Re: Estrazioni casuali
 

E ci risiamo [coll'esprimerti equivocamente :D]!
Intendi:
............«che possono essere TUTTE bianche o TUTTE nere»
o intendi invece:
............«CIASCUNA DELLE QUALII può essere bianca o nera» ? :mmh:
–––––––––
COMUNQUE... secondo me con una sola estrazione non ha alcun senso chiedersi qual è la probabilità che le palline siano tutte bianche o tutte nere (o che una sia di un colore e due dell'altro).

L'unica cosa che si può dire, non sapendo a priori il colore delle palline e supponendo equiprobabili i 4 casi:
1) 3 palline bianche oppure
2) 2 palline bianche e una nera oppure
3) una pallina bianca e 2 nere oppure
4) 3 palline nere,

è che la probabilità di estrarre una pallina bianca è la stessa di estrarre una pallina nera, ossia
P(bianca) = P(nera) = 1/2.

Anche ... pignoleggiando,

1) 3 palline bianche [con probabilità P(1) = 1/4
2) 2 palline bianche e una nera con probabilità P(2) = 1/4
3) una pallina bianca e 2 nere con probabilità P(3) = 1/4
4) 3 palline nere con probabilità P(4) = 1/4

essendo 1/4 la probabilità di ciascun caso, si ottiene:
P(bianca) = P(1)·1 + P(2)·(2/3) + P(3)·(1/3) + P(4)·0 = 1/4 + (1/4)·2/3 + (1/4)·1/3 = (3 + 2 + 1)/12 = 1/2 :D
––––
:hello:

P.S.
Insomma: ha senso chiedersi la probabilità che la pallina estratta sia bianca o nera partendo da un'ipotesi probabilistica sul colore delle palline, non viceversa chiedersi la probabilità del colore delle palline partendo dall'ipotesi di aver estratto una sola pallina di uno dei due colori.
Cerea.

Re: Estrazioni casuali
 

Ho fatto la simulazione, è esatto 3/8

Tentativi= 10000000
Previsto (3/8) = 0,375
P= 0,375

Una cosa importante da capire è che il totale degli eventi deve essere incrementato di una unità ogni volta che si verifica la seconda condizione, ossia se viene estratta per la seconda volta una pallina bianca. Ed è a questo punto, e solo a questo punto, che se si verifica che nel sacchetto ci sono tre palline bianche, viene incrementato di una unità anche il numero degli eventi favorevoli.

PS

Da notare che nel 50% dei casi non si verificano le prime due condizioni, ma questi casi non contano nulla, ed è come se non esistessero. Perché il quiz di Aspesi da per scontato che le prime due condizioni si siano già verificate, per cui questo non è più una questione di probabilità, ma una certezza.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Sono d'accordo anch'io.
Il dubbio mi era sorto perché su questo forum
http://www.matematicamente.it/forum/...890415#p890415

un utente (credo professore universitario di statistica e probabilità) sostiene che il risultato è un altro (2/5).*

Grazie
:hello:

* Ho trovato dove sbagliava, era semplicemente un errore di calcolo di una frazione.

Re: Estrazioni casuali
 

Eddai, Erasmus, se avessi inteso la prima che hai detto, avrei messo una o in più... :D
In un sacchetto ci sono tre palline, che possono essere o tutte bianche o nere.


Per quanto riguarda il resto... tu hai considerato i 4 casi (3B, 2B1N, 1B2N, 3N) come fossero equiprobabili, ma questo non è vero.
Leggi gli interventi e la simulazione di Astromauh

Ciao
:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Veramente il tuo quiz un po' equivoco lo era, perché non hai detto esplicitamente che la probabilità di ciascuna pallina di essere bianca o nera era del 50%.

Se le tre palline che sono nel sacchetto, venissero inserite a caso prelevandole da un contenitore che contiene 1000 palline nere e 500 palline bianche, cambierebbe tutto.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Vi propongo un nuovo quiz. ;)

In un sacchetto ci sono tre palline.
Ogni pallina può essere bianca o nera, con una probabilità del 50%.
Ne estraggo una a caso ed è bianca.
La rimetto dentro il sacchetto ed estraggo nuovamente una pallina a caso, anche stavolta è bianca.
La rimetto dentro il sacchetto ed estraggo nuovamente una pallina a caso, anche stavolta è bianca.
Qual è la probabilità che tutte e tre le palline siano bianche?

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Il meccanismo è lo stesso di prima.
La probabilità di avere BBB è 1/2.
1/(1+3*1/27+3*2^3/27) =27/54

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

:ok:

Re: Estrazioni casuali
 

Volendo generalizzare, nell'ipotesi che ogni possibile terna di palline sia equiprobabile, la probabilità di avere 3 palline bianche nel sacchetto dato che in n estrazioni consecutive ottengo una pallina bianca è data da:

3^(n-1)/(3^(n-1)+2^n+1)

che tende ovviamente a 1 al tendere di n a infinito.

In particolare:

per n=1 si ha 1/(1+2+1) = 1/4
per n=2 si ha 3/(3+4+1) = 3/8
per n=3 si ha 9/(9+8+1) = 9/18=1/2
per n=4 si ha 27/(27+16+1) = 27/44
per n=5 si ha 81/(81+32+1) = 81/114=27/38
..
per n=10 si ha 19.683/20.708 = (ca.) 0,950502221363

quindi dopo 10 bianche estratte consecutivamente c'è ancora una probabilità di ca il 5% che ce ne sia almeno una nera.

Re: Estrazioni casuali
 

Frena!
Io non ho detto che i 4 casi sono equiprobabili! :mad:
Ho detto invece che il quiz non ha alcun senso, mentre avrebbe senso il rovesciarlo, cioè il cercare la probabilità che la pallina pescata sia bianca sapendo la probabilità dei colori delle tre palline. E quindi che "NELL'IPOTESI che i quattro casi siano equiprobabili, è equiprobabile estrarre al primo colpo una pallina bianca o una nera".

Provo a riscrivere il quiz senza equivoci.
«In un sacchetto ci sono tre palline, ciascuna delle quali può essere bianca o nera.
Ne estraggo una a caso ed è bianca.
Qual è la probabilità che tutte tre le palline siano bianche?»

E' giusta questa interpretazione?

Se sì, scusa se insisto:
QUESTO QUIZ NON HA SENSO! :mad:
–––
:hello: