x^y=y^x per x e y razionali e x < y

[Erasmus]

Per il centenario dell'associazione "Mathesis", nata nel 1895, il "Periodico di Matematiche, ornano della Mathesis" ha rievocato, tra l'altro, un problema presentato ai soci un secolo prima dalla neonata rivista e qualche tipo di soluzione avuta dalla redazione in risposta al quesito. Questo richiedeva di determinare per quali interi positivi distinti m ed n risultasse m^n = n^m.

NB. Limitandoci ai numeri reali e positivi, data la simmetria dell'equazione x^y = y^x, non è restrittivo considerare le sole coppie (x, y) con x<y.

Ovviamente il succo del problema consisteva nel dimostrare che la coppia:
(m, n) = (2, 4)
è l'unica soluzione al problema posto in quei termini.

I solutori – effettivi o presunti! – si cimentavano col problema senza mai sconfinare dai numeri interi e tanto meno studiare il comportamento della funzione implicita y = f(x) definita dall'equazione x^y = y^x

Proviamo a modificare il quiz passando dagli interi ai razionali:

Determinare tutte le coppie (x, y) di reali positivi razionali per le quali

(*) x < y e x^y = y^x

Sembra strano, ma è più facile ricavare che l'unica coppia di interi che soddisfa le condizioni (*) è (2, 4) come sottoprodotto di questo quiz che provarlo direttamente restando nell'ambito degli interi.

:hello::hello:

[Erasmus]

Non interviene nessuno? :o

«Se la montagna non viene a Maometto, Maometto va alla montagna... »

Provo a socratizzare il quiz:

Siano x = 2,25 e y = 3,375, per cui anche y = 1,5*x.

Allora :
x^y = x^(1,5*x) =(x^x)^(1+0,5) =(x^x)*[(x^0,5)*x] = (x^x)*(1,5^2,25).
y^x = (1,5*x)^x = (x^x)*(1,5^2,25) = x^y.

Cos'hanno di caratteristico i numeri (x, y) = (2,25; 3,375) per andar bene?
[i.e., per soddisfare l'equazione x^y = y^x ?]

:hello:

[Luciano Monti]

Detto y=a*x (a=1.5 nel tuo caso), viene:

x^(a-1)=a

da cui:

x=a^(1/(a-1))

L'ho sparata tanto grossa?

:hello:,
Luciano

[Erasmus]

Detto y=a*x (a=1.5 nel tuo caso), viene:

x^(a-1)=a

da cui:

x=a^(1/(a-1))

L'ho sparata tanto grossa?

:hello:,
Luciano

No, anzi: tutto OK!
Hai, infatti, trovato tutte le soluzioni dell'equazione x^y = y^x con x < y.

Queste sono (come hai appena trovato):
« Per ogni a reale
x = a^(1/(a-1)) e y = a*x = a^(a/(a-1)). »

Queste equazioni le possiamo pensare "equazioni parametriche" della curva nel piano z=0 ottenuta intersecando la superficie di equazione z = x^y – y^x con il piano (x, y).

Infatti, se x=a^(1/(a-1)) e y= ax, allorarisulta proprio x^y=y^x

Ma adesso torniamo al quiz.
Si cercano x ed y entrambi razionali.

Supposto che x ed y siano entrambi reazionali, a =y/z è pure razionale.
Viceversa, potrebbe essere a= y/x razionale anche se x ed y non lo fossero.

Ma allora, avendo trovato x ed y come funzioni di a = y/x, a quali condizioni deve sottostare il razionale a affinchè entrambi x ed y siano pure razionali?

Sempre ... socratizzando, ti faccio notare che per a = 1,5 viene a–1 = 0,5 =1/2 e quindi 1/(a–1) = 2.

Invece, per a = 2,5 sarebbe a–1 = 1,5 = 3/2 e quindi 1/(a–1) = 2/3.
Adesso vedi che per a =1,5 hai x = a^2. E siccome a è razionale, razionale è anche x.
Invece, per a = 2,5 hai x= a^(2/3), ed x razionale non è!
E così pure y = 2,5*x.

[Tuttavia, per x=(5/2)^(2/3) e y = (5/2)*x = (5/2)^(5/3) hai prorio x^y = y^x].

Sei ad un passo dalla soluzione.
Ti basta una riflessioncina piccola piccola sul fatto che 1/(a-1) viene 2 per a=1,5.
Invece viene 2/3 per a = 2,5.

Vedrai che, quando l'avrai raggiunta, la soluzione del quiz la troverai ... "un fatto notevole" !

:hello:

[Luciano Monti]

Vedrai che, quando l'avrai raggiunta, la soluzione del quiz la troverai ... "un fatto notevole" !

Mah, il fatto veramente notevole e' che sia arrivato al primo passo della soluzione... Prima di continuare a seguire la tua traccia, ti faccio una domanda:

Hai, infatti, trovato tutte le soluzioni dell'equazione x^y = y^x con x < y.

Ma se al posto di scrivere y=a*x avessi scritto y=f(x), ad esempio y=x+a, non avrei trovato le stesse soluzioni, giusto?

:hello:,
Luciano

PS Dall'ultima domanda si capisce che, senza il tuo suggerimento di porre y=a*x, non sarei arrivato da nessuna parte, e anzi probabilmente non avrei neanche cominciato.

[Erasmus]

... se al posto di scrivere y=a*x avessi scritto y=f(x), ad esempio y=x+a, non avrei trovato le stesse soluzioni, giusto?

:hello:,
Luciano

PS Dall'ultima domanda si capisce che, senza il tuo suggerimento di porre y=a*x, non sarei arrivato da nessuna parte, e anzi probabilmente non avrei neanche cominciato.

La data equazione x^y = y^x si può trasformare in una equivalente ma a variabili separate. I passi sono questi.

a) Passare al reciproco nella forma:
(1/x)^y = (1/y)^x

b) Elevare entrambi i membri all'esponente 1/(xy).

[(1/x)^y]^1/(xy)= [(1/y)^x]^1/(xy) <=> (1/x)^(1/x) = (1/y)^(1/y).

Se adesso poniamo u =1/x e v =1/y, otteniamo u^u = v^v.

[NB: uso simboli nuovi per le variabili invece delle solite x ed y per ... non confondrle con quelle del quiz]

La funzione z = f(t) = t^t è monotona crescente per t>1.
Ma tra 0 e 1 ... fa una pancia con un minimo in t=1/e =0,3678... dove vale (1/e)^(1/e) = 0,6922 ...
Per t tendente a zero, t^t tende ad 1.
Vedi sotto la figura allegata.

Allora una retta parallela all'asse t delle ascisse, di equazione z = cost. [compresa tra 1 e (1/e)^(1/e)], interseca la curva z =t^t in due punti (con ascissa una a sinistra di 1/e ed una a destra).
Siano appunto u e v queste ascisse: 0 < v < 1/e < u < 1.
Essendo la funzione z = t^t continua, puoi immaginare di muoverti sulla curva con continuità da sinistra a destra crescendo l'ascissa a partire da v col moltiplicarla per un fattore k crescente, fino a cascare in u =kv dove appunto succede (kv)^(kv) = v^v.
Date le posizioni u = 1/x e v = 1/y, dire u = kv equivale a dire y = kx; e k > 1 significa x<y.
Insomma: viene quasi spontaneo prendere per parametro il rapporto tra le due variabili y/x.

[Scambiare x con y ... non cambia niente, purché ci si ricordi quale delle due variabili si cnsidera minore dell'altra].
Vedi anche che, all'avvicinarsi di t all'ascissa di minimo 1/e, u e v tendono entrambe ad 1/e. Perciò:
« Al tendere di k ad 1, cioè di x ad y, entrambe x ed y tendono ad e (numero di Napier)»
=============
Per y/x =a (come l'hai chiamato tu), razionale e maggiore di 1, hai trovato tu, non io:

x = a^ 1/(a–1).

Evidentemente, affinché x sia razionale occorre che l'esponente 1/(a–1), che è pure razionale, non sia frazionario, cioè sia intero. Diciamo 1/(a–1) = n intero positivo.

1/(a–1) = n = 1, 2, 3, 4, ....

Ne segue a = 1 + 1/n e quindi x = (1+1/n)^n per ogni n intero positivo, ossia la successione crescente ma convergente che definisce il numero di Napier "e" (la base dei "logaritmi naturali").

