L'ovoide

[nino280]

- l'ovoïde de Képler (http://www.mathcurve.com/courbes2d/foliumsimple/foliumsimple.shtml) (http://www.mathcurve.com/surfaces/ovoid/image102.JPG).
http://www.mathcurve.com/surfaces/ovoid/kepler.jpg
Ce la fate? Siete connessi?
Riuscite ad immaginarlo al cioccolato purissimo?Ed anche con sorpresa dentro?

Sinceramente Buona Pasqua a tutti. Nino

[Erasmus]

- l'ovoïde de Képler (http://www.mathcurve.com/courbes2d/foliumsimple/foliumsimple.shtml) (http://www.mathcurve.com/surfaces/ovoid/image102.JPG).
http://www.mathcurve.com/surfaces/ovoid/kepler.jpg
Ce la fate? Siete connessi?
Riuscite ad immaginarlo al cioccolato purissimo?Ed anche con sorpresa dentro?

Sinceramente Buona Pasqua a tutti. Nino
Mi associo anzitutto agli auguri pasquali.

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Ma guarda le coincidenze!
Questo tipo di ovale mi è già noto, ma nessuno me l'ha insegnato: né ho mai cercato bibliografia in proposito per sapere chi per primo o con maggiore completezza l'abbia studiato. Un bel giorno (di 16 anni fa) ne ho incontrato uno come sottoprodotto di un esercizio di elettromagnetismo ... e mi son messo a studiarne una famiglia.


Mai saputo, dunque, che quest'ovale fosse di Keplero.
La cosa mi sembra strana anche adesso perché mi pareva che certa matematica fosse storicamente un tantino posteriore.
[Kepler è morto nel 1630 quando Cartesio, l'inventore della Geometria Analitica – si dice ancora "Coordinate cartesiane" ! –, nato il 31.03-1596] aveva 34 anni].

Ogni curva che in coordinate cartesiane è del tipo:

(*) y^2 = x^(2k) – x^2 <=> y = +/– [x^(2k) – x^2]^1/2

è sempre una curva chiusa quando 0 < k < 1.

[Qui è k = 3/4 = 0,75].

Se si vuole che y non sia immaginario quando x è reale la condizione che k sia compreso tra 0 e 1 è necessaria

Per k=1/2 la curva è un cerchio di centro in (1/2, 0) e raggio 1/2.

Per k=0 , potendo allora essere anche x<0, degenera nel cerchio di centro in (0,0) e raggio 1.
Per k=0 la curva degenera nella retta asse delle ascisse (y = 0).

Al variare di k la curva chiusa cambia forma.

E' un ovale (oblungo, diametro massimo minore della lunghezza che vale 1) per k > 1/2 (e sempre più snello all'approssimarsi di k a 1)

E' una specie di mela (diametro massimo maggiore di 1) per k < 1/2: sempre più cicciona al'approssimarsi di k a zero.

Il diametro massimo vale infatti 2*Ymax, dove (annullando la deruvata, ecc. ecc.) si trova Ymax vale:

Ymax = {[k^(k/(1–k))]*(1–k)}^(1/2).

In questo caso (k=3/4) si trova
<diametro max> = [3*sqrt(3)]/8 = 0,6495 ...
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Nel 1992, per esercizo, ho studiato il campo elettrimagnetico di una carica elettrica puntiforme in moto rettilineo uniforme nel vuoto. E' il caso più semplice. Ma le equazioni di Maxwell non quadrano senza relatività (ristretta). Il mio scopo era quello (didattico) di ricavare il fattore di contrazione di Lorentz:
beta = sqrt[1 – (v/c)^2]
(dove v è velocità della carica elettrica e c quella della luce nel vuoto)
imponendo appunto che debbano valere entrambe le equazioni di Maxwell che legano fra loro i vettori campo elettrico e campo magnetico (la derivata rispetto al tempo di uno di essi è proporzionale al rotore dell'altro).

In un punto dello spazio fermo rispetto all'osservatore, la carica elettrica on moto crea un campo magnetico variabile non linearmente: crescente quando la carica s'avvicina e calante quando si allontana.
Variando il campo magnetico non linearmente, nasce per induzione un campo elettrico (pure variabile) che si aggiunge a quello coulombiano (pure variabile ma irrotazionale). La rapidità con cui varia il campo elettrico indotto dal campo magnetico variabile produce nello spazio correnti elettriche cosiddette "di spostameno", anche se non c'è nulla che si sposta! [Il nome, dovuto a Maxwell, è solo storico e voleva significare di "spostamento di etere"]. Bene: la forma delle linee di campo del vettore "densità di corrente di spostamento" è un ovale molto simile a questo 'postato' da Nino.
[Il valore dell'esponente non intero che ho chiamato 2k, anziché 3/2 vale 4/3. L'ovale viene un po' più ciccione]
E' stata per me una scperta (geometrica, come sottoprodotto dello studio elettromagnetico]. Ho scoperto così questa famiglia di ovali. Naturalmente non penso proprio d'essere stato il primo, anche se non mi sono mai curato di cercare chi altri prima di me ha studiato questa famiglia di ovali (al variare di k).

Allego due immagini fatte ora con il mio vecchio programmino "calcolatrice grafica"

Una, "Kepler_ovoid.pdf", è proprio quella portata qui da Nino.
L'altra ... la chiamo "Erasmus_ovoid.pdf". E' appunto la forma delle linee di campo della densità di corrente di spostamento provocata da una carica elettrica in moto rettilineo uniforme. Immaginate che la carica viaggi verticalmente sulla retta tangente alla "punta" dell'ovale (a sinistra in figura) e si trovi proprio sul quel vertice dell'ovale.
Immaginate di accompagnare la carica in modo da vederla ferma. Per voi allora le linee di campo non ci sonio nemmeno. E non c'è nemmeno il campo magnetico. Per un osservatore che vede la carica in moto, le linee di campo sono una rete attaccata alla carica: per lui il campo elettromagnetico (nullo relativamente alla carica) ... è come una ventata elettromagnetica transitoria quando la carica gli passa accanto.

Ciao Nino.
Ciao a tutti.

[nino280]

Erasmus,sono esterrefatto!
Il mio era semplicemente un gioco di parole e di immagine,mentre tu hai tirato fuori la storia di tutte le storie degli "ovoidi"Complimenti veri.
Peccato , peccato , peccato che io non riesco ad apprezzare pienamente i tuoi lavori per i motivi che già sai e che già sapete(non mi piace ripetermi comunque leggi "Limiti"). Ciao