Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

aspesi 29-11-14 16:49

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741641)
Provo a riscrivere il quiz senza equivoci.
«In un sacchetto ci sono tre palline, ciascuna delle quali può essere (con probabilità del 50%)* bianca o nera.
Ne estraggo una a caso ed è bianca.
Qual è la probabilità che tutte tre le palline siano bianche?
»

E' giusta questa interpretazione?

Se sì, scusa se insisto:
QUESTO QUIZ NON HA SENSO! :mad:
–––
:hello:

* E' una mia aggiunta

L'interpretazione, in questo modo, è giusta.
E non capisco perché tu insisti a dire che il quiz non ha senso.
E' invece un caso tipico di applicazione del teorema di Bayes.

Guarda anche le opportune osservazioni-integrazioni di maucarlino (che saluto)

:hello:

maucarlino 29-11-14 19:37

Re: Estrazioni casuali
 
Continuando a generalizzare, si può riscrivere la formula precedente, ossia la formula nel caso di 3 palline ed n estrazioni come:

3^n/(Sommatoria (k=0 a 3) [Coefficiente binomiale (3 k)*k^n])

perdonatemi la scrittura infelice, ma non riesco a fare di meglio :o

Nel seguito indico il Coefficiente binomiale (3 k) semplicemente come (3 k).

La ragione per una simile riscrittura nasce dall'osservazione che le 8 triple nello spazio campionario del nostro esperimento con 3 palline bianche e nere possono essere suddivise in 4 gruppi in cui le palline bianche compaiono, rispettivamente, 0, 1, 2 e 3 volte. Il numero di triple in ciascun gruppo può essere espresso in termini del coefficiente binomiale (3 k) con k che varia da 0 a 3. Fissato un gruppo, la probabilità di estrazione di una pallina bianca segue immediatamente. Vediamo alcuni casi specifici:

Se n = 1 si ha 3/[(3 0)*0 +(3 1)*1 + (3 2)*2 + (3 3)*3] = 3/[1*0+3*1+3*2+1*3]=3/12 = 1/4

Se n = 2 si ha 9/[(3 0)*0 +(3 1)*1 + (3 2)*4 + (3 3)*9] = 9/[1*0+3*1+3*4+1*9]=9/24 = 3/8

Se n = 3 si ha 27/[(3 0)*0 +(3 1)*1 + (3 2)*8 + (3 3)*27] = 27/[1*0+3*1+3*8+1*27]= 27/54 = 1/2

e così via

Nel caso di m palline, sempre nell'ipotesi in cui le m-tuple siano tutte equiprobabili, si vede immediatamente che le 2^m tuple possono essere suddivise in m+1 gruppi in ciascuno dei quali le palline bianche compaiono 0,1,2,..,m volte. Anche in questo caso il numero di m tuple in ciascun gruppo può essere espresso in funzione del coefficiente binomiale (m k) con k che varia da 0 a m e per ciascun gruppo la probabilità di estrarre una pallina bianca dipende da m e dall'indice del gruppo (chiamo indice il numero di occorrenze di palline bianche).

La formula generalizzata per n estrazioni ed m palline è dunque:

m^n/(Sommatoria (k=0 a m) [Coefficiente binomiale (m k)*k^n])

Vediamo per curiosità il caso n=1 ed m = 5

5/[(5 0)*0 +(5 1)*1+(5 2)*2 +(5 3)*3 +(5 4)*4+(5 5)*5] = 5/[1*0+5*1+10*2+10*3+5*4+1*5] = 5/[0+5+20+30+20+5]=5/80 = 1/16

Ancora, segue il caso n=3 ed m = 5

125/[(5 0)*0+(5 1)*1+(5 2)*8 +(5 3)*27 +(5 4)*64+(5 5)*125] = 125/[1*0+5*1+10*8+10*27+5*64+1*125] = 125/[0+5+80+270+320+125]=125/800 = 5/32

ed infine n=5 ed m = 5

5^5/[(5 0)*0+(5 1)*1+(5 2)*2^5+(5 3)*3^5+(5 4)*4^5+(5 5)*5^5] =25/88 = ca. 28,4%

Saluti a tutti
:hello:

Erasmus 30-11-14 00:16

.
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741643)
[color="Navy"][...] non capisco perché tu insisti a dire che il quiz non ha senso.

Il perché l'ho già detto.
Lo ripeto con altre parole-
Da una pre-conoscenza dello spazio dei possibili eventi, procedendo deduttivamente posso (a volte, non sempre) attribuire all'esito di un preciso evento una data probabilità.
Ma tu pretenderesti il rovescio. Dalla conoscenza dell'esito di un solo evento [elementare] non necessario (se no sapresti già che le palline sono tutte tre bianche ... con probabilità 1 di essere così) tu pretendi di "indurre" conoscenza sullo spazio degli eventi.

Facciamo così.
Io spio all'insaputa di tutti tranne me. Ma sono ignorante in fatto di probabilità. Ma le elementari le ho fatte e sono capace di fare la somma di frazioni.
A riguardo della probabilità, so solo che nessuna probabilità può superare 1 e che se un evento può avere più uscite con rispettive probabilità, la somma delle probabilità degli esiti possibili di un evento vale sempre 1.

Tu sussurri: «Pallina bianca?... (mumble, mumble) ...». Ma io non sento.
Poi esclamii: «Probabilità che le tre palline siano tutte bianche 1/4». Ed io sento e memorizzo.
Tu rimetti a posto il sacchetto e te ne vai.
Arriva tuo fratello gemello. Pesca anche lui.
Sussurra «Pallina nera? ... (mumble, mumble) ...» Ma io non sento.
Poi esclama: «Probabilità che le tre palline siano tutte nere 1/4». Ed io sento e memorizzo.

Siccome sono ignorante di probabilità, invece di pensare che "certamente le tre balline non sono tutte bianche né tutte nere2 penso:
« 1/4 + 1/4 = 1/2»:

Allora ... che le palline non siano tutte bianche né tutte nere (cioè che siano una bianca e due nere oppure due bianche ed una nera) ha probabilità
1 – (1/4 + 1/4) = 1/2. :eek:

E siccome è equi-probabile che la pallina estratta sia bianca o nera, la probabilità di una pallina nera e due bianche o di una pallina bianca e due nere vale (1/2)/2 = 1/4 .
Quote:

aspesi (Scrivi 741643)
E' invece un caso tipico di applicazione del teorema di Bayes

Se così ti piace, perché privarti di questo piacere?
Libeo di crederlo! :)
–––––––
:hello:

astromauh 30-11-14 02:13

Re: Estrazioni casuali
 
Non c'è peggior sordo di chi non vuol sentire.

Ma che vuol dire che non senti?

Il problema presuppone che chi estrae la pallina veda se è una pallina bianca o nera, ed è questa informazione aggiuntiva che permette di fare una stima più accurata sulle palline contenute nel sacchetto.

Se ad esempio esce una pallina bianca si può immediatamente escludere che il sacchetto contenga tre palline nere, ed è quindi naturale che le probabilità vadano aggiornate sulla base di questa nuova informazione.

Ti fidi ciecamente del fatto che i due fratelli calcolano la probabilità ad 1/4 senza sapere perché lo fanno?

Tu che hai spiato i gemelli Aspesi, anche se non hai visto le palline che sono uscite, hai sentito cosa hanno detto, e hai quindi tutte le informazioni necessarie per escludere con sicurezza che le palline siano tutte e tre bianche o tutte e tre nere, e per stabilire che le palline saranno due bianche e una nera, o una bianca e due nere con la probabilità del 50%.

