Re: Estrazioni casuali
 

Non ho capito il tuo ragionamento (eventualmente ci guardo domani, devo aver preso un virus perché ogni tanto mi si aprono pagine che vogliono vendermi prodotti per controllare e pulire il PC e probabilmente sono state proprio loro ad insozzarmelo... :mad:)

Comunque, il tuo risultato è sbagliato.
Prova ad utilizzare il tuo metodo con un numero piccolo di persone, così da poter controllare a mano i casi possibili, ad esempio con 4 uomini e 5 donne (la soluzione è 15 combinazioni, considerando ovviamente indistinguibili gli uomini e le donne fra loro, altrimenti, per le disposizioni, bisogna moltiplicare 15 per 4! e per 5!)

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Hai ragione. Ho trattato quei casi come se fossero tutti uguali.


Ad esempio:

rimanere tutte unite -----------> 11 permutazioni Questo va bene

da 5 e da 1 -----------> 55 permutazioni Questo va moltiplicato per 2

da 4 e da 2 -----------> 55 permutazioni Questo va moltiplicato per 2

da 3 e da 3 -----------> 55 permutazioni Questo va bene


da 4 e da 1 e da 1 -----------> 165 permutazioni Questo va moltiplicato per 3

da 3 e da 2 e da 1 -----------> 165 permutazioni Questo va moltiplicato per 6

da 2 e da 2 e da 2 -----------> 165 permutazioni Questo va bene


da 3 e da 1 e da 1 e da 1 -----------> 330 permutazioni Questo va moltiplicato per 4

da 2 e da 2 e da 1 e da 1 -----------> 330 permutazioni Questo va moltiplicato per 6


da 2 e da 1 e da 1 e da 1 e da 1 ----------> 462 permutazioni Questo va moltiplicato per 5

da 1 e da 1 e da 1 e da 1 e da 1 e da 1 -----------> 462 permutazioni Questo va bene

Per cui i Modi dovrebbero essere...

Modi= 11 + 55*2 + 55*2 + 55 + 165*3 + 165*6 + 165 + 330*4 + 330*6 + 462*5 + 462

Modi= 8008


:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Caspita! E' giusto!!!
Non capisco come hai fatto, ma quello che conta è il risultato :ok::ok:

Domani, se non interviene Erasmus o qualcun altro, posto la formula.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Se avessi sbagliato ancora mi sarei suicidato!

GRAZIE! :)

Re: Estrazioni casuali
 

Hai fatto un lavoro inutile ... e mi meraviglio che uno logico come sei tu:
a) Non abbia tenuto in conto che ho messo il quiz in "Un po' di calcoli ... e un po' di logica".
Rifletti: un PO' di calcoli, (mica tanti e difficili); un PO' di logica: dove starebbe se si dovesse usare la formula canonica delle eq. di 3° grado?
b) La premessa dice apertamente che il livello di istruzione matematica sufficiente è quello di 1ª liceo scientifico: sapere cosa sono [in generale] le equazioni algebriche e saper risolvere le equazioni ad una incognita di 1° e 2° grado, (ben inferiore a quello, universitario, delle eq. di 3° e 4° grado e del calcolo differenziale).
c) Non hai tenuto conto dell'esplicita (ed evidenziata) avvertenza che si sa una soluzione è doppia.

Prima ti dico il riassunto, poi ti spiego ... sbrodolatamente! :D

1) Divido il polinomio x^3 + A·x^2 + B·x + C per x+w (dove w è una lettera qualsiasi, che però assumo come soluzione semplice (per ora incognita) dell'equazione di terzo grado.
Ottengo un quoziente Q(x) di secondo grado ed un resto R che è
R = w^3 + A·w^2 + B·w + C.
Questo è nullo se e solo se w è soluzione della data equazione.
2) Annullo il quoziente Q(x). Ho una equazione di 2° grado in x con un Discriminante che dipende da w.
Questa equazione di 2° grado
Q(x) = 0
deve avere le soluzioni coincidenti (come dice il testo del quiz), e quindi il suo discriminante deve essere nullo.
Il discriminante risulta un polinomio di 2° grado in w.
Annullandolo ho una equazione di 2° grado in w.
La risolvo e in generale ottengo per w due valori.
Provo a vedere quale dei due annulla il RESTO w^3 + A·w^2 + B·w + C.
Questa è la soluzione semplice dell'equazione di 3° grado.
======================================

"Un PO' di calcoli" consiste nel dividere (con la Regola di Ruffini, che una volta si imparava in III media ed ora sempre in 1ª superiore) il polinomio di 3° grado per uno di 1° grado.
"Un PO' di logica" sta nello sfruttare il sapere che una soluzione è doppia.

Siccome, in generale, se u, v e w sono le soluzioni di:
x^3 + A·x^2 + B·x + C = 0
allora
x^3 + A·x^2 + B·x + C = (x – u)·(x – v)·(x – w),
nel caso di una soluzione doppia – mettiamo che sia v = u – deve essere
x^3 + A·x^2 + B·x + C = [(x – u)^2]·(x – w).

Allora uguagliando a zero il trinomio di secondo grado che ottengo dividendo quello di 3° grado per x – w devo avere una equazione di secondo grado con le soluzioni coincidenti, cioè col discriminante nullo.
[Equivalentemente: siccome il coefficiente del termine di 2° grado è 1, questo trinomio di secondo grado deve essere il quadrato di un binomio di 1° grado].

Allora: suppongo che la soluzione semplice sia w (per ora incognita) e ...
a) Divido (con la regola di Ruffini) x^3 + A·x^2 + B·x + C per (x – w).
[Il primo coefficiente è ; lo si moltiplica per w e gli si aggiunge A.
Quindi il 2° coefficiente è w + A.
Lo si moltiplica per w e gli si aggiunge B. E il 3° coefficiente è w^2 + A·w + B.
[Siccome il grado deve essere una unità in meno di quello del dividendo, sono già arrivato al grado 0].
Moltiplico quel 3° coefficiente per w e gli aggiungo C ottenendo il RESTO
R = w^3 + A·w^2 + B·w + C
che però, nell'ipotesi che w sia una soluzione di quell'equazione, deve essere nullo.
Ecco la divisione con la regola di Ruffini: Il quoziente è dunque:
Q(x) = x^2 + (w+A)·x + (w^2 + w·A + B);
e il RESTO deve essere nullo perché w è una soluzione.
R = w^3 + A·w^2 +B·w + C = 0 (*)
Le altre due soluzioni sono coincidenti e quindi l'equazione di secondo grado
Q(x) = x^2 + (w+A)·x + (w^2 + w·A + B) = 0 (**)
deve avere nullo il discriminante che è D = (w+A)^2 – 4·(w^2 + w·A + B).

Ottengo quindi l'equazione di 2° grado nell'incognita w che è
D = 0 ––> (w+A)^2 – 4·(w^2 + Ω·A + B) = 0 –––> 3·w^2 + 2·A·w + 4·B – A^2 = 0. (***)
Risolvendola, ottengo (in generale) due valori di w.
Se w è la soluzione semplice dell'equazione di 3° grado, allora deve annullare il resto R dato in (*).
Non mi resta che provare per sapere qual è: una delle due soluzioni della (**) va senz'altro bene!
[Noto w, la soluzione doppia u, siccome allora è A = – (2u + w), vale u = – (A + w)/2 (come viene anche dalla (**).
Ma questo non è richiesto.]

Facciamo un esempio:
Sapendo che l'equazione di 3° grado
x^3 – 7·x^2 + 16·x – 12 = 0
ha una soluzione doppia, trovare quella semplice.
a) Divido x^3 – 7·x^2 + 16·x – 12 per x – w. R = w^3 – 7·w^2 + 16·w – 12
Q(x) = x^2 – (7 – w)·x + (w^2 – 7·w + 16)

b) Le altre soluzioni saranno date da:
Q(x) = x^2 – (7 – w)·x + (w^2 – 7·w + 16) =0.
Annullo il discriminante
<Discriminante> = (7 – w)^2 – 4·(w^2 – 7·w + 16) =0 ––> 3·w^2 – 14·w + 15 = 0 ––>
––> w = [14 ± √(14^2 – 4·3·15)]/(2·3) = [14 ± √(196–180)]/6 = (14 ± 4)/6 = (7 ± 2)/3 ––>
––> w = 3 oppure w = 5/3.
Verifico quale delle due soluzioni annulla il resto R.
3^3 – 7·3^2 + 16·3 – 12 = 27 – 63 + 48 – 12 = –36 + 36 = 0. O.K.
(5/3)^3 – 7·(5/3)^2 + 16·(5/3) – 12 = (125 – 525 + 720 – 324)/27 = –4/27 ≠ 0. (Not O.K.)

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:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Mi soffermo sugli esempi, il resto per me... è fumo... :D

Vedo subito (a occhio) che l'equazione ha una soluzione x_1= 2
(infatti, 2^3 - 7*2^2 + 16*2 - 12 = 0)

Quindi, sarà:
(x - 2) (x^2 + Ax + B) = 0

Posso applicare la regola di Ruffini, ma supponiamo ;) che non la ricordo.

Allora ipotizzo che la soluzione doppia sia 2 e che la terza soluzione sia A:
(x-2) (x-2) (x-A)
che posso uguagliare a x^3 - 7x^2 + 16x -12

(x^2 - 4x + 4) (x - A) = x^3 - 4x^2 + 4x - Ax^2 + 4Ax - 4A

E' evidente che A = 3

Quindi:
x^3 - 7x^2 + 16x - 12 = (x-2) (x-2) (x-3)

Verifico, sostituendo a x il 3 OK

Ovviamente, se conoscessi Ruffini farei la divisione del trinomio per (x-2):

1 ..... -7 ..... 16 ..... | ... -12
.......... 2 ... -10 ..... | ..... 12
------------------------------------
1 ..... -5 ...... 6

e avrei:
(x - 2) (x^2 - 5x + 6) = 0

Con successiva risoluzione dell'equazione di secondo grado:
x_2 = (5 + RADQ(25-24))/2 = 3
x_3 = (5 - RADQ(25-24))/2 = 2

(Capisco che è un modo un po'...barbaro, ma il risultato mi pare giusto)

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Aspesi, ho notato che ti sei molto meravigliato del metodo con cui sono arrivato alla soluzione.
Ma come mai, tu che metodo utilizzi?


Io ho prima creato una fila con 10 uomini e 9 donne:






D D D D D D

Per cui mi rimangono 6 donne ancora non incluse nella fila, e 11 posizioni dove posso inserirle. Ossia posso mettere queste 6 donne restanti accanto alle 9 donne già inserite, oppure all'inizio e alla fine della fila.

Ma in quanti modi posso inserire queste 6 donne?

Un primo modo consiste nell'inserirle tutte e 6 nella stessa posizione, per cui questi sono i primi 11 modi in cui si possono disporre gli uomini e le donne nelle 25 poltrone.

Però posso inserire queste 6 donne anche dividendole in 2 gruppi, che saranno due gruppi formati da

da 5 e da 1 -----------> 55 permutazioni

da 4 e da 2 -----------> 55 permutazioni

da 3 e da 3 -----------> 55 permutazioni


Due elementi uguali si possono inserire in 11 posizioni in 55 modi diversi.

Solo che se divido le donne in due gruppi uguali di 3 e di 3 allora le permutazioni sono effettivamente 55, mentre negli altri due casi, i gruppi non sono uguali, perché abbiamo un gruppo formato da 5 donne e da 1, e anche un gruppo formato da 4 donne e da 2.

Per cui in questi due casi le permutazioni raddoppiano.

Inizialmente la cosa mi era sfuggita, ed è per questo che avevo trovato un numero di permutazioni totali molto inferiore a quelle effettive.

da 5 e da 1 -----------> 55 permutazioni * 2

da 4 e da 2 -----------> 55 permutazioni * 2

da 3 e da 3 -----------> 55 permutazioni * 1

Poi considero che le 6 donne si possono suddividere anche in 3 gruppi.

Tre elementi uguali si possono inserire in una serie di 11 posizioni in 165 modi diversi, ma gli elementi sono uguali solo nel caso (2, 2, 2).

da 4 e da 1 e da 1 -----------> 165 permutazioni * 3

da 3 e da 2 e da 1 -----------> 165 permutazioni * 6

da 2 e da 2 e da 2 -----------> 165 permutazioni * 1

Per cui se i gruppi sono formati da (4, 1, 1) le 165 permutazioni vanno moltiplicate per 3, perché il gruppo formato da 4 donne, potrebbe trovarsi al primo, al secondo, o al terzo posto.

Mentre se divido le 6 donne in tre gruppi, formati da (3, 2, 1) ossia da tre gruppi diversi, le permutazioni vanno moltiplicate per 3! ossia per 6.

Ho quindi proseguito dividendo le 6 donne anche in 4 gruppi, in 5 gruppi, e in 6 gruppi, procedendo nello stesso modo.

Essendo i numeri non troppo grandi si capisce subito per quanto vanno moltiplicate le varie permutazioni.

Per cui alla fine le permutazioni totali sono date dalla somma di tutte le permutazioni possibili moltiplicate per il numero di volte necessario.

Modi= 11 + 55*2 + 55*2 + 55 + 165*3 + 165*6 + 165 + 330*4 + 330*6 + 462*5 + 462

Modi= 8008

Non so se sono riuscito a spiegarmi.

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Ti sei spiegato bene e ho capito il tuo ragionamento.

Io avevo invece ricavato una semplice formula, che calcola direttamente il risultato:

= C(D+1,U)

Nel caso in esame:
= C(16,10) = 16!/(10!*(16-10)!) = 8008

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Penso che potrei creare un programma che oltre a calcolare il numero delle permutazioni possibili, le scriva anche.

Ma chi me lo fa fare? :confused:

:hello:

Re: Estrazioni casuali
 

Poteva essere utile una volta, quando si giocava al totocalcio e molti volevano selezionare solo le colonne da mettere in gioco ad es. di 12 doppie 1 - X con 5 segni X, massimo due consecutivi e 7 segni 1... ;)

:hello: