Visualizza la versione completa : Logaritmo
Stasera ho trovato in rete i testi delle prove di matematica degli "Esami di Stato" (che poi sarebbero gli "Esami di maturità" ).
Li ho trovati => qua (http://www.matefilia.it/maturita/index_esame_di_stato.shtm).
Nel "Liceo Scientifico PNI" (dove suppongo che "PNI" stia per "Piano Nazionale Informatica", tra le varie domande ci sta questa:
« ... si illustri una procedura numerica per il calcolo approssimato di ln(3)».
Non sono qui a criticare 'sta domanda ...
[La critica sarebbe feroce :mad:].
Nell'immagine allegata (http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2516&d=1220717550), invece della procedura c'è la formula 2), applicazione diretta della formula 1).
In fondo alla stessa figura c'è una domanda che ... potrebbe essere un quiz.
Qualcuno mi ha detto che il logaritmo naturale di un numero si può sviluppare in serie di potenze di frazioni e m'ha regalato la formula di questo sviluppo.
[Vedi la formula 1) dell'immagine allegata].
Ma io vorrei essere sicuro che la formula sia valida...
Purtroppo non so come si fa a ricavarla.
Delle serie so poco, [a parte la progressione geometrica
1 + x + x^2 + x^3 + ... x^n + ... = 1/(1 – x)
che converge per |x| < 1 ].
Vorrei tuttavia verificare la formula 1) dell'immagine allegata.
Qualcuno, per favore, mi sa dire come si può fare questa verifica ? »
NB. La verifica vorrei che fosse sulla formula così come è già scritta ... non mi interessa la prova costruttiiva.
Grazie dell'attenzione.
Ciao a tutti
:hello:
Caro Erasmus,
esco fuori dal seminato per un piccolo sfogo.
Tu dici che la tua critica al testo del problema sarebbe feroce ...
La mia è peggiore, ma per tutt'altra ragione.
Restando nell'ambito della matematica, vedo negli esami problemi che sarebbero, per me, decisamente impegnativi. Poi, all'università, (scritta deliberatamente con la lettera minuscola), il 90% dei maturati arriva che se deve calcolare 0.02 * 10 ^2 + 200 * 10^-2 rimane paralizzato, oppure dice che fa 200.02 * 10^-4 ...
Dell'italiano poi è meglio non parlarne, perché è anche peggio! ...
Come in molte cose di casa nostra, emerge lo scollamento fra la realtà dei fatti e quella "virtuale" scritta sulla carta ... :lipssealed:
Caro Erasmus,
esco fuori dal seminato per un piccolo sfogo.
Tu dici che la tua critica al testo del problema sarebbe feroce ...
La mia è peggiore, ma per tutt'altra ragione.
Restando nell'ambito della matematica, vedo negli esami problemi che sarebbero, per me, decisamente impegnativi. Poi, all'università, (scritta deliberatamente con la lettera minuscola), il 90% dei maturati arriva che se deve calcolare 0.02 * 10 ^2 + 200 * 10^-2 rimane paralizzato, oppure dice che fa 200.02 * 10^-4 ...
Dell'italiano poi è meglio non parlarne, perché è anche peggio! ...
Come in molte cose di casa nostra, emerge lo scollamento fra la realtà dei fatti e quella "virtuale" scritta sulla carta ... :lipssealed:
Ti ha insegnato astromauh l'arte divinatoria? :D
Che ne sai tu delle motivazioni per le quali la mia critica sarebbe feroce?
Guarda che io sono d'accordo (quasi!) con te (a riguardo della tua critica).
Il fatto è che ci sono parti banalissime, e altre difficili (e dette male).
Ci sono ripetizioni dei "motivi" (per esempio: la solita derivata per trovare il solito massimo o minimo c'è più volte).
E ci sono parti difficili, ma anche insulse sotto il profilo globale!
Che significa una "procedura numerica" se non sai cosa hai in mano?
Ci mettiamo a fabbricare una procedura solo per il caso ln(3) o in generale per il logaritmo naturale?
Abbiamo davanti un computer – siamo nel PNI!!! – o una macchinetta elettronica non scientifica?
[Io ho supposto così: ma capace di fare le radici quadrate].
Siamo alla maturità di informatici, ma gli chiediamo di ignorare che il logaritmo si fa con una apposita istruzione su ogni computer e pigiando un tasto su una calcolatrice scientifica?
Io avrei detto:
«Disponi di una calcolatrice che sa fare le 4 operazioni razionali (oppure: le 4 operazioni razionali e la radice quadrata) ma non il logaritmo. Cosa fai per avere ln(3) con grande precisione?»
Insomma: non inscatolare lo studente se non è necessario!
Il tema deve essere "aperto" se vuoi capire cosa sa e come lo sfrutta l'esaminato.
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Comunque, questa domanda prevede che uno abbia le idee molto chiare, e non solo sappia smanettare e orecchiare ...
Io la considero difficile per il livello "scolastico", in cui ti abituano a stare sempre nel coro, senza mai poter cantare da solista!
Ma hai visto quella domanda che chiede di dire se una frase è vera o falsa e di motivare perchè? Eccola:
1. Si consideri la seguente proposizione: “ Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
Come si fa a spiegare perché è sbagliata se è stra-equivoca?
Che significa "intercettano su di essi sezioni di uguale area?
Chi interseca cosa?
Ciascun solido interseca ogni piano del fascio in sezioni equivalenti? Due piani paralleli, uno che intercetta un solido e l'altro che intercetta l'altro, ma le sezioni sono equivalenti?
E perché "intercettare" invece di "intersecare"?
