Re: Estrazioni casuali
 

Forse sarà per la pigrizia, ma non mi sembra un buon motivo.

E' meglio se utilizzo il mio tempo in qualche altro modo.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

X Astromauh, se ha tempo di fare una simulazione o Erasmus, se scopre un procedimento non brute force .... grazie ;)

Mi è stato sottoposto questo quiz:

Ci sono due urne, in ciascuna delle quali sono contenute 25 palline rosse e 13 palline bianche.
Si procede ad estrarre alternativamente una pallina dalla prima urna e poi una pallina dall'altra urna, senza reinserimenti, per 38 volte e si confrontano le coppie di palline di ogni singola estrazione.
Se entrambe le palline di una coppia sono rosse (RR) si assegna un punto, negli altri casi (RB o BR o BB) non si assegna nessun punto.
Quante sono le combinazioni relative ai singoli punteggi possibili (che vanno da 12 a 25), o, se si preferisce, qual è la probabilità per i vari punteggi?

(Mi pare di aver risolto correttamente:
p_25 punti = 1/5.414.950.296
p_24 punti = 325/5.414.950.296
p_23 punti = 23400/5.414.950.296
p_22 punti = 657800/5.414.950.296
p_21 punti = 9044750/5.414.950.296
p_20 punti = 68378310/5.414.950.296
p_19 punti = 303903600/5.414.950.296
p_18 punti = 824881200/5.414.950.296
p_17 punti = 1391987025/5.414.950.296
p_16 punti = 1460727125/5.414.950.296
p_15 punti = 934865360/5.414.950.296
p_14 punti = 347677200/5.414.950.296
p_13 punti = 67603900/5.414.950.296
p_12 punti = 5200300/5.414.950.296

Ma poi mi è stato chiesto di considerare 3 urne, sempre con in ciascuna lo stesso numero di palline (25R + 13B). Se si assegna 1 punto solo alla terna RRR (nessun punto per le altre), quant'è in questo caso la probabilità per i vari punteggi possibili?
E qui sono andato in tilt... :(

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Non penserai mica che ricorro sempre alla forza bruta?

Non sono mica un energumeno! :mad:

P(12)= 0,000960359692284053
P(13)= 0,0124846759996927
P(14)= 0,0642069051412767
P(15)= 0,172645233824322
P(16)= 0,269758177850503
P(17)= 0,25706367536342
P(18)= 0,15233402984499
P(19)= 0,0561230636271015
P(20)= 0,0126276893160978
P(21)= 0,00167032927461612
P(22)= 0,000121478492699354
P(23)= 4,32136930551061E-06
P(24)= 6,00190181320918E-08
P(25)= 1,84673901944898E-10

Si non sbagli. :ok:

Non ho controllato P(24) e P(25), ma se sono giuste le altre lo saranno anche queste.

Guarda qui: Probabilità Condizionata

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

OK, se quando hai voglia puoi trovare una soluzione per le 3 urne....;)

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Ho avviato la simulazione, ma ci vorrà parecchio per sapere i risultati.

Se tutto va bene, ne riparliamo domani. Ma non credo di ottenere dei risultati precisi, specialmente per i punteggi che si discostano maggiormente da 11.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Sono passate circa 5 ore ma il programma non è ancora terminato.

Mi viene in mente solo ora che avrei potuto ridurre di oltre un terzo il tempo di esecuzione, perché non c'era bisogno di generare ogni volta tre serie casuali di 38 palline, ne bastavano solo due e di soli 25 elementi :spaf:

Ho dovuto interrompere il programma perché c'era qualcosa che non andava.

Comunque l'ho modificato e l'ho messo sul web.

Trials:

1.000.000 (30 secondi)

10.000.000 (6 minuti)

50.000.000 (mezz'ora?)


Ho appena scoperto che è molto più veloce sul web che in locale. :eek:
Debbo cambiare il computer!