Allora y = a*x = (1+1/n)* (1+1/n)^n = (1+1/n)^(n+1).
Anche questa è una successione che tende ad e: ma è decrescente.

Tutte e sole le coppie (x, y) di razionali costituiscono due classi contigue [{Xn}, {Yn}] di razionali separate dal trascende 'e' con:

Xn = (1 + 1/n)^n; Yn = (1 + 1/n)^(n+1)

=============================
"Classi contigue" vuol dire:
1) Per ogni n intero positivo:
a) Xn < Yn;
b) X(n+1) > Xn
c) Y(n+1) < Yn

Yn – Xn = [(1+1/n)^n]/n > 0

2) Al tendere di n allinfinito:
Yn – Xn tende a 0.

Per forza entrambe le successioni convergono ad un limite comune
======================================

Adesso si vede che per n = 1:
X1 = (1 + 1) ^ 1 = 2 (intero!) e Y1 = (1 + 1 ) ^ (1 +1) = 4 (intero! Infatti 2^4 = 4^2).
Ma di interi non ce ne sono più: per n = 2, 3, ecc. (1+1/n) è frazionario e quindi frazionarie sono anche le sue potenze n-esima Xn e (n+1)-esima Yn.

:hello:

[nino280]

Guarda che strani scherzi fà il caso.Una o due settimane prima che Erasmus tirasse fouri questo suo quiz, ero rimasto colpito da una strana cosa e cioè avevo elevato Pi (3.14) alla e (2.718281..) e (cong.) poi avevo invertito la base e l'esponente cioè e elevato a Pi ed avevo notato che il risultato quasi coincideva (diff di 0.6815...) ci ho pensato su solo 5 minuti poi ho lasciato perdere perchè era evidente che essendo questi due "pilastri" della matematica molto vicini al 3 (uno 3.14 e l'altro 2.7182..) era evidente che elevarli alternativamente fra di loro il risultato doveva essere con i valori molto vicini.Cosa voglio dire con questo,niente,sono solo rimasto sorpreso quando Erasmus spiega il quiz introducendo "e" E ciao.

P.S. 2.25^3=3.375^2

(2.25+3.375)/2=2.8125 peccato,sarebbe stato più bello se fosse stato uguale a "e":D

[Erasmus]

Nino:
Per trovare due nuneri razionali (cioè frazioni) x, y tali che x^y = y^x si fa così

a) si prende una frazione col nuneratore più grande del denoninatore di una sola unità.
Per esempio 4/3.

b) Si eleva la frazione al suo denominatore, e si ottiene x (che è più piccolo di "e").
Nell'esempio x = (4/3)^3 = 64/27 = 2.37037...

c) Si eleva la frazione al suo numeratore, e si ottiene y (che è più grande di "e").
Nell'esempio y = (4/3)^4 = 256/81 = 3,16048...

Più grandi sono numeratore e denominatore e più la frazione si avvicina a 1 (dal di sopra).
Allora x si avvicina ad "e" dal di sotto ed y si avvicina ad "e" dal di sopra: ma molto lentamente. Ma se fai la radice quadrata del prodotto x*y trovi numeri vicini ad "e" molto in fretta.
Nell'esempio:
x*y = 2,37037 * 3,16049 = (circa) 7,49153;
sqrt(749153) = (circa) 2,73707
(e = 2,71828182846 ...)

Altro esempio:
x =(101/100)^100 = 2,70481... (2 sole cifre giuste)
y = (101/100)^101 = 1,01*x = 2,73186 ... (2 sole cifre giuste)

sqrt(x*y) = sqrt(101/100) * x = 2,718304 ... (4 cifre giuste ... quasi 5)


x = (1001/1000)^1000 = 2,71169 ... (3 cifre giuste)
y = (1001/1000)^1001 = 2,71964 ... (3 cifre giuste)

sqrt(x*y) = sqrt(1001/1000)*x =2,71828205 ... (6 cifre giuste).

Vedi che, grossomodo, se l'errore relativo di x (per difetto) è un tanto – diciamo epsilon – dello stesso peso è quello di y (ma per eccesso) e la loro radice quadrata ha un errore che è circa "epsilon quadrato" per eccesso.
Per esempio, quando l'errore da "e"" di x ed y è di 1 per mille, quello della loro radice è di 1 per milione,

Ciao