Non era meglio rovesciare 'sto "Pincipio di Cavalieri" ma rovesciarlo per bene in modo che il succo fosse (e fosse solo) distinguere una equivalenza (che è simmetrica) da una implicazione (che non è simmetrica)?
Se A <=> B allora B <=> A;
Se A => B allora (non B) => (non A)
[L'abduzione è appunto dire : Siccome è A che implica B, allora se ho B vuol dire che c'è anche A].
Formalmente Se A =>B allora B => A,( che è sbagliata)].
Porco mondo, m'hai "sedotto" e portato dove non volevo!!
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Adesso, dimentica l'esame di maturità e trova come si fa a verificare che l'uguaglianza della formula 1) della mia figura allegata è giusta! ;)
Ciao
1. Si consideri la seguente proposizione: “ Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
Io il Principio di Cavalieri non lo ho mai neppure sentito nominare, ma, al di là dei cavilli lessicali, la proposizione di cui sopra me pare proprio 'na stru..... :D
Per il logaritmo ci sentiamo dopo che ora ho affari urgenti ... ;) :hello:
Per calcolare 3^(1/1024) ...
... senza calcolatrice: si prendono le tabelle dei logaritmi, si trova il log (3), si divide per 1024 e se ne fa l'antilogaritmo ... http://www.trekportal.it/coelestis/images/icons/icon10.gif
P.S.
Comunque, scherzi a parte, ho fatto la verifica:
Se ti accontenti di 7 cifre decimali (1.0986123), con un errore di una unità sull'ultima, puoi trascurare l'intera serie in parentesi.
Se ti accontenti di 13 cifre decimali (1.0986122886681), con un errore di una unità sull'ultima, ti puoi fermare al primo termine dopo l'unità.
:hello:
Ti ha insegnato astromauh l'arte divinatoria? :D
No, me ne guardo bene, sarebbe fatica sprecata. :D
Erasmus, che cos'è un Logarimo (http://tw.youtube.com/watch?v=zTqAhfAUfQI):confused:?
[Nota del moderatore: Astromauh non era impazzito, nel fare questa domanda: inizialmente tutta la discussione era stata inizialmente (ed erroneamente) chiamata "Logarimo": solo successivamente i titoli sono stati corretti]
... senza calcolatrice: si prendono le tabelle dei logaritmi, si trova il log (3), si divide per 1024 e se ne fa l'antilogaritmo ... http://www.trekportal.it/coelestis/images/icons/icon10.gif
P.S.
Comunque, scherzi a parte, ho fatto la verifica:
Se ti accontenti di 7 cifre decimali (1.0986123), con un errore di una unità sull'ultima, puoi trascurare l'intera serie in parentesi.
Se ti accontenti di 13 cifre decimali (1.0986122886681), con un errore di una unità sull'ultima, ti puoi fermare al primo termine dopo l'unità.
:hello:
L'approssimazione (e alla fine l'accuratezza) dipende dal primo termine trascurato della serie.
Nella mia espressione è quello di 7° grado. Siccome 3^(1/1024) è circa 1 + (10^–3), il termine di 7° grado (che è quello di 6° grado nel parentesone) è dell'ordine di 10^(–20) (circa). Volutamente ho fatto in modo che ci fosse la massima precisione se si facessero i conti con floating point da 80 bit [64 bit di mantissa, quindi precisione di circa 10^(–19)].
Osserva poi che, se fai i conti con una calcolatrice (e un foglio di carta con matita per scrivere eventialmente un numero da ricopiare poi in macchina), è più facile fare le potenze con esponente potenza di 2, – cioè 2, 4, 8, 16 ... – che con altri esponenti interi... perché iteri il quadrato (che ha un tasto apposito). Vedi che nella mia espressione ho raccolto a fattore comune il rapporto
t = [3^(1/1024) –1]/[3^(1/1024) +1]
in modo che nel parentesone ci stanno solo le potenze t^2 e t^4, o meglio il trinomio
1+ (t^2)/3 + [(t^2)^2]/5.
Idem per elevare ad un n molto minore di 1 in modo da passare da x abbastanza grande ad un x^n solo di un pelo maggiore di 1 [ché allora siamo quasi a x^n = 1 + ln(x^n)].
Conviene che n sia una potenza di (1/2) perché iteri la radice quadrata che ha il suo apposito tasto.
Alla fine degli anni 70, quando già avevo lasciato Milano, mi son trovato a dover fare una barca di calcoli con massima precisione e molto lunghi – pensa cosa vuol dire, per esempio, calcolare per sintesi un filtro "passabanda" analogico di 7° o 9° ordine ... se non hai un computer! – disponendo di una calcolatrice scientifica "Texas Instrument" comperata apposta. Allora era fondamentale risparmiare sul numero di mosse da fare, (soprattutto) sul numero di output ... su carta (copiare su un foglio il numero dalla macchinetta) e di input ... digitale (digitare un numero di 11 cifre sulla tastierina)
Con una macchinetta non scientifica ma con la radice quadrata, scrivi 3, fai di seguito 10 radici quadrate e togli 1. Metti il numero (che è d = 0,00 .. e rotti) in memoria, aggiungi 2 e dividi il numero d in memoria per questo 2+d che hai nel visore. Metti in memoria il rapporto. Fai due volte il quadrato e dividi per 5, sommi ad un terzo del quadrato del richiamo della memoria , aggiungi 1, rimoltiplichi per la memoria e poi per 2048. E hai ln(3) con la precisione massima possibile offerta dal tuo mezzo di calcolo elementare.
Se non hai la radice quadrata, allora osservi che:
3 = (2 + 1 )/( 2 – 1) = (1 + 1/2)/(1 – 1/2) <=> 1/2 = (3 – 1)/(3 + 1).
Sei sempre dentro alla formula 1) dell'immagine allegata, ma con n = 1 invece di n = 1/1024. Allora devi sommare una barca di termini del tipo [1/(2k+1)*[(1/2)^(2k+1)] per arrivare ad una buona approssimazione (data ancora dal primo termine trascurato del resto della serie).
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Miza e astromauh:
E il quiz?
Si tratta di dire come fare a verificare la bontà della 1) (sempre della figura allegata).
Come farebbe, in sede di prova di matematica, un maturando?
[Diciamo del Liceo Scientifico "in ORDINAMENTO" – ma che brutta ed inespressiva parola! – o "sperimentale".
Occhio, però: non si sperimenta un tubo!
Solo si svolge un programma differente da quello "in ORDINAMENTO"].
:hello:
[...]
Erasmus, che cos'è un Logarimo (http://tw.youtube.com/watch?v=zTqAhfAUfQI):confused:?
Che ne so ...non sono mica uno "strolico", io. Pova a "divinare":D
[Ma il link non c'entra un YouTube con l'user name di questo thread]
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P-S.
Ho chiesto a Piotr di correggermi quel titolo ...un po' elliittico :rolleyes:
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:hello:
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P-S.
Ho chiesto a Piotr di correggermi quel titolo ...un po' elliittico :rolleyes:
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:hello:
Erasmus,
ci ho provato: ma o io sono incapace, come moderatore, oppure i poteri di moderazione non bastano a cambiare titolo d'una discussione.
Quale delle due opzioni sia quella vera, è un bel quiz, che non so risolvere... Mi spiace.
Io il Principio di Cavalieri non lo ho mai neppure sentito nominare ...
"Ma chi t'ha dato la patente? " :D
Posso pensare uno "strato" [=parte di spazio delimitata da due piani paralleli] come insieme di piani paralleli, allo stesso modo che posso pensare una "striscia" [= parte di piano delimitata da due rette parallele] come insieme di rette parallele (ed un segmento come insieme di punti).
Il "Principio di Cavalieri" dice.
«Se è possibile collocare due solidi in uno strato in modo tale che ciascuno dei piani paralleli dello strato interseca i due solidi in sezioni di uguale area, allora i due solidi hanno lo stesso volume»
L'ha detto Bonaventura Cavalieri (discepolo di Galilei). Cavallieri diceva di sé di essere "il novello Archimede". Guldino lo sfotteva per questa sua presunzione. Ma nei corso del secolo 1900 è stata rinvenuta in Egitto una copia di una lettera di Archimede ad Eratostene che spiegava quella che sarebbe stata, con parole dell'epoca di Cavalieri, la "teoria degli indivisibili", ossia i fondamenti dell'integrazione secondo Riemann. La lettera conferma che Archimede ragionava come Cavalieri: pensare, a volte, un lembo di superficie piana come intersezione con un insieme di striscie parallele di larghezza infinitesima; ed una porzione di spazio come intersezione con un insieme di strati paralleli di spessore infinitesimo. Nel caso piano rientra la celebre "area del segmento di parabola", nel caso spaziale il non meno celebre "volume della sfera", entrambi risulati di teoremi di Archimede che appliacano l'idea nota ora come "Principio di Cavalieri".
=> Equivalenza sfera/anticlessidra (http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2230&d=1214186055)
Il teorema di Archimede sulla sfera – equivalenza tra segmento di sfera e segmento di anticlessidra del cilindro equilatero circoscritto alla sfera – è, secondo me, uno dei teoremi più belli e "potenti" di tutta la matematica.
Ciao, ciao
:hello:
"Ma chi t'ha dato la patente? " :D
Non dovrei darti suggerimenti, ma hai povato :spaf: con il tasto modifica?
;):D
Il "Principio di Cavalieri" dice.
«Se è possibile collocare due solidi in uno strato in modo tale che ciascuno dei piani paralleli dello strato interseca i due solidi in sezioni di uguale area, allora i due solidi hanno lo stesso volume»
Ma il testo del problema di maturità (almeno nella tua trascrizione) dice tutt'altra cosa!...
Poi, non ho capito cosa intendi per "verificare la bontà della (1)" (del tuo disegno).
Io ho verificato la bontà della (2), che è un troncamento della (1) nel caso di x = 3.
Per inciso, facendo i calcoli a 80 bits, l'errore relativo della (2) viene dell'ordine di 1*10^-17.
Cos'altro vuoi che verifichi ? :confused:
... hai povato :spaf: con il tasto modifica?
Anche tu hai aperto dei thread, quindi scritto "titoli".
Se sei capace di cambiarne uno ... non ti preoccupare ché potrai sempre ri-modificare per tornare all'originale. Poi mi dici come hai fatto.
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Il software di un "forum" organizza gli utenti in "gruppi". I membri di un "gruppo" hanno certi "poteri" caratteristici del "gruppo" di appartenenza.
Una volta che sei "riconosciuto", le pagine che vedi le vedi adattate al tuo gruppo di appartenenza. Per esempio, in fondo a questa pagina trovi scritto:
Tu puoi inserire i messaggi
Tu puoi rispondere ai messaggi
Tu puoi inviare gli allegati
Tu puoi modificare i tuoi messaggi
Prova ad eseguire il log-out, poi esci e poi rientra: vedrai che troverai diversi i tuoi "poteri".
La modifica del "titolo" di solito (nei forum che ho frequentato) non è possibile da parte di un utente comune. In qualche forum (solo recentemente) è possibile a chi l'ha scritto ("aprendo" la "discussione"). Che io sappia, è sempre (stata) possibile al "moderatore".
Ma Piotr ci dice, ora, di non riuscirci.
Occorrerà risalire la scala gerarchica. :D.
:hello:
"Ma chi t'ha dato la patente? " :D
Posso pensare uno "strato" [=parte di spazio delimitata da due piani paralleli] come insieme di piani paralleli, allo stesso modo che posso pensare una "striscia" [= parte di piano delimitata da due rette parallele] come insieme di rette parallele (ed un segmento come insieme di punti).
Il "Principio di Cavalieri" dice.
«Se è possibile collocare due solidi in uno strato in modo tale che ciascuno dei piani paralleli dello strato interseca i due solidi in sezioni di uguale area, allora i due solidi hanno lo stesso volume»
L'ha detto Bonaventura Cavalieri (discepolo di Galilei). Cavallieri diceva di sé di essere "il novello Archimede". Guldino lo sfotteva per questa sua presunzione. Ma nei corso del secolo 1900 è stata rinvenuta in Egitto una copia di una lettera di Archimede ad Eratostene che spiegava quella che sarebbe stata, con parole dell'epoca di Cavalieri, la "teoria degli indivisibili", ossia i fondamenti dell'integrazione secondo Riemann. La lettera conferma che Archimede ragionava come Cavalieri: pensare, a volte, un lembo di superficie piana come intersezione con un insieme di striscie parallele di larghezza infinitesima; ed una porzione di spazio come intersezione con un insieme di strati paralleli di spessore infinitesimo. Nel caso piano rientra la celebre "area del segmento di parabola", nel caso spaziale il non meno celebre "volume della sfera", entrambi risulati di teoremi di Archimede che appliacano l'idea nota ora come "Principio di Cavalieri".
=> Equivalenza sfera/anticlessidra (http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2230&d=1214186055)
Il teorema di Archimede sulla sfera – equivalenza tra segmento di sfera e segmento di anticlessidra del cilindro equilatero circoscritto alla sfera – è, secondo me, uno dei teoremi più belli e "potenti" di tutta la matematica.
Ciao, ciao
:hello:
Anchio lo trovo molto potente e bello solo che io lo conoscevo col nome di "Scodella di Galileo":hello:
Poi ,notavo, come la maggior parte delle cose che succedono nel forum o è già successo o sono cose già state dette.
Per esempio prendiamo il caso che non si riesce a correggere il titolo della discussione era già successo circa tre mesi fa a Sumer, lui aveva scritto Spirut invece di Spirit , io pure avevo tentato di andare a sbagliare di proposito il titolo di un mio thread,ma non ci ero riuscito,ed avevo notato che si il titolo lo cambia in tutti i messaggi a venire ma non nella presentazione.
Ancora un esempio? Qui si parla del principio del Cavalieri? Ebbene c'è un vecchio quesito proposto da Mizarino "L'arte di fare le valigie" dovrebbe essere a pagina 7 di questa stessa sezione,e
nell'ultimo intervento ci sono io che tento di risolvere il quiz (chissa per quale strana idea)col teorema del Cavalieri,e poi chiudo il messaggio menzionando appunto quella che Erasmus chiama la dimostrazione più bella della matematica
che lui chiama anticlessidra ed io scodella di Galileo.
Solo trovo significativo il fatto che anchio avevo fatto lo stesso accostamento:hello:
P.S X Piotr. Scusa ma una volta tu hai scorporato e poi trasformato una discussione in un'altra ,precisamente da "Numeri mirabili"in "Solidi Platonici" .Come hai fatto? Non potresti fare lo stesso per Logarimo? Lo so che non è molto importante,però!Ciao.
Okay, creando una nuova discussione dal titolo giusto, facendo poi l'unione delle due discussioni (stando attenti a non far confluire la nuova nella vecchia, ma solo la vecchia nella nuova, perdendo nel tentativo una ventina di minuti), si riesce a cambiare titolo (avendo privilegi di moderatore).
Ma è pura follia, non sperate che corregga altri titoli...:p
Okay, creando una nuova discussione dal titolo giusto, facendo poi l'unione delle due discussioni (stando attenti a non far confluire la nuova nella vecchia, ma solo la vecchia nella nuova, perdendo nel tentativo una ventina di minuti), si riesce a cambiare titolo (avendo privilegi di moderatore).
Ma è pura follia, non sperate che corregga altri titoli...:p
Grazie, Piotr! ;)
Anch'io avevo pensato (essendo esperto di queste cose perché modero un forum da 6 anni e mezzo – stesso avatar, stessa signature! ) che, se non puoi cambiare il titolo, puoi sempre creare un'altra discussione col nome giusto, trasferire i messaggi dalla vecchia alla nuova ed eliminare la vecchia. Non te l'ho proposto (dopo aver preso atto che non riuscivi a modificare il titolo) perché so che ci si perde un po' di tempo ...
Scrivendo "Occorrerà risalire la scala gerarchica" pensavo che tu potessi chiedere la correzione del titolo a qualcuno dell''Amministrazione di Coelestis; ma anche che potevi chiedere all'Amminitrazione di darti quel "potere", dato che non è raro il caso che qualcuno sbagli nel digitare un titolo e se n'accorga dopo aver lanciato la discussione.
Nel presente caso, però, tutti capiscono "Logaritmo..." anche se manca una "t", nessuno potrebbe equivocare il titolo – ad eccezione, ovbviously, di astromauh :D –
:hello:
Ma il testo del problema di maturità (almeno nella tua trascrizione) dice tutt'altra cosa!...
Poi, non ho capito cosa intendi per "verificare la bontà della (1)" (del tuo disegno).
Io ho verificato la bontà della (2), che è un troncamento della (1) nel caso di x = 3.
Per inciso, facendo i calcoli a 80 bits, l'errore relativo della (2) viene dell'ordine di 1*10^-17.
Cos'altro vuoi che verifichi ?
A) Il "testo" l'ho trascritto con "copia/incolla", è fedele!. Esso tenta (esprimendosi ... da cani) di dire il rovescio del Pricipio di Cavalieri. Se metti questo nella forma A => B, quella "proposizione" vorrebbe significare invece B =>A. .
Infatti: (NB: metto in blu la proposizione A ed in rosso la proposizione B)
Giusto (Principio di Cavalieri) Se ognuno dei piani di un fascio di piani paralleli che intersecano due solidi li interseca in sezioni di area uguale allora i due solidi hanno volume uguale.
Sbagloiato (Principio ...rovesciato) Se due solidi hanno volume uguale allora ognuno dei piani di un fascio di piani paralleli che intersecano i due solidi li interseca in sezioni di area uguale.
Ripeto il testo del quesito:
1. Si consideri la seguente proposizione: “ [i]Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
B) Cosa vorresti insinuare con ...– me lo passi? – l'ipocrita «Non ho capito»? Che io parlo arabo? :mad:
Sei solo capace di fare verifiche numeriche, tu?
C'è una formula. E' un'uguaglianza. Contiene due variabili x ed n definite entrambe reali positive. Non è data come equazione ma come presunta identità. Come tale, o è vera o è falsa.
[Va bene fin qua o mi dirai che non hai capito? :D]
Si chiede di provare che è vera (oppure, se si sospetta che non sia vera, di provare che è falsa).
Un modo per "verificare" l'identità è ricavarla.
Per esempio: Supponi che in terza media il profe ti chiedesse di verificare che
(x – a)(x + a) = (x^2) – (a^2).
Tu che facevi?
Dicevi: «Calcoliamo!
Applico la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, la proprietà commutativa del prodotto ... e poi semplifico.
(x–a)(x+a) = x*(x +a) –a(x + a) = (x^2) + xa – ax – (a^2) =
= (x^2) + xa – xa – (a^2) = (x^2) – (a^2)».
Questo modo di dimostrare che l'uguaglianza (x – a)(x + a) = (x^2) – (a^2) è una identità è detto "dimostrazione costruttiva". Parti da un membro e "costruisci" i'altro membro ricavandolo dal primo.
Nell'esempio in corso ci sarebbe però un'altro modo di "verificare" che l'uguaglianza è un'identità. Hai infatti una uguaglianza tra due polinomi monici (= con coefficiente del grado massimo uguale a 1). Due polinomi monici sono identici se e solo se hanno i medesimi "zeri".
Il membro di sinistra è un polinomio monico che ha evidentemente due e due soli zeri:
x1 = a e x2 = –a.
Il secondo membro è un polinomio monico di secondo grado (e quindi ha due e due soli zeri anche lui). Sostituendo x con a o con –a trovo in entrambi i casi (a^2) – (a^2) = 0. Quindi i due polinomi monici hanno davvero gli stessi zeri e perciò sono identici.
Beh: nel caso della formula 1) ho chiesto di non verificarla costruttivamente, ossia ricavandola. Può darsi che a livello di maturità scientifica uno non sia tenuto a saper sviluppare ln(x) con quella serie.
Ma è senz'altro tenuto a possedere un bagaglio di nozioni di analisi sufficiente a provare per altra via quella formula (una volta che abbia l'idea di che cos'è una serie di funzion)i.
Rileggi il testo in blu del mio primo messaggio ... e non dirmi più che non capisci, (cosa che io interpreto come eufemismo per dirmi che non sono stato abbastanza chiaro), perché non ti crederei ;)
C) Vorrei – che vuol dire: «Voglio, ma non ho certo il "potere" di esigerlo!» – che tu, Piotr, astromauh, Luciano, aleph, sumer, [anche Nino se si sente (quanto a precise nozioni di matematia) ad un livello non inferiore a quello d'un "maturando"] e quant'altri bazzicano in Coelestis cercaste (e trovaste!) una via "non costruttiva" per provare che quell'uguaglianza è un'identità. Esiste almeno una via non costruttiva che fa uso di nozioni tutte impartite e richieste in un qualsiasi liceo scientifico (e della sola – eventualmente ulteriore –conoscenza di «che cos'è una serie»).
:hello:
... Erasmus [...] chiama anticlessidra ed io scodella di Galileo.
[...]
Nino:
Il teorema della "Scodella di Galileo" è equivalente al teorema dell'anticlessidra di Archimede. Ma considera che è di 18 secoli posteriore!
A Galileo non è nemmeno venuto in mente di aver enunciato in altro modo il teorema di Archimede. La storia della scodella l'ha inventata per fare delle considerazioni sulla "teoria degli indivisibili" che il suo ex-allievo Cavalieri andava divulgando.
Cenni ... quasi storici (a braccio!).
A) Cicerone è stato (mi pare) "proconsole" – o qualcosa del genere, una specie di "governatore" – in Sicilia. Lui dice (crede!) di aver trovato la tomba di Archimede (in quel di Siracusa): una lapide con inciso un cerchio inscritto in un quadrato con tanto di diagonali . Il quadrato sarebbe il prospetto di un cilindro equilatero; il cerchio la sfera inscritta nel cilindro; e le diagonali (assieme due lati opposti del quadrato) la "clessidra". Questa è fatta da due coni. Quel che resta del cilindro togliendogli la clessidra è l'anticlessidra. Uno strato (di piani) parallelo alla base del cilindro interseca l'anticlessidra e la sfera in rispettivi "segmenti". Il segmento di anticlessidra ha lo stesso volume del segmento di sfera. Questo è il teorema di Archimede.
B) Il teorema della "scodella di Galileo" è equivalente al teorema di Archimede: Se da mezzo cilindro equilatero togli la mezza anticlessidra ti resta un cono retto di altezza uguale al raggio (= mezza clessidra). Se dallo stesso mezzo cilindro togli la mezza sfera ti resta mezza antisfera, che è appunto la "scodella di Galileo". Siccome nel primo caso e nel secondo hai tolto volumi uguali (per il teorema di Archimede), ti restano volumi uguali (la scodella di Galileo ha lo stesso volume del cono_mezza_clessidra).
Alla stessa conclusione arrivi anche con applicazione diretta del principio di Cavalieri sulle aree delle sezioni di cono (che sono cerchi) e di scadella (che sono corone circolari).
[V. Figura allegata: "Archimede_Galileo.jpg" (http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2231&d=1214301972).]
C) Dal teorema di Archimede (o anche direttamente dal principio di Cavalieri) viene che, se diciamo corrispondenti due segmenti, uno di cono e l'altro di scodella del medesimo cilindro equilatero, ottenuti per intersezione dello stesso strato parallelo alla base del cilindro, risulta che questi segmenti corrispondenti (uno di scoldella, l'altro di cono) hanno volume uguale.
In particolare la punta del cono di altezza h è equivalente (= ha lo stesso volume) all'orlo della scodella di uguale altezza h. Questo sempre per il principio di Cavalieri (che in realtà è di Archimede). Galilei si mette a considerare la punta del cono e l'equivalente orlo della scodella (come dice il principio del suo ex-allievo!) al tendere a zero di h. Allora andando dal verice del cono verso la base, il vertice è il primo "indivisibile" del cono e il bordo circolare della scodella il primo "indivisibile" di questa. Galileo dice che... qualcosa non gli quadra! Al limite (h tendente a zero), un punto solo (vertice del cono) sarebbe equivalente ad una circonferenza (orlo della scodella) che di punti ne ha infiniti!
Insomma: Galileo la scodella l'ha inventata (deducendola dal teorema di Archimede a lui ben noto) solo per fare considerazioni critiche sugli "indivisibili" di Cavalieri. Questi pensierini di Galileo anticipano certe riflessioni di Bertrand Russel sugli insiemi infiniti ...
Spero di non averti creato confusione.
Ciao
Ciao a tutti
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P.S.
Signoro Rudi Mathematici,
ho rieditato tutti i miei 'post' di questo thread per mettere la "t" mancante nel titolo.
Siete vivamente pregati di fare altrettanto! :(
Bye, bye.
Mi arrendooo!!:hello::hello:
Mi arrendooo!! :hello:
Non ho capito.
Cosa intendi dire con «Mi arrend(oo)o!!» ? :mmh:
Si arrende uno che non ce la fa a resistere in una lotta o in una competizione.
Ma dove sta la lotta, la competizione?
Nessuno, mi pare, è tuo "antagonista" :)
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Ho scritto rivisitando con la mente letture di 30, 35 anni fa.
Tu pensa di essere ai tempi di Archimede, subito prima della seconda guerra punica.
E pensa a ... quanto tonda è una sfera. E' un solido di rotazione rispetto a qualsiasi retta passante per il centro.
A chi verrebbe in mente, a quell'epoca, che esiste un solido di volume calcolabile equivalente alla sfera?
A chi verrebbe in mente un solido lungo come il diametro della sfera e tale che, affettando lui e la sfera in fette sottilissime come si affetta un prosciutto, si possono far corrispendere le fette del solido a quelle della sfera una ad una in coppie di fette di uguale volume? Eppure la cosa è riuscita ad Archimede!
Il bello è che, una volta che l'idea per miracolo la vieni a sapere, ti appare chiarissima, addirittura facile.
Ecco: il fascino del teorema di Archimede secondo me sta proprio qua.
Un'idea che non ti verrebbe mai in mente ma una volta che qualcuno te l'ha suggerita la trovi di una semplicità e di una eleganza sbalorditive.
:hello:
Visto che nessuno ha raccolto l'invito di verificare la formula 1) che sta nel mio primo allegato:
=> Erasmus_ln(3).jpg (http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2516&d=1220717550)
me la sono verificata io (con un procedimento a livello di maturità scientifica).
Dedico questo "paperino" – ossia un piccolo "paper" – ad eventuali lettori di istruzione matematica a livello dei "maturandi" di liceo scientifico (giovani o no che siano questi eventiuali lettori.
Il "paper" è una pagina in PDF contenuta in un file di tipo ZIP.
=> verifica_della_formula_1.zip (http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2243&d=1214511479)
Miza: ma perché volgi sdegnoso il guardo – tutto dall'altra parte non appena hai davanti una applicazione di matematica che non sia di calcolo numerico ?!? :confused:
Ciao ciao
:hello:
I punto Zip il mio computer mal li sopporta e non li legge , mi rivolgo ai più esperti: come devo fare?
I punto Zip il mio computer mal li sopporta e non li legge , mi rivolgo ai più esperti: come devo fare?
Strano!
Guarda che il ".zip" non si legge direttamente: è come una scatola dove ci puoi mettere diversi file. Si usa perché con certi documenti (per esempio di testo come i WORD ".doc") avviene una buona compressione. In ricezione, bisogna aprire lo ZIP ed estrarre i file che ci sono dentro.
Qui l'ho usato perché il peso degli allegati ha un preciso limite entro cui stare: 19,5 kbyte per i PDF e 97,7 kbyte per gli ZIP. Il mio PDF è di 76 kbyte (non lo posso allegare come PDF) e "zippato" in un file ZIP diventa di 71 kbyte (e lo posso allegare).
Vedo però che anche un'immagine ".jpg" può arrivare a 97,7 kbyte.