Trials 5000000
Punti Probabilità
0 0
1 0
2 2E-07
3 1,6E-06
4 6,08E-05
5 0,0006624
6 0,0044732
7 0,020033
8 0,0619396
9 0,1334286
10 0,205979
11 0,2277302
12 0,1819586
13 0,1047442
14 0,0431804
15 0,0127458
16 0,002646
17 0,0003748
18 3,94E-05
19 2E-06
20 2E-07
21 0
22 0
23 0
24 0
25 0

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Grazie Astromauh.
Purtroppo, i casi possibili sono un'enormità, per cui c'è una certa attendibilità nella simulazione solo per i punteggi centrali, a probabilità maggiore.
In effetti i 25 punti si verificano solo in un caso su 2,93217E+19 :eek:

Pensavo non fosse complicato esaminare il quiz a tavolino in modo teorico, ma purtroppo mi sa che ci devo rinunciare...:(

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Trials 50000000
Punti Probabilità
0 0
1 0
2 2,8E-07
3 3,3E-06
4 6,502E-05
5 0,00067024
6 0,00448734
7 0,02008378
8 0,06190088
9 0,13374222
10 0,2059704
11 0,22786906
12 0,18170194
13 0,10456382
14 0,0431995
15 0,01269878
16 0,00262876
17 0,00037522
18 3,71E-05
19 2,24E-06
20 1,2E-07
21 0
22 0
23 0
24 0
25 0

Alla fine mi sono confuso è ho postato un risultato basato su soli 5 milioni di casi. Questo invece è basato su 50 milioni, ma anche così non è che faccia tanta differenza.

Forse bisognerebbe riprendere il problema partendo dal caso più semplice (con 2 sacchetti di palline), e dalle formule che avevo utilizzato per scrivere questa pagina. Formule che non ricordo e che nemmeno ho cercato di rivedere.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Per quanto riguarda i due sacchetti, le formule sono semplici.

Ragionamento:
Si estrae tutta la sequenza di 38 palline dalla prima urna e poi si contano quanti punti realizzano tutte le 38!/(25!*13!) sequenze possibili delle 38 estrazioni della seconda urna (cioè tutte le combinazioni di 38 palline prese a gruppi di 25 e 13) rispetto alla sequenza della prima urna (che, essendo equiprobabile a tutte le altre, può essere considerata composta in successione da 25R + 13B).

In pratica, si hanno:
38!/(25!*13!) = 5.414.950.296 casi totali
(considerando una combinazione per la prima urna, altrimenti occorre moltiplicare 5.414.950.296 per 5.414.950.296, ma è inutile, perché anche le combinazioni favorevoli per ogni punteggio sarebbero 5.414.950.296 volte di più).

Combinazioni favorevoli:
25 punti = C(25;25)⋅C(13;0) = 25!/(25!*0!) * 13!/(13!*0!) = 1
24 punti = C(25;24)⋅C(13;1) = 25!/(24!*1!) * 13!//(12!*1!) = 325
23 punti = C(25;23)⋅C(13;2) = 25!/(23!*2!) * (13!/(11!*2!) = 23.400
........................................
12 punti = C(25;12)⋅C(13;13) = 25!/(12!*13!) * (0!*13!) = 5.200.300

Le probabilità sono ovviamente il rapporto fra i casi favorevoli e quelli totali.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Le formule con due soli "sacchetti" saranno semplici per aspesi, non certo per persone "normali". :D

Non ho la minima intenzione di imbarcarmi in questi problemi.
[Semmai, incomincerei con numeri più piccoli di quelli del problema così come è stato dato da aspesi].

Vorrei solo rilevare che anche in questo caso (come in quello di non molto tempo fa) si può (e conviene!) costruire un "albero".
La lunghezza dei percorsi dalla radice alle "foglie" è sempre la stessa.
Da ogni nodo si diramano tanti "rami" quante le possibilità "equiprobabili" di estrazione.
Sapendo a che punto si è in ogni nodo, è facile attribuire ad ogni nodo un fattore "peso" (uguale per ogni ramo di quel nodo, anzi: per i rami di nodi di uguale livello, ma non per rami uscenti da nodi si livello diverso) ed un parametro dipendente dal tipo di problema (nel caso attuale un parametro di "punteggio", e quindi non "fattore" ma "addendo").

Se dovessi risolvere io il problema (ma dovrei essere in grado di programmare, e siccome non sono più in grado ... ecc.), ad ogni "tipo" di nodo assegnerei un carattere in modo da avere ogni percorso rappresentabile con una "parola" su un "alfabeto".
Dopodiché, per far fare al computer tutti i percorsi possibili, basta "comporre" ordinatamente le singole "parole" (perché queste sono in corrispondenza biunivoca con i percorsi, cioè – nel problema in corso – con le singole catene di estrazioni fino ad avere i sacchetti vuoti).
–––
:hello: