Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Un po' di calcoli ... un po' di logica.... (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=41889)

aspesi 06-09-11 19:59

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 514156)
A < B
La 1) è falsa
la 2) è vera
la 3) è vera
la 4) è falsa


:ok:

:hello:

aspesi 06-09-11 20:14

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
3) La combinazione della mia cassaforte è formata da 5 cifre; purtroppo, data l'età :D, non la ricordo.

Il costruttore per sicurezza mi ha fornito una serie di 10 numeri con i quali è possibile risalire al numero originario.
Difatti, in ciascuno dei 10 numeri seguenti vi è una ed una sola cifra nella esatta posizione della combinazione.

06582
19086
24937
32023
45900
58064
67123
71657
81499
96880

Se guardiamo ad esempio il primo numero dell'elenco, il mio numero potrebbe essere 28560 o 22222, ma non 06111 oppure 33333.

Chi è in grado di aprire la mia cassaforte?

:hello:

aspesi 07-09-11 20:14

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
Quote:

aspesi (Scrivi 514429)
Chi è in grado di aprire la mia cassaforte?

:hello:

???

Aiutino:
La prima cifra dei 10 numeri è diversa in tutti i 10 casi.
Quindi, la soluzione dovrà essere cercata esaminando le altre 4 cifre, che dovranno inevitabilmente comparire con determinate ripetizioni (9 volte per le 4 cifre).
Gli unici casi possibili (non necessariamente in questo ordine) sono:
1-2-3-3
oppure
2-2-2-3

:hello:

aspesi 07-09-11 20:48

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
4) I frati nel convento

In un convento di clausura, ci sono N frati (N>2) dediti al silenzio totale e al rifiuto dell'immagine (non hanno specchi).
Una notte, tutti i frati sognano contemporaneamente che almeno uno di loro è maledetto. I frati maledetti sono distinguibili da un punto nero sulla fronte.

I frati si riuniscono a mensa una volta al giorno; in questa occasione, ciascuno può vedere la fronte degli altri (ma non la sua).
Poi ciascuno si ritira nella sua cella; a quel punto, chi sa con certezza di essere maledetto deve lasciare il convento (e ovviamente sarà assente alla riunione del giorno successivo)

Dopo il sogno, ma prima della prima riunione, tutti i frati fanno questo ragionamento:
sono ipotizzabili diversi scenari:
S1: un solo frate maledetto
S2: due frati maledetti
S3: tre frati maledetti
.....
Sn : n frati maledetti

Ovviamente, uno solo degli scenari è reale: noi sappiamo (ma i frati non lo sanno!) che ci sono 7 frati maledetti.

Come fanno costoro a capirlo e dopo quanti giorni lasceranno il convento?

:hello:

aspesi 16-09-11 14:26

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
5) Incroci
Se si congiungono m punti scelti su una retta con n punti scelti su un'altra retta parallela alla prima, il numero di linee che si tracciano è pari a mn.

Quanti punti di incrocio ci sono, ammesso che ad ogni punto non si incrociano più di due linee?

6) Un giochino per passare il tempo
Con due miei amici abbiamo giocato così:
sulla lavagna abbiamo scritto tre numeri interi in colonna.
Poi, a turno, cancellavamo un numero e lo sostituivamo con "la somma dei due rimanenti meno 1".
Quando ci siamo annoiati sulla lavagna c'erano i seguenti tre numeri:
17
1967
1983
ma non siamo riusciti a ricordare da quale terna si era partiti.
Uno dei miei amici sostiene che eravamo probabilmente partiti da (2, 2, 2), l'altro da (3, 3, 3).
Potrebbe aver ragione uno di loro, o tutti e due o entrambi hanno torto?

Se non frega niente a nessuno :o, pazienza:fis:

:hello:

Erasmus 16-09-11 16:44

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
Quote:

aspesi (Scrivi 516824)
5) Incroci
[..]
Un giochino per passare il tempo
Con due miei amici abbiamo giocato così:
[,,,]

Mi "frega" eccome, (specie del secondo quiz ... un ritorno alle "sequenze linearmente dipendenti" di cui ho già parlato ampiamente).
Ma adesso non ho più tempo.
Ci tornerò su quando potrò.

Ciao ciao
--------
:hello:

aspesi 16-09-11 17:29

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 516865)
Mi "frega" eccome,
...........
Ci tornerò su quando potrò.

Ciao ciao
--------
:hello:

Di te, non dubitavo....;)

Ciao
:hello:

Erasmus 18-09-11 02:28

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
Quote:

aspesi (Scrivi 516824)
5) Incroci
Se si congiungono m punti scelti su una retta con n punti scelti su un'altra retta parallela alla prima, il numero di linee che si tracciano è pari a mn.

Quanti punti di incrocio ci sono, ammesso che ad ogni punto non si incrociano più di due linee?

Detta X(m, n) la funzione di m ed n richiesta, ho trovato (con procedimento concettualmente banale ma laborioso da portar avanti ... a mano libera):

X(m,n) = mn(m–1)(n–1)/4 

Si capisce presto che si tratterà di un polinomio in n ed m di 4° grado invariante rispetto allo scambio tra m ed n.
Questo ha 9 coefficienti.
Alla fine 6 di essi risultano nulli, 2 risultaano valere 1/4 ed uno –1/4.
--------------------------
Qui sotto, se ti interessano, ci stanno i pensierini che ho fatto e tutti i passaggi [molto noiosi] per arrivare al risultato.

Siano A1, A2, ..., Ai, ..., Am gli m punti scelti su una retta.
Siano B1, B2, ..., Bj, ..., Bn gli n punti scelti sull'atra retta (parallela alla prima).
Ci sono n·m segmenti AiBj, con i da 1 a m e j da 1 a n. Ci sono quindi mn·(mn–1)/2 coppie di segmenti .
Una oppia di segmenti, diciamola [AhBs, AkBr], produce un incrocio se e solo se
[(h < k) e (s > r)] oppure [(h > k) e (s < r)]
Ciò permetterebbe di fare un programmino che, dati m ed n, conteggia gli incroci.

Per avere la formula in generale si potrebbe – mi pare – ragionare anche così.
• Le coppie di segmenti AiBj sono le combinazioni a due a due di mn elementi. Quindi sono mn·(mn – 1)2.
• Il numero di incroci X(m, n) è una opportuna selezione delle (mn)^2 – mn coppie di segmenti AiBj. Ipotiziamo allora che X(m, n) sia una funzione polinomiale di m ed n di grado non superiore a 4.
• La funzione X(m, n) è simmetrica in m ed n: deve restare la stessa scambiando tra loro m ed n:
• Deve essere X(1, n) =0 per ogni n [e X(m, 1)= 0 per ogni m].
• Conteggiando direttamente X(2, n) [oppure X(m, 2)], si trova
X(2, n) = (n–1) + (n–2) + ... +2 + 1 = n(n–1)/2

Pertanto X(m, n) sarà del tipo
Codice:

(*)
Grado  0 –––> A +
Grado 1 –––> B(m + n) +
Grado 2 –––> C mn  + D(m^2  +  n^2) +
Grado 3 –––> E (mn^2 + nm^2) + F (m^3  +  n^3) +
Grado 4 –––> G(mn)^2 + H (mn^3  +  nm^3) + L(m^4 + n^4)

dove le 9 costanti
A, B, C, D, E, F, G, H, L
si calcolano conteggiando gli incroci per vari m ed n partendo da m=1 ed n=1 fino ad ottenere 9 equazioni (lineari) indipendenti [nelle 9 incognite che sono le dette costanti A, B, C, D, E, F, G, H e L].

Per m=1 deve essere X(1,n) = 0 per ogni n. Ciò comporta:
A+B(1+n)+Cn+D(1+n^2)+E(n +n^2)+F(1+n^3)+Gn^2 +H(n + n^3)+L(1 + n^A) =
= (A+B+D+F+L) + (B+C+E+H)n + (D+E+G)n^2 + (F+H)n^3 + Ln^4 = 0 per ogni n.
Pertanto
(**)
L = 0;
F+H = 0:
D+E+G = 0
B+C+E+H = 0
A+B+D+F+L = 0
Ciò permette di eliminare le 5 costanti L, H, G, F ed E in quanto dalle (**) si ricava:
(***)
L = 0;
H = A+B+D;
G = A + 2B + C;
F = – (A+B+D);
E = – (A+2B+C+D).
Osservando gli incroci per m=2 ed n ≥2 si trova subito:
X(2, n) = (n–1) + (n–2) + ... +2 + 1 = n(n–1)/2
e quindi
X(2, n) = A + (2+n)B +2nC+ (2+n^2)D + (4n + 2n^2)E+ (8+n^3)F + 4(n^2)G +(8n + 2n^3)H + (16 + n^4)L = n(n–1)/2 per ogni n, ossia:
(A+2B+2D+8F+16L) + (B+2C+4E+8H)n + (D+2E+4G)n^2 + (F+2H)n^3 + ln^4 = –n/2 + (n^2)/2 per ogni n; da cui:
(****)
L = 0;
F + 2H = 0;
D + 2E + 4G = 1/2;
B + 2C +4E + 8H = –1/2:
A + 2B + 2D + 8F + 16L = 0.

