Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Estrazioni casuali (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=42400)

astromauh 21-11-14 17:23

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741254)
Ho fatto il quiz con la somma di 6 incognite (anziché ad es. 5) proprio per mettere in difficoltà il PC con il tuo programma.

Delinquente! :eek:

Riprovo: 71528664 :confused:

:hello:

aspesi 21-11-14 17:38

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 741259)

Riprovo: 71528664 :confused:

:hello:


Ci sei andato vicino...
Il tuo errore è + 0,007717781534 % :D

:hello:

Erasmus 21-11-14 17:39

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741210)
[Dire] qual è il numero di soluzioni intere positive di questa equazione:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 100.

Non sono molto in forma ... "intellettualmente". :o
Se dirò c...orbellerie siate indulgenti.
–––––––––
L'algoritmo di "forza bruta" dovrebbe essere questo:
Codice:

Variabili: X1, X2, X3, X4, X5, X6, N (tutte a rappresentare numeri interi).
• Mettre N = 0;
• Per X1 da 1 a 95 fare
    per X2 da 1 a 95 fare
        per X3 da 1 a 95 fare
          per X4 da 1 a 95 fare
            per X5 da 1 a 95 fare
              per X6 da 1 a 95 fare
                se X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 100 allora  aumenta N di una unità.

Questo algoritmo fa un po' schifo perché il numero di test da fare è enorme e la lunghezza del tempo di esecuzione può diventare intollerabile.

Ma potrebbe darsi che la formula che ha in testa aspesi sia semplicissima! ;)

Naturalmente, anche questo quiz si studia comodamente con l'aiuto grafico di un albero opportuno.

Provando con somma S e numero di addendi A piccoli, mi pare – se non ho sbagliato a contare – che come numero N(S, A) di soluzioni vada bene
N(S, A) = C(S – 1, A – 1) = Numero di combinazioni di A –1 elementi distinti scelti da un insieme di S –1 elementi.

Per esempio, per S = 5 e A = 3 [cioè X1 + X2 + X3 = 5] risulta
N(5, 3) = C(4, 2) = (4·3)/2! = 12/2 = 6.

Per S = 8 e A = 4 [cioè X1 + X2 + X3 + X4 = 8] risulta
N(8, 4) = C(7, 3) = (7·6·5)/3! =(7·6·5)/6 = 7·5 = 35.

Per S = 9 e A = 5 [cioè X1 + X2 + X3 + X4 + X5= 9] risulta
N(9, 5) = C(8, 4) = (8·7·6·5)/4! =(8·7·6·5)/(8·3) = 7·2·5 = 70.


Per S = 100 e A = 6 verrebbe
N(100, 6) = C(99, 5) =(99·98·97·96·95)/5! = (99/3)·(98/2)·97·(96/4)·(95/5) = 33·49·97·24·19 =71 523 144.
–––
:hello:

aspesi 21-11-14 17:46

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741262)
Provando con somma S e numero di addendi A piccoli, mi pare – se non ho sbagliato a contare – che come numero N(S, A) di soluzioni vada bene
N(S, A) = C(S – 1, A – 1) = Numero di combinazioni di A –1 elementi distinti scelti da un insieme di S –1 elementi.

.....

Per S = 100 e A = 6 verrebbe
N(100, 6) = C(99, 5) =(99·98·97·96·95)/5! = (99/3)·(98/2)·97·(96/4)·(95/5) = 33·49·97·24·19 =71 523 144.
–––
:hello:

:ok:
E menomale che
Quote:

Erasmus
Non sono molto in forma ... "intellettualmente"

:hello:

astromauh 21-11-14 18:24

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741261)
Ci sei andato vicino...
Il tuo errore è + 0,007717781534 % :D

:hello:

:cry:

Erasmus 21-11-14 19:20

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

aspesi (Scrivi 741263)
E menomale che
Quote:

Erasmus
Non sono molto in forma ... "intellettualmente"


Facendo, in vari esempi, l'albero opportuno, ho vistoo che venivano somme del tipo [disegnando l'albero con "radice" a sinistra e "foglie" a destra e cominciando a contare le foglie dal basso]
1 +
1 + 2 +
1 + 2 + 3 +
...

Insomma: sono andato per "induzione sperimentale"!
Ma non sono in grado di capire perché debba essere proprio così.
Probabilmente ... è una questione di "induzione matematica", ovvero di ricorsività :)
[O bisogna dire "recursione"? :mmh:].

Ma tu, dove sei andato a pescare questa formula?
Oppure te la sei trovata da solo?
E in tal caso, anche tu per "induzione sperimentale", o ragionando con logica matematica?

