Coelestis - Il Forum Italiano di Astronomia

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-   -   Easy quiz(zes): but mathematical! (http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=28426)

Erasmus 17-01-10 17:27

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

aspesi (Scrivi 329447)
[...]
Se x e y = 0
[...]
Se x o y = 0

:eek:
Quote:

Erasmus (Scrivi 329276)
b) Dati due numeri reali positivi x ed y, ...

================
:hello:

aspesi 17-01-10 17:42

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 329557)

================

Quote:
aspesi
[...]
Se x e y = 0
[...]
Se x o y = 0



Quote:
Erasmus
b) Dati due numeri reali positivi x ed y, ...


Embé???? :D
E' un reato confrontare le medie anche per gli altri casi?

:hello:

aleph 17-01-10 17:44

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 329276)
c) Dare una interpretazione geometrica (chiara ed elegante!) del fatto che, se x ed y sono numeri reali positivi, allora:
√(xy) ≤ (x+y)/2

Proviamo con la dimostrazione geometrica, ma non so se sarà chiara né tantomeno elegante...

Rad(xy) è il lato di un quadrato di area equivalente a quella di qualsiasi rettangolo di lato x e y. Immaginiamo tutti i rettangoli di area unitaria. La media aritmetica dei due lati sarà compresa tra infinito e 1 ma mai inferiore...

Mizarino 17-01-10 18:11

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 329553)
Aah ... così?
Ti interessi ai miei 'post' solo quando sei rincoglionito ?

No. Per la verità Astromauh sa benissimo in che circostanze io, al mattino, leggo i post... :D
Ora, lo stato di rincoglionimento in quel momento dipende da quanto tempo è passato dal risveglio e dal fatto che io abbia oppure no già bevuto il caffè ... :D
Comunque, se si perdona la svista immediatamente prima della conclusione, tutto il ragionamento fila benissimo ...

astromauh 17-01-10 19:38

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Mizarino (Scrivi 329286)
Caro Erasmus, visto che ogni tanto rimproveri un mio presunto disinteresse, rispondo al quiz (in genere io rispondo se e solo se - per dirla con stile matematico, intravedo la soluzione in meno di cinque minuti). Ecco dunque la "mia" soluzione.
Siano A e B i lati del rettangolo, di cui A è il minore, e sia L la loro media aritmetica, e X la metà della differenza (B-A).
Il perimetro P del rettangolo è 2*(A+B), e si può scrivere come 2*(L+X + L-X) ovvero 4*L.
L'area S sarà A*B, e dunque sarà (L+X)*(L-X) = L^2 - 2*L*X + X^2.
Poiché si ha sempre X < L, S sarà sempre minore di L^2 per qualsiasi X > 0, e sarà massima, ovvero uguale ad L^2, per X=0, quando abbiamo un quadrato.
:hello:


Errore a parte, la dimostrazione data da Mizarino mi sembra leggermente prolissa perchè ricorre anche alla media aritmetica dei lati del rettangolo.
Io avrei detto cosi':


Dato un quadrato di lato x, la sua area è x^2.

I rettangoli con il perimetro uguale a questo quadrato, sono quelli che hanno una coppia di lati opposti uguali a (x + a) e quelli restanti uguali a (x - a), per cui la sua area risulterà essere (x+a) *(x-a) => x^2 - a^2.

Siccome il quadrato di un numero diverso da zero è sempre maggiore di zero, l'area del quadrato x^2 è sempre maggiore di quella del rettangolo x^2 -a^2.

:hello:

OK, non c'è molta differenza.:rolleyes:

Erasmus 17-01-10 19:42

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 329276)
c) Dare una interpretazione geometrica (chiara ed elegante!) del fatto che, se x ed y sono numeri reali positivi, allora:
√(xy) ≤ (x+y)/2

=> Media Geometrica vs. Media Aritmetica
;)
--------
:hello:

Erasmus 18-01-10 02:06

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Un problema preso dal testo di matematica di 2ª media di quando mio figlio faceva appunto la 2ª media.

«L'area di un triangolo isoscele acutangolo è 300 cm^2 e uno dei due lati uguali è lungo 25 cm.
Determinare la lunghezza dell'altezza relativa al terzo lato».

----------------
Aggiungo io un'altra domanda:
Perché mai è specificato che il triangolo isoscele è acutangolo? :mmh:

-----------------
:hello:

astromauh 18-01-10 04:45

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Soluzione/i ?:

1) 20 cm

2) Forse perchè un'altra soluzione valida sarebbe meno 20 cm ?


Io già ogni tanto ho degli incubi in cui sogno di dover ripetere l'esame di maturità e di non riuscirci, e adesso tu vorresti farmi venire anche quelli di non riuscire a superare gli esami di terza media? :mad:

aspesi 18-01-10 08:32

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

Erasmus (Scrivi 329705)
Un problema preso dal testo di matematica di 2ª media di quando mio figlio faceva appunto la 2ª media.

«L'area di un triangolo isoscele acutangolo è 300 cm^2 e uno dei due lati uguali è lungo 25 cm.
Determinare la lunghezza dell'altezza relativa al terzo lato».

----------------
Aggiungo io un'altra domanda:
Perché mai è specificato che il triangolo isoscele è acutangolo? :mmh:

-----------------
:hello:

Chiamando 2x la lunghezza del terzo lato del triangolo isoscele e h l'altezza da determinare, si ha:

x*h = 300
x^2 + h^2 = 25^2

la seconda equazione si può scrivere:
x^2 + h^2 -2x*h + 2x*h = 625
(x - h)^2 = 625 - 2x*h

e sostituendo x*h = 300
(x - h)^2 = 625 - 600 = 25

Da cui:
x - h = +- 5
x_1 = h + 5 ................ X_2 = h - 5

Perciò:
(h + 5)*h = 300 ......... e
(h - 5 )*h = 300

Risolvendo l'equazione di secondo grado (e trascurando le speculari soluzioni negative) si ha:
h_1 = 15 cm (e x_1 = 20 cm)
h_2 = 20 cm (e x_2 = 15 cm)

Di queste, la soluzione corretta è la seconda (altezza = 20 cm); infatti, con la prima, il lato di base sarebbe lungo più del doppio dell'altezza (40 cm contro 15) e quindi si tratterebbe di un triangolo isoscele ottusangolo.

:hello:

Erasmus 18-01-10 11:01

Re: Easy quiz(zes): but mathematical!
 
Quote:

aspesi (Scrivi 329746)
Chiamando 2x la lunghezza del terzo lato del triangolo isoscele e h l'altezza da determinare, si ha:

x*h = 300
x^2 + h^2 = 25^2

la seconda equazione si può scrivere:
x^2 + h^2 -2x*h + 2x*h = 625
(x - h)^2 = 625 - 2x*h

e sostituendo x*h = 300
(x - h)^2 = 625 - 600 = 25

Da cui:
x - h = +- 5
x_1 = h + 5 ................ X_2 = h - 5

Perciò:
(h + 5)*h = 300 ......... e
(h - 5 )*h = 300

Risolvendo l'equazione di secondo grado (e trascurando le speculari soluzioni negative) si ha:
h_1 = 15 cm (e x_1 = 20 cm)
h_2 = 20 cm (e x_2 = 15 cm)

Di queste, la soluzione corretta è la seconda (altezza = 20 cm); infatti, con la prima, il lato di base sarebbe lungo più del doppio dell'altezza (40 cm contro 15) e quindi si tratterebbe di un triangolo isoscele ottusangolo.

:hello:

Giusto, però ...
In 2ª media si studiano la radice quadrata, le proporzioni, la similitudine tra triangoli, il teorema di Pitagora, ma non certo le equazioni di 2° grado.
Anzi: i problemi sono ancora svolti senza l'uso formale delle equazioni.

Ripercorri tutto il discorso, e procedi in modo comprensibile per il bambino di 2ª media!
Ti dò allo scopo un'ulteriore informazione: l'esercizio è preso da quelli che seguono il capitolo sul Teorema di Pitagora e sulle sue applicazioni.
:hello:


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