SUCCESSIONI

[Betelgeuse_088]

Salve volevo porvi questo problema ....

Data una successione in formula analitica è una cavolata ricavare la corrispondente formula ricorsiva .... ma se noi abbiamo una formula ricorsiva ????? E' complicatissimo ricavare la sua corrispondente formula Analitica !!!! ???



Ciao a tutti
Stefano

[Mizarino]

Mmmm... Puoi porre il problema con un esempio concreto ?

[Betelgeuse_088]

per esempio

una successione è così definita analiticamente:

a(n) = n+2

la sua formula ricorsiva è così definita (mette in relazione il termine precedente con il succesivo)

a(1)=3
a(n+1)=n+1+2 = a(n)+1

(naturalmente a(1) e a(n+1) sono la stessa parte della formula ricorsiva)


quindi, passare da una formula analitica ad una formula ricorsiva è semplice !!!! ma se abbiamo una formula ricosiva, come possiamo risalire ad una formula analitica ???

Stò problema stò cercando di risolverlo senza ottenere grandi risultati!!!! :-/ :-/

Saluti

[Piotr]

Non sono sicuro di poter dare una risposta sensata, ma credo sia comunque un buon esercizio - per quanto assai poco matematico - tenere bene a mente che il fatto che una cosa sia uguale ad un'altra non implica automaticamente che queste due cose veicolino lo stesso contenuto di informazione.

Esempio scemone:

2+2=4

non si può dire che si tratti di equivalenza troppo complicata, no? Anzi, a ben vedere è una autentica "identità", nel senso che - almeno dal punto di vista matematico - non è che "due più due FA quattro", ma bensì proprio che "due più due E' quattro".

Cionondimeno, se stai compiendo dei calcoli, quando sostituisci a "2+2" il suo equivalente "4" perdi informazione. Questo perchè, una volta che ti ritrovi con il tuo solo 4, non sai più - a meno che non lo ricordi, naturalmente, ma qui stiamo parlando per principio - se quel 4 proviene da 2+2 o da 10-6, da "18 alla zero più radice di 9", o quel che è.

Spesso, nel passare da una forma all'altra - come potrebbe essere il caso delle Successioni del topic, si può perdere quel tot di informazione che rende subito "difficile" quel che prima era semplicemente "banale".

(Ma potrei sbagliare di grosso, in questo caso...)

[Mizarino]

Stò problema stò cercando di risolverlo senza ottenere grandi risultati!!!!

Mi concedo una piccola parentesi in omaggio alla forma (in questo caso alla precisione ortografica): " 'sto problema sto cercando ..." ;)
E vengo alla sostanza:
Ha ragione Betelgeuse. Il problema non è affatto semplice, e a lume di naso credo che non sia sempre risolvibile.
Faccio un esempio, nel quale la soluzione esiste (anche se io non saprei come ricavarla), giusto per dare un'idea di quanto Betelgeuse abbia ragione nel dire che la cosa è complicata.

Prendiamo la famosa successione dei numeri di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ....
La formula ricorsiva è banale:
F(0)=0; F(1)=1; ...; F(n)=F(n-1)+F(n-2)

Ecco la formula analitica, nella quale per semplicità grafica definisco S = (Radice quadrata di 5):
F(n) = [((1+S)/2)n-((1-S)/2)n]/S

Trovatevi a dovervela ricavare!... :-/

[Betelgeuse_088]

Ragazzi, la cosa si fa sempre più interessante......

Quindi non esiste un metodo unico e meccanico per ricavarla !!!!

Uhmmmm ...... non saprei proprio cosa dire ...... forse la rappresentazione grafica della successione ci potrebbe aiutare, in qualche modo, a ricavare la sua formula analitica ???

Ci penso ancora un po' e poi vi informo su eventuali svolte.

Mizarino .... bello l'esempio di Fibonacci .... ma io sapevo che quella successione era una delle tante che non si poteva scrivere sotto forma analitica .... Dov'è che hai trovato la formula che hai scritto ???

P.S. chiedo scusa per l'errore di sintassi ma alcune volte "me vien spontaneo" .....

Saluti
Stefano M.

[Mizarino]

Mizarino .... bello l'esempio di Fibonacci .... ma io sapevo che quella successione era una delle tante che non si poteva scrivere sotto forma analitica .... Dov'è che hai trovato la formula che hai scritto ???

In realtà non c'è voluto molto. E' bastata una ricerca Google con frase chiave "Fibonacci numbers", e l'ho trovato già nel primo link proposto.
A questo proposito (e ti assicuro che lo dico per esperienza e non per snobismo) devo dire che, se ci si arrangia bene con l'inglese, conviene fare le ricerche sui siti in inglese piuttosto che su quelli in italiano. Tendono ad essere più concisi e ad essere strutturati in modo che sia più facile trovare rapidamente le cose importanti, senza perdesi nei dettagli e nelle chiacchiere. Naturalmente non è sempre così, e ci vuole anche un po' di fiuto e di fortuna, perché in giro c'è anche tanta fuffa ...
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibFormula.html#formula
Ciao

[Betelgeuse_088]

Aspettate che forse m'è venuta un'idea .....

aspetto però a dirvela ... la voglio rielaborare meglio....


Saluti
Stefano M.