) è ... lapalissiana!
«Escludere il caso "tutte nere
---------

Esaminiamo ora il quiz DOPO aver recepito nel testo la aggiunta POSTUMA.
Ora dai indirettamente una informazione fondamentale sullo spazio degli eventi.
Ma ancora non ti spieghi chiaramente! :mad:
Infatti l'informazione sembra data "incosciamente", certamente non è data "esplicitamente"!

Quel che dici (probabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera = 1/2) implica che se si nascondesseero le tre palline in tre distinte scatole A, B e C e si mettessero queste scatole in fila, si avrebbero 8 possibili disposizioni (come i numeri in base 2 a tre cifre).
E fin qui OK.

[Però ... il sacchetto con le tre palline dell'ordine se ne frega!]

Ma la aggiunta implica che ciascuna delle 8 disposizioni sia equiprobabile [con probabilità (1/2)^3 =1/8]

E ti pare poco?

Non ti eri espresso bene non solo perché l'erspressione era equivoca, ma anche (e soprattutto) perché hai saltato a pié pari una informazione fondamentale sullo spazio degli eventi.

Prescindendo dall'ordine (e prima di aver estratto la bianca), la tua aggiunta postuma stabilisce la probabilità (sempre a priori) dei quattro casi:
a) P(tre bianche) = 1/8
b) P(tre nere) = 1/8
Allora P (una bianca e due nere oppure una nera e due bianche) = 1 – (1/8 + 1/8) = 3/4.
E siccome i due casi a due colori devono risultare equiprobabili (a priori), ciascuno avrà probabilità (a priori) (3/4)/2 = 3/8. Ossia:
c) P(una bianca e due nere) = 3/8
d) P(una nera e due bianche) = 3/8.

Dopo estratta la pallina bianca, occorre escludere che le palline siano tutte e tre bianche.
Ma è proprio qui che viene il "busillis"!

La nuova conoscenza non ci dà solo un'informazione in più, ma modifica l'informazione che avevamo "a priori".

NON E' PIU' VERO CHE OGNI PALLINA HA UGUALE PROBABILITA' DI ESSERE BIANCA O NERA.

Ma voi (astromauh, tu e maucarlino) fate una assunzione arbitraria.
Continuate a supponete che le probabilità che le palline siano una bianca e due nere oppure una nera e due bianche siano rimaste quelle di prima (cioè 3/8 ciascuna), ciò che deriva mantenendo intatta la probabilità 50% di ciascuna pallina di essere bianca o nera.
Se fosse così succedeREBBE infatti:
P(tre bianche) = 1 – [P(due bianche e una nera) + P((una bianca e due nere)] = 1 –(3/8 +3/8) = 1/4.

Ma perché dovrebbe essere ancora P(una bianca e due nere oppure una nera e due bianche) = 3/4?
Non vi accorgete della arbitrarietà di questa assunzione "a posteriori" [i.e. dopo aver saputo che P(tre nere) = 0]?

Esaminando le 7 disposizioni possibili (a posteriori)
BBB
BBN
BNB
BNN
NBB
NBN
NNB
si trova che anziché contare 12 B e 12 N, si contano 12 B e 9 N. E quindi verrebbe da pensare che B è più probabile di N e di conseguenza che
P(due biancne e una nera) > P(due nere e una bianca)
mentre voi avete assunto anche "a posteriori"
P(due bianche e una nera) = P(due nere e una bianca) = 3/8.

Questa assunzione "a posteriori" è certamente SBAGLIATA.
Infatti quel 3/4 saltaVA fuori dall'aver assunto "a priori" 1/8 la probabilità di ciascuna delle 8 disposizioni possibili, mentre "a postreriori" sappiamo che non è così perché la probabilità P(3 nere) non è più 1/8 (come verrebbe dall'ipotesi aggiunta "postuma") ma è diventata 0.
––––––––
:hello:

Erasmus 01-12-14 02:47

Re: Estrazioni casuali
 
Carissimi aspesi, astromauh e maucarlino,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cercherò di risolverVI il "busillis" (che è vostro, in quanto io me lo sono già chiarito).

Occorre distinguere la probabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera nella fase di formazione del sacchetto da quella nella nella fase di estrazione dal sacchetto.

Facciamo così.
Il sacchetto delle tre palline lo prepara Tizio all'insaputa di aspesi.
Tizio dispone di 6 palline in tutto uguali tranne il colore: tre sono bianche e tre sono nere.
Tizio dispone anche di un dado ... "perfetto" (con facce numerate da 1 a 6).
Lancia tre volte il dado.
Ad ogni volta, se esce meno di 4 mette nel sacchetto una pallina bianca; se esce più di 3 ci mette mette una pallina nera.

Ecco: nella fase di formazione del sacchetto la probabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera è 50%.

In realtà, chissà quale dei quattro casi possibili ci sta davvero nel sacchetto nella fase di "estrazione".

Permettetemi una divagazione ... didattica!
Supponiamo di avere 1000 monete "perfette" e di lanciarle assieme.
Poi ne separiamo un decimo – cioè 100 – (senza rovesciarle e senza guardare se sono teste T o croci C).
Non è affatto detto che in quel decimo metà monete siano uscite di testa T e metà di croce C!
Senza aver visto le uscite, prendo una moneta e solo allora la guardo e vedo che era uscita T.
Sono allora certo che le 100 monete non sono tutte C.
Domanda: qual è la probabilità che, sollevando una seconda moneta, questa sia ancora T?
Risposta: io non lo so!
La probabilità dipende da quante monete, di quelle 100, sono T e quante sono C; ma è questo che io non so.

Saprei rispondere se sapessi che di quelle 100 p sono T e 100 – p sono C.
Allora la probabilità che una moneta scelta a caso sia T sarebbe p centesimi (e che sia C sarebbe 1 – p/100).

Ovviamente, se le monete sono un numero enorme, è "molto probabile" che siano (quasi) metà croce C e metà testa T; e pure che anche quel decimo sia (quasi) metà C e metà T. E quindi è "ragionevole" CONSERVARE l'ipotesi che ciascuna moneta abbia ancora probabilità 50% di essere bianca o nera.[size=1]. Si tratta infatti di "una [comoda] approssimazione tanto migliore quanto più alta è la numerosità".

Ma non è ragionevole conservare questa ipotesi se la numerosità è piccola perché si tratta di "una approssimazione tanto peggiore quanto più bassa è la numerosità". :p

In modo analogo si ragiona in termodinamica dei gas, data l'enormità del numero di molecole in gioco in ogni fenomeno non microscopico. Quando leggo la temperatura ambientale su un termometro (che sta in un "ambiente" ben più voluminoso di sé) ipotizzo che l'energia cinetica media delle sole molecole (d'aria) che vengono in contatto col termometro sia la stessa energia cinetica media di tutte le molecole dell'aria dell'ambiente. Se no ... addio alle leggi di Boyle e di Gay–Lussac].

Ma se le palline sono poche ... non ho nessuna possibilità di sapere quale probabilità ha una estrazione tra quelle poche di dare esito "pallina bianca" o invece "pallina nera".

E' necessario che faccia un'ulteriore ipotesi.
Per esempio, dato che ero partito da uguale probabilità 1/8 di ognuna delle 8 disposizioni, eliminando la disposizione NNN me ne restano 7; ed è altrettanto ragionevole (benché ancora arbitrario) supporre che queste 7 siano ancora equiprobabili (e quindi ciascuna con probabilità 1/7). Con ciò avrei tre casi con queste probabilità:
a) P(tre bianche) = 1/7
b) P(due bianche ed una nera) = 3/7
c) P(due nere e una bianca) = 3/7
[Confrontare con la vostra conclusioone
a) P(tre bianche) = 1/4
b) P(due bianche e una nera) = 3/8
c) P(due nere e una bianca) = 3/8

Il rapporto P(due bianche una nera)/P(tre bianche) sarebbe ancora 3 come nella situazione "a priori" (mentre per voi cala di brutto del 50%: da 3 a 3/2).

Notare che 1/7 (probabilità di ciascuna disposizione) differisce da 1/8 solo di
1/7 – 1/8 = 1/56. :)
Invece 1/7 (probabilità BBB nella nuova [mia] ipotesi) differisce da 1/4 [probabilità BBB nella conservazione [vostra] della vecchia ipotesi] di
1/7 – 1/4 = –3/28
(che in valore assoluto è 6 volte di più).

Proviamo con 100 monete T o C ... pardon: con [equivalenti] 100 palline bianche o nere.
Nella vostra ipotesi ... conservativa, siccome a priori 100 palline bianche darebbero 2^100 possibili disposizioni equiprobabili, ogni disposizioine, comprese quella "tutte bianche" e quella "tutte nere", avrebbe probabilità (a priori)
1/2^100 ≈ 7,8886/10^31 (una ... miseria, pressochè NULLA).
Quindi la probabilità (a priori) che siano non tutte bianche né tutte nere è
P(due colori) = 1 – 2/2^100 (praticamente ancora 1).

Escludendo (a posteriori) il caso "tutte nere", col vostro metodo viene;

P(tutte bianche) = 1 – P(due colori) = 1 –2· 1/2^100) = 2/2^100,

Ancora una miseria pressoché nulla, .. epperò ancora il doppio della precedente probabilità "a priori".
E questo succederebbe sempre, anche per una infinità di palline! Il che non è molto ragionevole (ma non disturba, essendo ancora infinitesimo il doppio di un infinitesimo).

Col mio metodo, invece, "tutte bianche" verrebbe solo un pelo più probabile a posteriori che a priori

P(tutte bianche) = [(2^100)/(2^100 – 1)] ·(1/2^100) = 1/(2^100 – 1) ≈ (1/2^100) ·(1 + 1/2^100).

Il che mi pare più ragionevole perché, al tendere all'infinito del numero di palline, la probabilità che siano tutte bianche dovrebbe tendere a zero indipendentemente dal sapere se possono o no essere tutte nere, dato che anche la probabilità di "tutte nere" [da escludere a posteriori] è infinitesima.

Un''altra ipotesi "ragionevole" (benché ancora arbitraria) – parlando in generale di p palline nel sacchetto – è quella di contare quante volte ci sta la "cifra" B e quante volte la "cifra" N nelle 2^p disposizioni possibili.
Come già visto, per p = 3 palline, a priori abbiamo le 8 disposizioni [equiprobabili]
BBB
BBN
BNB
BNN
NBB
NBN
NNB
NNN
in cui 12 volte ci sta B e altre 12 ci sta N (su 24 cifre in tutto).
E' quindi ragionevole ipotizzare equiprobabile che una pallina sia bianca oppure nera (50%).

Se eliminiamo la disposizione NNN, abbiamo [come già visto]:
BBB
BBN
BNB
BNN
NBB
NBN
NNB
in cui B ci sta 12 volte ed N ci sta 9 volte.
Verrebbe allora da dire che la probabilità che una pallina sia bianca è
12/(12 + 9) = 4/7
e che sia nera è
9/(12 + 9) = 3/7.
Ma in tal caso non possiamo più dare
• a BBB la probabilità (4/7)^3 = 64/343
• a BBN , a BNB e a NBB la probabilità [(4^2) ·3]/(7^3) = 48/343
• a NNB, a NBN e a BNN la probabilità [4·(3^2)]/(7^3) = 36/343
perché la somma delle probabilità non farebbe più 1 bensì
(64 + 3·48 + 3·36)/343 = 316/343 = 1 – (3/7)^3 < 1.

Potremmo però aggiustare la situazione moltiplicando tutte le 7 probabilità [delle 7 disposizioni possibili] per 343/316 ottenendo
• per BBB la probabilitàm 64/316 = 16/79;
• per BBN, BNB e NBB la probabilità 48/316 =12/79;
• per BNN, NBN e NNB la probabilità 36/316 = 9/79..

Questo mi pare più ragionevole del vostro raddoppiare la probabilità di "palline tutte bianche" mentre [invece] conservate uguali una all'altra le due probabilità P(una nera e due bianche) e P(una bianca e due nere) dato che aumenta non solo la probabilità (a posteriori) di BBB ma anche quella di "due bianche e una nera" mentre riduce quella di "due nere e una bianca".

Infine, prescindendo dall'ordine delle tre palline, se voi vi permettete di conservare "a posteriori" l'uguaglianza
P(2 bianche e 1 nera) = P(1 bianca e 2 nere)
non vi dovrebbe scandalizzare nemmeno l'ipotesi
P(3 bianche) = P(due bianche e una nera) = P(una bianca e due nere) = 1/3
---------

Conclusione:
Comuunque, una sola estrazione permette SOLO di escludere il caso "tutte dello stesso colore", e NON già di sapere la probabilità di "tutte bianche" (la quale EQUIVALE a saper assegnare a ciascuno dei tre casi altrettante probabilità a somma 1)
La valutazione della probabilità P(tutte tre bianche) necessita di ulteriore ipotesi.
–––
:hello:

Mizarino 01-12-14 04:45

Re: .
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741719)
Non è proprio così, perché "condiziona" la probabilità di BBB o NNN ecc... che si aveva in precedenza (prima di estrarre la pallina e vedere di che colore è).

Come ha giustamente notato Astromauh, il mio ragionamento intendeva applicarsi solo al primo quesito, quando non rimetti dentro la pallina.

aspesi 01-12-14 06:45

Re: .
 
Quote:

maucarlino (Scrivi 741734)
2^20/(2+2^20) = 1.048.576/1.048.578 da cui semplificando si ottiene
524.288/524.289

:ok:

Mi hai fregato....:o
Io non ho calcolato 2^20 e mi sono fidato di quanto avevi scritto:
2^20/[1*0+2*1+2^20]=524.288/524.289
credendo che 2^20 fosse 524.288, mentre tu avevi semplificato dividendo per 2 numeratore e denominatore.

Mi sta bene, a voler fare il pignolo... :D

:hello:

aspesi 01-12-14 07:14

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741737)
Prescindendo dall'ordine (e prima di aver estratto la bianca), la tua aggiunta postuma stabilisce la probabilità (sempre a priori) dei quattro casi:
a) P(tre bianche) = 1/8
b) P(tre nere) = 1/8
Allora P (una bianca e due nere oppure una nera e due bianche) = 1 – (1/8 + 1/8) = 3/4.
E siccome i due casi a due colori devono risultare equiprobabili (a priori), ciascuno avrà probabilità (a priori) (3/4)/2 = 3/8. Ossia:
c) P(una bianca e due nere) = 3/8
d) P(una nera e due bianche) = 3/8.

Dopo estratta la pallina bianca, occorre escludere che le palline siano tutte e tre bianche.
Ma è proprio qui che viene il "busillis"!

La nuova conoscenza non ci dà solo un'informazione in più, ma modifica l'informazione che avevamo "a priori".

NON E' PIU' VERO CHE OGNI PALLINA HA UGUALE PROBABILITA' DI ESSERE BIANCA O NERA.

Ma voi (astromauh, tu e maucarlino) fate una assunzione arbitraria.

:hello:

Ma noi non facciamo nessuna assunzione di questo tipo.

Infatti, l'estrazione di una pallina B esclude solo la presenza di 3N però, prima del suo reinserimento, possiamo tranquillamente essere certi che nel sacchetto ci potrebbero essere indifferentemente (25% probabilità) BB, NB, BN, NN.
Quindi:
B | B B
B | B N
B | N B
B | NN

(come giustamente aveva fatto rilevare Mizarino)

E le probabilità (considerando le 2 nel sacchetto) cambiano rispetto alle 3 iniziali, diventando:
BBB = 1/4
BBN + BNB = 1/2
BNN = 1/4
NBB + NBN + NNB + NNN = 0

:hello:

aspesi 01-12-14 07:34

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741738)
Per esempio, dato che ero partito da uguale probabilità 1/8 di ognuna delle 8 disposizioni, eliminando la disposizione NNN me ne restano 7; ed è altrettanto ragionevole (benché ancora arbitrario) supporre che queste 7 siano ancora equiprobabili (e quindi ciascuna con probabilità 1/7). Con ciò avrei tre casi con queste probabilità:
a) P(tre bianche) = 1/7
b) P(due bianche ed una nera) = 3/7
c) P(due nere e una bianca) = 3/7
[Confrontare con la vostra conclusione
a) P(tre bianche) = 1/4
b) P(due bianche e una nera) = 3/8
c) P(due nere e una bianca) = 3/8

Il rapporto P(due bianche una nera)/P(tre bianche) sarebbe ancora 3 come nella situazione "a priori" (mentre per voi cala di brutto del 50%: da 3 a 3/2).