Proviamo questa seconda strada [induzione matematica].
Se S = A, tutti gli addendi debbono valere 1. Quindi
N(A, A) = 1.
E C(A – 1, A – 1) fa 1 per qualsiasi A intero positivo.
Se S = A + 1, un addendo deve valere 2 e tutti gli altri 1. I casi sono A.
Ed allora C(S–1, A – 1) = C(A, A–1) = C(A, 1) = A.

Occorrerebbe continuare ad aumentare S per trovare qualcosa di ricorrente.
E dimostrare che se la formula va bene fino a certo numero A di addendi e certa somma S > A, allora va bene anche per somma S = S+1 e ancora A = A, per somma ancora S e A = A+1 (e quindi ancehe per S = S+1 e A = A+1).

Ma ... non sono abbastanza in forma "intellettualmente" per farlo. :)
–––––
:hello:

aspesi 21-11-14 21:36

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 741272)
Ma tu, dove sei andato a pescare questa formula?
Oppure te la sei trovata da solo?
E in tal caso, anche tu per "induzione sperimentale", o ragionando con logica matematica?

:hello:

Io sono partito dalle combinazioni con ripetizione, che sono meno intuitive di quelle semplici:

http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio
Quando l'ordine non è importante ma è possibile avere componenti ripetute si parla di combinazioni con ripetizione. Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è uguale a quello delle combinazioni senza ripetizione di n+k-1 oggetti di classe k ed è quindi uguale a:

C'_(n,k) = C(n+k-1, k) = C(n+k-1,n-1)

Ad esempio, vi sono C(2+4-1, 4) = C(5,4) = 5 modi di distribuire a 2 bambini distinguibili 4 caramelle indistinguibili, contando anche i casi in cui uno dei bambini non riceve nessuna caramella: 0-4, 1-3, 2-2, 3-1, 4-0.
Equivalentemente, le combinazioni con ripetizioni informano sul numero di possibili n-ple di addendi non negativi la cui somma sia k (considerando diverse n-ple in cui eguali addendi compaiano in ordine differente); nel suddetto esempio, sono mostrate le cinque diverse coppie di somma 4.
Inoltre, le combinazioni con ripetizioni per n oggetti di classe k rappresentano il numero delle derivate parziali di ordine k che al più differiscono fra loro per una funzione a n variabili con derivate continue fino all'ordine k :confused:


che per analogia ho assimilato alle soluzioni intere positive e anche nulle delle equazioni
x1 + x2 + .... + xn = K

C_ripetiz(n,K) = C(n+K-1, n-1) = C(n+K-1, K)

Se si considerano solo le soluzioni positive eliminando quindi quelle con x = 0, è come se il valore K viene diminuito di n e si avrà:

C_ripetiz(n,K) = C[(n+(K-n)-1],n-1] = C(K-1,n-1)

:hello:

aspesi 28-11-14 16:49

Re: Estrazioni casuali
 
Astromauh, puoi fare, quando hai un po' di tempo, questa simulazione?
Grazie ;)

In un sacchetto ci sono tre palline, che possono essere bianche o nere.
Ne estraggo una a caso ed è bianca.
Qual è la probabilità che tutte e tre le palline siano bianche?


(Penso sia 1/4)

In un sacchetto ci sono tre palline, che possono essere bianche o nere.
Ne estraggo una a caso ed è bianca.
La rimetto dentro il sacchetto ed estraggo nuovamente una pallina a caso, anche stavolta è bianca.
Qual è la probabilità che tutte e tre le palline siano bianche?


(Penso sia 3/8, ma ho il dubbio con 7/16):o

:hello:

astromauh 28-11-14 20:30

Re: Estrazioni casuali
 
BBB 9/9
BBN 4/9
BNB 4/9
NBB 4/9
BNN 1/9
NBN 1/9
NNB 1/9
NNN 0/9

BBB= 9/24 = 3/8

Domani proverò a fare una simulazione.

:hello:

aspesi 28-11-14 21:22

Re: Estrazioni casuali
 
Quote:

astromauh (Scrivi 741569)
BBB 9/9
BBN 4/9
BNB 4/9
NBB 4/9
BNN 1/9
NBN 1/9
NNB 1/9
NNN 0/9

BBB= 9/24 = 3/8

Domani proverò a fare una simulazione.

:hello:

E' più o meno come l'ho impostato io, ma temo non sia corretto.

Per il primo problema (tieni conto solo del numero dei casi in cui la pallina estratta è bianca, che vanno al denominatore, mentre al numeratore va il numero di BBB tra quei casi) non dovrebbero esserci dubbi, il risultato corretto mi pare sia 1/4.

La mia incertezza è sulla probabilità qualora si osserva una B e dopo l'immissione nel sacchetto un'altra B. In questo caso ho tre risultati diversi sul 40% o qualcosa di molto prossimo, a seconda di come imposto il ragionamento (3/8, 6/15 e 7/16).

Aspetto la soluzione del tuo programma.
:hello:


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