Quote:

Siccome sono ignorante di probabilità, invece di pensare che "certamente le tre balline non sono tutte bianche né tutte nere2 penso:
« 1/4 + 1/4 = 1/2»:
Non è mica colpa nostra se hai solo la licenza elementare. :eek: :D

Bah, forse sono io che non riesco a seguirti.

Non capisco qual è il tuo punto.

Vuoi dimostrare una nuova legge statistica sulla base di un errore? :confused:

:hello:

maucarlino 30-11-14 09:07

Re: .
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741664)
Il perché l'ho già detto.
Lo ripeto con altre parole-
Da una pre-conoscenza dello spazio dei possibili eventi, procedendo deduttivamente posso (a volte, non sempre) attribuire all'esito di un preciso evento una data probabilità.
Ma tu pretenderesti il rovescio. Dalla conoscenza dell'esito di un solo evento [elementare] non necessario (se no sapresti già che le palline sono tutte tre bianche ... con probabilità 1 di essere così) tu pretendi di "indurre" conoscenza sullo spazio degli eventi.


Se così ti piace, perché privarti di questo piacere?
Libero di crederlo! :)
–––––––
:hello:

Trovo queste discussioni sui fondamenti del calcolo delle probabilità sempre molto affascinanti, specie se condotte da menti brillanti come le vostre. Confesso di aver provato sempre un'attrazione particolare per questa branca della matematica, per la sua capacità di sorprendermi continuamente con conclusioni ben lontane da quelle che potevo ritenere "intuitivamente" vere.

Provo a dare in questo senso anch'io un contributo, anche se poco potrò aggiungere in sostanza a quanto finora astromauh e aspesi hanno già detto.

Il caso in esame è un caso classico di probabilità condizionata: si tratta in sostanza di inferire un valore di probabilità per l'evento A ("le 3 palline nel sacchetto sono tutte bianche") dato che si sia già verificato un altro evento B ("la prima pallina estratta è bianca").

Qui è fondamentale - come ricordava astromauh - che l'evento B sia stato già accertato ed è proprio questo che condiziona - in linea di principio - la probabilità di A. Naturalmente a priori non è affatto detto che due eventi qualsiasi siano tali per cui l'accadimento dell'uno influenzi la probabilità di accadimento dell'altro. Nel caso in cui questo non si verifichi si dice che i due eventi sono stocasticamente indipendenti.

Nel caso di un sacchetto contenente 3 palline ciascuna delle quali può essere (con probabilità del 50%) bianca o nera, la probabilità a priori dell'evento A è 1/8: in un solo caso su 8 infatti le 3 palline saranno tutte bianche (o equivalentemente tutte nere). Qui possiamo notare anche che il caso in cui le palline siano non tutte bianche o tutte nere è a priori pari a 1-(1/8)-(1/8)=1-1/4=3/4.

Nel caso dei gemelli aspesi, dunque, appare evidente che l'affermazione:
«Probabilità che le tre palline siano tutte bianche 1/4» è sbagliata.

Sono invece corrette le seguenti affermazioni:
«Probabilità che le tre palline siano tutte bianche 1/8»
«Probabilità che le tre palline siano tutte bianche, dato che la prima estratta è bianca 1/4».

Il fatto che l'esito della prima estrazione condizioni le probabilità dell'evento "tutte le palline nel sacchetto sono bianche" mi sembra evidente: in realtà condiziona tutti gli esiti possibili, compreso quello "tutte le palline nel sacchetto sono nere". E' evidente anzi che nel caso in cui la prima pallina estratta sia bianca, l'evento "tutte le palline nel sacchetto sono nere" ha probabilità 0 di verificarsi, mentre a priori la sua probabilità, come abbiamo visto era 1/8. Quindi la probabilità che tutte le palline siano bianche aumenta (passa da 1/8 a 1/4) e quella che tutte siano nere diminuisce (passa da 1/8 a 0).