Non è così.
Noi non eliminiamo solo NNN, ma anche NBN, NNB e NBB, per cui abbiamo, dopo l'estrazione B, solo 4 eventi possibili BBB, BBN, BNB e BNN ciascuno dei quali probabile al 25%. Quindi possiamo dedurre che le probabilità, da 1/8, 3/8, 3/8, 1/8 iniziali, sono diventate a posteriori:
a) P(tre bianche) = 1/4
b) P(due bianche e una nera) = 1/2
c) P(due nere e una bianca) = 1/4

Quote:

Erasmus (Scrivi 741738)
Conclusione:
Comuunque, una sola estrazione permette SOLO di escludere il caso "tutte dello stesso colore", e NON già di sapere la probabilità di "tutte bianche" (la quale EQUIVALE a saper assegnare a ciascuno dei tre casi altrettante probabilità a somma 1)
La valutazione della probabilità P(tutte tre bianche) necessita di ulteriore ipotesi.
–––
:hello:

Sei di coccio! :mad:

:hello:

astromauh 01-12-14 10:10

Re: Estrazioni casuali
 
Voglio provare a rispiegare come si arriva a determinare che dopo che per due volte è stata estratta una pallina bianca, la probabilità che nel sacchetto ci siano tre palline bianche è uguale a 3/8.

Sappiamo che le palline hanno la stessa probabilità di essere nere o bianche.

Questa cosa Aspesi non l'aveva detta esplicitamente nel suo quiz, dandola per sottintesa.

Però si è ravveduto, tanto è vero che poi ha voluto precisarlo in un post successivo, perché è un bravo ragazzo, e allora secondo me va perdonato. :)

Erasmus, se avevi dei dubbi su che cosa intendeva Aspesi, avresti dovuto chiedergli delle spiegazioni subito, e non quando il quiz è stato ormai risolto da un pezzo.

Le palline nel sacchetto non hanno un ordine, non c'è una pallina n.1, una pallina n.2 e una pallina n.3, ci sono 3 palline e basta.

Però ci conviene vederle come se un ordine ce l'avessero per calcolare la probabilità delle diverse combinazioni di palline.

Le combinazioni ordinate di palline sono le seguenti:

BBB
BBN
BNB
NBB
BNN
NBN
NNB
NNN

Ognuna di queste 8 combinazioni ordinate ha la stessa probabilità di uscita.


BBB 1/8
BBN 1/8
BNB 1/8
NBB 1/8
BNN 1/8
NBN 1/8
NNB 1/8
NNN 1/8

Da cui ne consegue che la probabilità che ci siano tre palline bianche è 1/8 così come è 1/8 la probabilità che ci siano tre palline nere.

Le altre combinazioni di palline sono invece più probabili.

La probabilità che ci siano 2 palline bianche e 1 nera, è data dalla somma delle probabilità di BBN + BNB + NBB, ossia 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8.

Così come la probabilità che ci siano 2 palline nere e 1 bianca, è data dalla somma delle probabilità di BNN + NBN + NNB, ossia 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8.

Quindi ricapitolando:

3 palline bianche 1/8
2 palline bianche 3/8
1 pallina bianca 3/8
0 palline bianche 1/8

La somma di queste probabilità è 8/8, e quindi i conti tornano.

Spero che almeno fino a qui Erasmus sia d'accordo con me.

A questo punto viene estratta una pallina, che risulta essere bianca.

Questa informazione ci permette di ricalcolare le probabilità delle 8 combinazioni possibili.

BBB
BBN
BNB
NBB
BNN
NBN
NNB
NNN

Quante sono le palline bianche presenti in ciascuna delle 8 combinazioni possibili?

Sono...


BBB 3
BBN 2
BNB 2
NBB 2
BNN 1
NBN 1
NNB 1
NNN 0

La somma di queste palline bianche è

3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 0 = 12

Da cui ne consegue che la probabilità di ciascuna di queste 8 combinazioni possibili è


BBB 3 / 12
BBN 2 / 12
BNB 2 / 12
NBB 2 / 12
BNN 1 / 12
NBN 1 / 12
NNB 1 / 12
NNN 0 / 12

In particolare era richiesta dal quiz la probabilità di BBB che inizialmente valeva 1/8 ma che adesso che abbiamo saputo che c'è sicuramente una pallina bianca è diventata 3/12 ossia 1/4.

Ma abbiamo calcolato anche la probabilità delle altre combinazioni, che raggruppate in base al numero delle palline bianche, sono 2/12 + 2/12 + 2/12 = 6/12= 1/2 per due palline bianche e una nera, e 1/12 + 1/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 per due palline nere e una bianca, e 0/12 ossia 0 per le tre palline nere.

Quindi non è vero come dice Erasmus che ci si è limitati ad escludere la combinazione NNN, ma sono state ricalcolate le probabilità di tutte le combinazioni, viste prima come una serie di 8 combinazioni ordinate e poi raggruppate in base al numero delle palline bianche.


Quindi ricapitolando:

3 palline bianche 1/4
2 palline bianche 1/2
1 pallina bianca 1/4
0 palline bianche 0

La somma di queste probabilità è 4/4, e quindi i conti tornano.

A questo punto però dopo che la prima pallina estratta ed è stata rimessa nel sacchetto, viene estratta una seconda pallina che risulta essere bianca.

Dobbiamo quindi ricalcolare nuovamente le probabilità tenendo conto di questa nuova informazione.

Andiamo a vedere cosa succede con le 8 combinazioni possibili.

BBB 3
BBN 2
BNB 2
NBB 2
BNN 1
NBN 1
NNB 1
NNN 0

Il numero di palline bianche nelle 8 combinazioni è sempre lo stesso.

Solo che adesso siamo alla seconda estrazione di una pallina bianca, per cui questi numeri vanno elevati al quadrato.


BBB 3^2
BBN 2^2
BNB 2^2
NBB 2^2
BNN 1^2
NBN 1^2
NNB 1^2
NNN 0^2

Diventano

BBB 9
BBN 4
BNB 4
NBB 4
BNN 1
NBN 1
NNB 1
NNN 0

Calcoliamo la somma 9 + 4 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 = 24

Da cui ne consegue che la probabilità di ciascuna di queste 8 combinazioni possibili è


BBB 9 /24
BBN 4 /24
BNB 4 /24
NBB 4 /24
BNN 1 /24
NBN 1 /24
NNB 1 /24
NNN 0 /24

Raggruppiamo nuovamente queste 8 combinazioni in base al numero delle palline bianche.

Tre palline bianche = 9/24 = 3/8
Due palline bianche = 12/24= 1/2
Una pallina bianca = 3/24 = 1/8
Nessuna pallina bianca = 0

Controlliamo se abbiamo fatto bene

3/8 + 4/8 + 1/8 = 8/8

I conti tornano.

========================================

Il motivo per cui i calcoli si facciano proprio in questo modo, non è molto intuitivo.

C'ero arrivato prima di fare la simulazione, per cui in qualche modo debbo averlo intuito, però oggi non lo ricordo più. :o

:hello:

astromauh 01-12-14 11:36

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741738)
Carissimi aspesi, astromauh e maucarlino,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cercherò di risolverVI il "busillis" (che è vostro, in quanto io me lo sono già chiarito).

Occorre distinguere la probabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera nella fase di formazione del sacchetto da quella nella nella fase di estrazione dal sacchetto.

Facciamo così.
Il sacchetto delle tre palline lo prepara Tizio all'insaputa di aspesi.
Tizio dispone di 6 palline in tutto uguali tranne il colore: tre sono bianche e tre sono nere.
Tizio dispone anche di un dado ... "perfetto" (con facce numerate da 1 a 6).
Lancia tre volte il dado.
Ad ogni volta, se esce meno di 4 mette nel sacchetto una pallina bianca; se esce più di 3 ci mette mette una pallina nera.

Ecco: nella fase di formazione del sacchetto la probabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera è 50%.

In realtà, chissà quale dei quattro casi possibili ci sta davvero nel sacchetto nella fase di "estrazione".

Permettetemi una divagazione ... didattica!
Supponiamo di avere 1000 monete "perfette" e di lanciarle assieme.
Poi ne separiamo un decimo – cioè 100 – (senza rovesciarle e senza guardare se sono teste T o croci C).
Non è affatto detto che in quel decimo metà monete siano uscite di testa T e metà di croce C!
Senza aver visto le uscite, prendo una moneta e solo allora la guardo e vedo che era uscita T.
Sono allora certo che le 100 monete non sono tutte C.
Domanda: qual è la probabilità che, sollevando una seconda moneta, questa sia ancora T?
Risposta: io non lo so!
La probabilità dipende da quante monete, di quelle 100, sono T e quante sono C; ma è questo che io non so.

Saprei rispondere se sapessi che di quelle 100 p sono T e 100 – p sono C.
Allora la probabilità che una moneta scelta a caso sia T sarebbe p centesimi (e che sia C sarebbe 1 – p/100).

Ovviamente, se le monete sono un numero enorme, è "molto probabile" che siano (quasi) metà croce C e metà testa T; e pure che anche quel decimo sia (quasi) metà C e metà T. E quindi è "ragionevole" CONSERVARE l'ipotesi che ciascuna moneta abbia ancora probabilità 50% di essere bianca o nera.[size=1]. Si tratta infatti di "una [comoda] approssimazione tanto migliore quanto più alta è la numerosità".

Ma non è ragionevole conservare questa ipotesi se la numerosità è piccola perché si tratta di "una approssimazione tanto peggiore quanto più bassa è la numerosità". :p

In modo analogo si ragiona in termodinamica dei gas, data l'enormità del numero di molecole in gioco in ogni fenomeno non microscopico. Quando leggo la temperatura ambientale su un termometro (che sta in un "ambiente" ben più voluminoso di sé) ipotizzo che l'energia cinetica media delle sole molecole (d'aria) che vengono in contatto col termometro sia la stessa energia cinetica media di tutte le molecole dell'aria dell'ambiente. Se no ... addio alle leggi di Boyle e di Gay–Lussac].

Ma se le palline sono poche ... non ho nessuna possibilità di sapere quale probabilità ha una estrazione tra quelle poche di dare esito "pallina bianca" o invece "pallina nera".

Questo discorso non ha senso.

Nessuno ha la pretesa di indovinare quante palline bianche e nere ci siano nel sacchetto, ma si vuole soltanto calcolare la loro probabilità.

Sapendo che la probabilità di avere una pallina bianca o nera sono le stesse e che sono pari a 0,5 se ne deduce che

3 palline bianche 1/8
2 palline bianche 3/8
1 pallina bianca 3/8
0 palline bianche 1/8

a gioco fermo, ossia prima di estrarre una pallina dal sacchetto.

Successivamente si fanno i calcoli per vedere quante sono le probabilità dopo aver estratto una prima pallina bianca, una seconda pallina bianca, o enne palline bianche.

Quote:

Erasmus (Scrivi 741738)
La probabilità dipende da quante monete, di quelle 100, sono T e quante sono C; ma è questo che io non so.

E' vero, tu non sai quante sono le Teste e le Croci delle tue 100 monetine, però sai qual è la loro probabilità.


N

Probability
25

1,91313970645117E-07
26

5,51867223014745E-07
27

1,51252498159597E-06
28

3,94336870201818E-06
29

9,79043263949331E-06
30

2,31706905801339E-05
31

5,23209142132041E-05
32

0,000112816971272221
33

0,000232471334742762
34

0,000458105277287202
35

0,000863855665741603
36

0,00155973939647788
37

0,0026979276047185
38

0,00447287997624379
39

0,00711073226992618
40

0,0108438667116375
41

0,015869073236543
42

0,0222922695465721
43

0,0300686426442137
44

0,0389525597890956
45

0,0484742966264293
46

0,0579583981402964
47

0,0665904999909777
48

0,0735270104067047
49
- - -
0,0780286641050737
50
Expected
0,0795892373871743
51
Observedbserved
0,0780286641050737
52

0,0735270104067047
53

0,0665904999909777
54

0,0579583981402954
55

0,0484742966264285
56

0,038952559789095
57

0,0300686426442137
58

0,0222922695465721
59

0,0158690732365427
60

0,0108438667116376
61

0,00711073226992621
62

0,00447287997624381
63

0,00269792760471851
64

0,00155973939647789
65

0,000863855665741606
66

0,000458105277287211
67

0,000232471334742763
68

0,000112816971272224
69

5,23209142132052E-05
70

2,3170690580134E-05
71

9,79043263949326E-06
72

3,94336870201813E-06
73

1,51252498159597E-06
74

5,51867223014748E-07
75

1,91313970645113E-07

Queste sono le probabilità di trovare da 25 a 75 Testa, non sono riportate le probabilità di meno di 25 Testa o di più di 75 Testa perché ritenute così poco probabili da non essere praticamente possibili, ma volendo si possono calcolare anche queste.

Se estraendo una monetina a caso tra queste 100 senza guardare, ti sei ritrovato con una Testa, tutte le probabilità devono essere modificate.

Le combinazioni con più di 50 Testa diventano più probabili, e quelle con meno di 50 Testa diventano meno probabili, solo che a differenza del caso delle tre palline, le probabilità cambiano pochissimo.

Ad esempio la probabilità di trovare 0 Testa, inizialmente è uguale a (1/2)^100, ma dopo che hai estratto una moneta che è risultata essere Testa, la probabilità di trovare 0 Testa diventa 0.

Ma non cambia solo questa probabilità, cambiano tutte!

Anche se in modo irrisorio, perché ad esempio tra (1/2)^100 e zero, non c'è una grande differenza.

:hello:

Erasmus 01-12-14 13:32

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741752)
Non è così.
Noi non eliminiamo solo NNN, ma anche NBN, NNB e NBB,

:mmh:
Guarda che io sono ancora fermo a dopo che hai estratto una pallina bianca. E questo ti garantisce l'esclusione solo di NNN.
Ed è a questo livello che tu ti senti sicuro che la probabilità che nel sacchetto ci fossero tre palline bianche è 1/4.
Ed io mi sento sicuro che, a quel livello, senza un'ulteriore ipotesi la probabilità che le tre palline fossero tutte bianche non la puoi calcolare.
––––
:hello:

aspesi 01-12-14 13:59

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741792)
:mmh:
Guarda che io sono ancora fermo a dopo che hai estratto una pallina bianca. E questo ti garantisce l'esclusione solo di NNN.
Ed è a questo livello che tu ti senti sicuro che la probabilità che nel sacchetto ci fossero tre palline bianche è 1/4.
Ed io mi sento sicuro che, a quel livello, senza un'ulteriore ipotesi la probabilità che le tre palline fossero tutte bianche non la puoi calcolare.
––––
:hello:

Certo, anch'io mi riferisco alla situazione "dopo aver fatto la prima estrazione ed aver visto che la pallina è bianca"

Come diceva Mizarino, è ancora più facile (rendersi conto che la probabilità diventa 1/4) se ci si limita a considerare che nel sacchetto, dopo aver tolto una pallina, ne rimangono 2; ed essendo gli eventi equiprobabili, le 2 palline nel sacchetto avranno:
P(BB) = 1/4
P(BN) = 1/4
P(NB) = 1/4
P(NN) = 1/4

Oltre a questa situazioni ci sarà semplicemente da aggiungere la terza pallina (che si è visto essere bianca)

:hello:


Tutti gli orari sono GMT. Attualmente sono le 18:35.

Powered by vBulletin versione 3.6.7
Copyright ©: 2000 - 2021, Jelsoft Enterprises Ltd.
Traduzione italiana a cura di: vBulletinItalia.it