Ne ho fabbricata una col testo che pesa circa 80 kbyte.
La allego.
=> Verifica formula 1) (formato JPG) (http://www.trekportal.it/coelestis/attachment.php?attachmentid=2245&d=1214520953).
:hello:
Si può calcolare il logaritmo in base b di y, (con b > 1 costante e y > 0), calcolandone le cifre (decimali) una alla volta.
Quel che segue presuppone y > 1.
Se così non è, allora:
• Se y = 1 il logaritmo è 0.
• Se invece è 0 < y < 1 allora calcoliamo il reciprico 1/y, lo ribattezziamo y e alla fine ci ricordiamo di cambiare segno al risulato.
A) Si conta il numero n di volte che bisogna dividere per b (ossia fare y:=y/b) per ottenere un numero minore di b stesso. Allora n è la parte intera del logaritmo cercato (cioè la caratteristica).
Il numero che ci rimane è y/( b^ n), ed è maggiore o uguale a 1. Se è uguale ad 1 ... abbiamo finito: la parte decimale (mantissa) è zero. Altrimenti la cerchiamo una cifra (decinale) alla volta come nel successivo punto B). Intanto poniamo:
x:=n; d:=1
B) Battezzando sempre y il numero da trattare per ricavare da lui la prossima cifra decimale, abbiamo sempre 1 < y < b.
Facciamo la decima potenza di y, ossia:
p:= y; per 9 volte sia y:=y*p
Adesso, come in A), contiamo quante volte occorre dividere per b per ridurre y minore di b.
m:=0; fintantoché non sia y<b fa: y:=y/b; m:=m+1
Ora m è la cifra (decimale) corrente da aggiungere in coda a quelle già trovate.
d:= d/10; x:=x+m*d
Per avere tot cifre decimali occorrerà ripetere il punto B) tot volte.
Come esempio, applichiamo quanto detto al calcolo di ln(3).
Allora la base del logaritmo cercato è e che sappiamo essere compresa tra 2 e 3 e ... sappiamo come calcolare con precisione (sommando i reciproci dei fattoriali da 0! = 1 in su) .
E siccome sappiamo già che 2 < e < 3, sappiamo già che la parte intera di ln(3) (= caratteristica) vale 1.
{Calcolo di “e”}
Inizio:
x: = 1; n:=20;
fintantoché n>0 fa
inizio
x:= 1+x/n; n:=n–1
fine
e := x
fine.
{Calcolo di “ln(3)”}
Inizio:
x:=1; y:=3/e; d:=1;
ripeti per 18 volte
inizio
d:=d/10; z:=y;
per 9 volte fa z:=z*y;
m:=0;
se non (y < e) allora
inizio
ripeti y:=z; z:=y/e; m:=m+1 fino a che non trovi z < e;
x:=x+m*d
fine
fine
fine.
Scrivi: "ln(3)="; scrivi x (con 18 cifre dopo la virgola).
Chiedo un favore a Mizarino: controllare se la procedura è OK e, in caso affermativo, controllare se davvero le 19 cifre ricavate sono tutte giuste.
:hello:
Ln3=1.09861228866810969139524523692252570464749055 782274945173469433363749
Ho controllato io è giusto.:ok:
No dai sto scherzando,ho soltanto preso il Ln di 3 dalla mia "Calcolatrice" che e poi la mia firma e lo copiato qui sopra senza neanche sapere con che cosa lo devo confrontare :D
Erasmus,non mi sgridare.Ciao
Un modo ... naïf per calcolare il "logaritmo naturale" di un numero x – cioè ln(x) – senza sapere niente di serie e tantomeno di sviluppo in serie di funzioni, è quello di calcolare il logaritmo in base x di e – cosa che si può fare cifra per cifra dalla sola conoscenza della definizione di logaritmo – e poi fare il reciproco.
Fare il logaritmo di un numero cifra per cifra in una certa base nota non necessita d'altro che del calcolo razionale elementare .
Supponiamo ... le seguenti ipotesi:
«Sono uno studente liceale. In matematica abbiamo appena finito di stdiare i logaritmi.
Ora so che il logaritmo in base b di x è l’esponente da dare a b per avere x.
y = Logb(x) <=> b^y = x.
So anche che il logaritmo in base a di b è il reciproco del logaritmo in base b di a.
Il profe di matematica ha detto che, rispetto a tutti i possibili logaritmi che si hanno al variare della base, importante è il cosiddetto “logaritmo naturale” di x, [che si indica con ln(x)], e che è quello nella strana base detta e che è il limite di (1+1/n)^n al tendere di n all’infinito.
Ci ha anche detto che e è la somma dei reciproci di tutti i fattoriali, cioè:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ... + 1/k! + ...
e che il reciproco di e si trova analogamente cambiando alternatamente il segno degli addenti dopo averli messi con i denominatori in ordine crescente.
Ossia: anziché sommare i reciproci di tutti i fattoriali, i reciproci dei fattoriali dei numeri pari si aggiuncono come sono, dei reciproci dei fattoriali dei numeri dispari si aggiungono gli opposti. Cioè:
1/e = 1/0! – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + ... + 1/(2k)! – 1/(2k+1)! + ...
Dispongo di una calcolatrice non scientifica ad 11 cifre che non sa fare nemmeno le radici quadrate; e mi riprometto tuttavia di trovare ln(3) con almeno una decina di cifre esatte.
Farò così:
A) Calcolerò x = 1/e con la somma scritta qui sopra, da cui avrò e = 1/x;
B) Calcolerò, una cifra alla volta, il logaritmo in base 3 di e – che indicherò con Log3(e) – da cui avrò ln(3) = 1/Log3(e).»