Erasmus non si sorprenda: immagini un albero binario in cui alla radice ci sia il sacchetto con le 3 palline ed in cui ogni percorso si biforchi in funzione del fatto che la pallina estratta sia bianca o nera. Le foglie dell'albero saranno 8 ciascuna delle quali rappresenta una delle possibili 8 terne di estrazione. In questo caso la prima estrazione condiziona il sottoalbero che si andrà a visitare ai passi successivi: se la pallina è bianca si andrà a visitare il sottoalbero contenente anche l'esito "tutte le palline sono bianche" che ora ha una probabilità maggiore di accadere.

Volendo generalizzare e ricordando la formula che ho proposto in un post precedente, nel caso di m palline (ciascuna della quali ha il 50% di probabilità di essere bianca o nera) la probabilità che tutte siano bianche dato che la prima estratta è bianca è data da:
1/(2^(m-1))
mentre la probabilità a priori è evidentemente 1/2^m
Dunque - come atteso - la probabilità è cresciuta della metà.

Possiamo concludere con un mini quiz, la cui soluzione dovrebbe essere a questo punto evidente:
date m palline (ciascuna della quali ha il 50% di probabilità di essere bianca o nera) qual è la probabilità che siano tutte bianche dato che le prime m-1 estratte sono tutte bianche?

:hello:

aspesi 30-11-14 09:18

Re: .
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741664)
Da una pre-conoscenza dello spazio dei possibili eventi, procedendo deduttivamente posso (a volte, non sempre) attribuire all'esito di un preciso evento una data probabilità.
Ma tu pretenderesti il rovescio. Dalla conoscenza dell'esito di un solo evento [elementare] non necessario (se no sapresti già che le palline sono tutte tre bianche ... con probabilità 1 di essere così) tu pretendi di "indurre" conoscenza sullo spazio degli eventi.

–––––––
:hello:

C'è una probabilità a priori e una a posteriori.

Quella a priori suppone nel caso in esame una distribuzione informativa di indifferenza, con tutti gli eventi di uguale probabilità.
Perciò, la probabilità che le 3 palline siano tutte bianche è ovviamente 1/8.

Quella a posteriori è la probabilità condizionata dopo che si è avuto un'informazione rilevante posta in evidenza da un esperimento (nel nostro caso, l'estrazione di una delle 3 palline, di cui si vede il colore) e che consente di fare una stima più precisa sulla possibilità che le 3 palline siano tutte bianche (1/4).

Tu non sei uno scommettitore, però capisci benissimo, ad esempio, che anche se in astratto i tre segni 1 X 2 in una partita di calcio sono 1/3 ciascuno, questo non è più vero se ti viene detto quali sono le due squadre che devono incontrarsi; e se sono il Milan e la Gallaratese probabilmente saresti disposto a rischiare anche tu qualche spicciolo puntando sulla vittoria del Milan 1:1,5 (anziché 1:3).
La cosa non ti parrebbe iniqua e sfavorevole, semplicemente perché sei disposto ad assegnare una probabilità sulla vittoria del Milan superiore a 2/3.

:hello:

nino280 30-11-14 11:48

Re: Estrazioni casuali
 
Questa storia delle palline bianche e nere va avanti da almeno 10 anni, anche prima che arrivasse Nino mio omonimo. Non ci capii, non ci capisco, e non ci capirò mai nulla.
Ognuno dice la sua, tutti sparano numeri, altri confermano, chi da dell'ok. Il bello è che alla fine va sempre bene. Ma! E fare una volta una prova pratica? No è? Comprarsi un sacchetto, 3 palline nere e tre bianche, estrarre, contare, tanto per fare una verifica una volta per tutte. Si è trovato dopo chissà quali diabolici calcoli che una certa probabilità di trovare una seconda pallina di non so quale colore sia di 0,375. Io dico che se dopo la prova, vi trovate un bel 0,175 oppure un bel 0,575 come risultato (però non mi dite che se una volta ho trovato 0,175 e dopo 0,575 la media è 0,375):D Veramente, se dopo la prova pratica trovate uno di questi risultati, è meglio che buttiate il sacchetto con tutte le palline. Non me ne vogliate, sono perfettamente cosciente del fatto che quando uno è non ignorante, ma molto ignorante in un campo, è portato a dire che quel campo è un campo stupido e irrilevante.
La bella notizia in fondo in fondo è che dopo essere stato malato per + di due mesi ed essermi privato del mio abbondante grignolino, oggi sentendomi molto meglio e quasi guarito, ho ripreso a bere la mia solita dose (vabbè metà dose) da cui questo scritto.:D
Ciao

aspesi 30-11-14 12:57

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

nino280 (Scrivi 741690)
Ognuno dice la sua, tutti sparano numeri, altri confermano, chi da dell'ok. Il bello è che alla fine va sempre bene.

Non mi pare. Ad esempio per il quiz precedente il ragionamento e le conclusioni di Erasmus sono marchianamente errate... :D

Quote:

nino280 (Scrivi 741690)
E fare una volta una prova pratica? No è? Comprarsi un sacchetto, 3 palline nere e tre bianche, estrarre, contare, tanto per fare una verifica una volta per tutte.

Veramente la verifica è stata fatta da Astromauh con una simulazione (che per sua natura ha consistenza solo se viene effettuata su un numero elevato di prove, il caso singolo non è significativo, la prova con il sacchetto andrebbe ripetuta milioni di volte e durerebbe... secoli... :D); che è (quasi) sempre disponibile ad effettuare la sperimentazione pratica al PC.

Il campo pur non essendo deterministico (come la maggior parte delle formule fisiche) non è stupido e ben lo sanno le assicurazioni, che con questi calcoli si arricchiscono... Ma anche le ricerche in campo medico, le proprietà ed effetti dei farmaci, i consumi e le abitudini alimentari, i gusti artistici, ecc...

Auguri per la salute e cin cin (io lo sto facendo con la bonarda):D

:hello:

nino280 30-11-14 13:14

Re: Estrazioni casuali
 
Grazie, grazie, per gli auguri.
Ciao

astromauh 30-11-14 13:42

Re: .
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741678)
Tu non sei uno scommettitore, però capisci benissimo, ad esempio, che anche se in astratto i tre segni 1 X 2 in una partita di calcio sono 1/3 ciascuno, questo non è più vero se ti viene detto quali sono le due squadre che devono incontrarsi; e se sono il Milan e la Gallaratese probabilmente saresti disposto a rischiare anche tu qualche spicciolo puntando sulla vittoria del Milan 1:1,5 (anziché 1:3).

Il tuo esempio non è del tutto corrispondente al nostro caso.

Naturalmente conoscere quali sono le squadre che disputano una partita è un'informazione che permette di modificare la stima iniziale delle probabilità dei possibili risultati.

Però le cose cambiano, e una squadra che è andata bene negli ultimi 10 anni potrebbe andar male nei prossimi 10 anni. Conoscere i risultati pregressi del Milan e della Gallaratese è indubbiamente un'informazione utile, ma che si riferisce al passato. Non è detto che ciò che è accaduto in passato si riproduca nel futuro, anche se in molti casi è così.

Il caso delle palline è diverso perché si chiede di fare un pronostico conoscendo già in parte il risultato.

E come se isolassimo Aspesi in una cabina durante la partita Milan-Gallaratese, e a partita conclusa, gli chiedessimo di fare un "pronostico" sul risultato dicendogli che Ambrosini ha segnato un gol al ventesimo minuto del primo tempo.

Sulla base di questa informazione Aspesi può escludere alcuni risultati, il Milan non può aver perso con un tre a zero, ma eventualmente potrebbe aver perso per tre a uno.

Questa conoscenza parziale del risultato permetterebbe ad Aspesi, che è un esperto scommettitore. di formulare un pronostico migliore.

:hello:


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