Mettendo queste assieme alle (**) si trova quasi subito H = F = 0; G= B+C – D; E = –(B+C).
Il polinomio X(m, n) si riduce a
X(m, n) = A + B(m+n) + Cmn + D(m^2 + n^2) –(B+C)((mn^2 + nm^2) + (B+C–D).(mn)^2 =
= A + [m+n –mn^2 – nm^2 + (mn)^2]B + [mn – mn^2 – nm^2 +(mn)^2]C +[m^2 + n^2 – (mn)^2]D.

In particolare:
X(2, 2) = 1 –-–> A + 4 B + 4 C– 8 D = 1
X(2, 3) = 3 –––> A +11 B +12 C – 23 D = 3
X(2, 4) = 6 –––> A + 22 B + 24 C – 52 D = 6
X(2, 5) = 10 –––> A + 37 B + 40 C – 69 D = 10

Da queste ultime si ricava:
A = 0; B = 0; C = 1/4; D =0.
Dalle (***) allora si ha:
E= –1/4; F = 0; G = 1/4; H =0; L =0.

In definitiva, la (*) diventa
X(m, n) = mn/4 – (mn^2 + nm^2)/4 + [(mn)^2]/4 = mn(m–1)(n–1)/4.



Ooohhh FINALMENTE! :fis:

Ripeto in evidenza.

X(m,n) = mn(m–1)(n–1)/4 

ciao ciao
--------
:hello:

Erasmus 18-09-11 02:53

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
Quote:

aspesi (Scrivi 516824)
Un giochino per passare il tempo
Con due miei amici abbiamo giocato così:
sulla lavagna abbiamo scritto tre numeri interi in colonna.
Poi, a turno, cancellavamo un numero e lo sostituivamo con "la somma dei due rimanenti meno 1".
Quando ci siamo annoiati sulla lavagna c'erano i seguenti tre numeri:
17
1967
1983
ma non siamo riusciti a ricordare da quale terna si era partiti.
Uno dei miei amici sostiene che eravamo probabilmente partiti da (2, 2, 2), l'altro da (3, 3, 3).
Potrebbe aver ragione uno di loro, o tutti e due o entrambi hanno torto?

Al tempo!

Tu dici: « ... a turno, cancellavamo un numero e lo sostituivamo con "la somma dei due rimanenti meno 1"»

Domanda:
Cancellavate un numero dei tre a caso oppure, a partire dal 3° colpo, cancellavate sempre il numero più vecchio?

Grazie
A rileggerti (per proseguire)
----
:hello:

aspesi 18-09-11 09:39

Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 517299)
Detta X(m, n) la funzione di m ed n richiesta, ho trovato (con procedimento concettualmente banale ma laborioso da portar avanti ... a mano libera):

X(m,n) = mn(m–1)(n–1)/4 

[cuttone]

In definitiva, la (*) diventa
X(m, n) = mn/4 – (mn^2 + nm^2)/4 + [(mn)^2]/4 = mn(m–1)(n–1)/4.


Ooohhh FINALMENTE! :fis:

Ripeto in evidenza.

X(m,n) = mn(m–1)(n–1)/4 

ciao ciao
--------

:ok::ok:
Io sono arrivato alla stessa formula finale semplicemente dopo aver fatto qualche prova, tracciando i segmenti con qualche m e n (i tuoi procedimenti sono ovviamente più rigorosi, e ogni volta destano meraviglia, ma sono troppo complicati e non certamente alla mia portata...:))

Comunque, l'intuizione di base è che il risultato è dato dal prodotto degli ambi che si formano con m:
[m*(m-1/2)]
con gli ambi che si formano con n:
[n*(n-1)/2]
ovvero:
Comb(m,2) * Comb(n,2)

Ciao
Nino


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