===================================
A1) Pongo x = 1/e e calcolo
x = 1/0! – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + ... + 1/(2k)! – 1/(2k+1)! + ...
Mi accontento del valore approssimato fermando la somma all'addendo 1/20! compreso.
Ecco come faccio:
x(20) = 1 – 1/20 = 0,95;
x(19) = 1 – x(20)/19 = 0,95;
x(18) = 1 – x(19)/18 = 0,94722222222;
x(17) = 1 – x(18)/17 = 0,94428104575;
x(16) = 1 – x(17)/16 = 0,94098243464;
x(15) = 1 – x(16)/15 = 0,93726783769;
x(14) = 1 – x(15)/14 = 0,93305229731;
x(13) = 1 – x(14)/13 = 0,92822674636;
x(12) = 1 – x(13)/12 = 0,92264777114;
x(11) = 1 – x(12)/11 = 0,91612292990;
x(10) = 1 – x(11)/10 = 0,90838770701;
x(9) = 1 – x(10)/9 = 0,89906803255;
x(8) = 1 – x(9)/8 = 0,88761649593;
x(7) = 1 – x(8)/7 = 0,87319764344;
x(6) = 1 – x(7)/6 = 0,85446705943;
x(5) = 1 – x(6)/5 = 0,82910658811;
x(4) = 1 – x(5)/4 = 0,79272335297;
x(3) = 1 – x(4)/3 = 0,73575888234;
x(2) = 1 – x(3)/2 = 0,63212055883;
x = x(1) = 1 – x(2)/1 = 0,36787944117 = 1/e;
A2)
e= 1/x = 2,71828182846
-----------------------------------------------------------------
B1) Calcolo il logaritmo in base 3 di e una cifra alla volta.
Per calcolare un logaritmo "cifra per cifra", immagino che il logaritmo verrà:
pi,c1c2c3 ...
[dove pi è la "parte intera" (detta caratteristica) e c1, c2, c3 ... sono le successive cifre decimali della parte residua (detta mantissa): tutte incognite da terminare una alla volta].
Penso, dunque, il numero x nella forma:
x = (b^pi)*(b^0,c1)*(b^0,0c2)*(b^0,00c3)* ...
Confrontando allora x con le potenze di b, trovo quella che lo approssima meglio per difetto, ossia riconosco pi. Quindi divido x per b^pi e questo rapporto sarà:
(b^0,c1)*(b^0,0c2)*(b^0,00c3)* ....
Allora lo elevo alla 10 facendolo diventare:
(b^c1)*(b^0,c2)*(b^0,0c3)* ....
Lo confronto con le potenze di b per individuare la prossima cifra c1. Quindi divido per b^c1 ed il numero mi diventa:
(b^0,c2)*(b^0,0c3)* ...
Lo elevo alla 10 in modo che mi diventa:
(b^c2)*(b^0,c3)* ...
Dal confronto con le potenze di b individuo la prossima cifra c2. Divido quindi per b^c2 ed il numero mi diventa:
(b^0,c3)* ...
Continuando in questo modo trovo quante cifre voglio ... semprechè la accuratezza del calcolo lo consenta. Con una calcolatrice a 11 cifre, confido che siano esatte le prime dieci cifre calcolate.
Mi conviene aver presente l'elenco delle potenze della mia base b = 3, – diciamole b^k, con k da 0 a 10 compresi.
k => 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3^k => 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
Calcolo dunque le prime 10 cifre di Log3(e) nel modo seguente.
x0 = e = 2,71828182846;
3^0 < x0 < 3^1 => Log3(e) = 0, ...
x0/(3^0) = 2,71828182846;
x1 = [x0/(3^0)] ^10 = 22026,465794
3^9 < x1 < 3^10 => Log3(e) = 0,9 ...
x2 = [x1/(3^9)] ^10 = 1,119060397^10 = 3,0798904232
3^1 < x2 < 3^2 => Log3(e) = 0,91 ...
x3 = [x2/(3^1)] ^10 = 1,0266301411^10 = 1,3005890903
3^0 < x3 < 3^1 => Log3(e) = 0,910 ...
x4 = [x3/(3^0)] ^10 = 1,3005890903^10 = 13,848446803
3^2 < x4 < 3^3 => Log3(e) = 0,9102 ...
x5 = [x4/(3^2)] ^10 = 1,5387163114^10 = 74,402165528
3^3 < x5 < 3^4 => Log3(e) = 0,91023 ...
x6 = [x5/(3^3)] ^10 = 2,7556357603^10 = 25247,484846
3^9 < x6 < 3^10 => Log3(e) = 0,910239 ...
x7 = [x6/(3^9)] ^10 = 1,2827051184^10 = 12,057805585
3^2 < x7 < 3^3 => Log3(e) = 0,9102392 ...
x8 = [x7/(3^2)] ^10 = 1,3397561761^10 = 18,631922866
3^2 < x8 < 3^3 => Log3(e) = 0,91023922 ...
x9 = [x8/(3^2)] ^10 = 2,0702136518^10 = 1445,9446931
3^6 < x9 < 3^7 => Log3(e) = 0,910239226 ...
x10 = [x9/(3^6)] ^10 = 1,9834632279^10 = 942,41357551
3^6 < x10 < 3^7 => Log3(e) = 0,9102392266 ...
x11 = [x10/(3^6)] ^10 = 1,2927483889^10 = 13,035870936
3^2 < x11 < 3^3 => Log3(e) = 0,91023922662 ...
x12 = [x11/(3^2)] ^10 = 1,448430104^10 = 13,035870936
3^2 < x11 < 3^3 => Log3(e) = 0,91023922662 ...
B2)
ln(3) = 1/Log3(e) = 1,0986122886...:ok:
:hello:
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